Matrizen und Determinanten und ihre Anwendung in Technik und Ökonomie: mit 133 Beispielen und Lösungen
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Thun [u.a.]
Deutsch
1978
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| adam_text | Der Matrixbegriff 11
1. Einleitung 11
2. Einführung des Matrix-
begri/fes 12
2.1. Beispiele für das Auftreten
von Matrizen 12
2.2. Bedeutung der Matrizen für
technisch-wissenschaftliche
und ökonomische Probleme .. 15
2.3. Anwendungsbereich der
Matrizen 16
2.4. Zusammenfassung 17
Grundlagen der Deler-
minantenrechnung und der
Lösung linearer Gleichungs¬
systeme 18
3. Grundlagen der Deter¬
minantenrechnung 18
3.1. Das Koefflzientenschema
eines linearen Gleichungs¬
systems 18
3.2. Definition der Determinante . 19
3.2.1. Definition der Determinante
zweiter Ordnung 19
3.2.2. Definition der Determinante
dritter Ordnung 21
3.2.3. Definition der Determinante
n-ter Ordnung 24
3.3. Entwicklung von Deter¬
minanten 24
3.3.1. Unterdeterminanten und
Adjunkten 24
3.3.2. Entwicklung der Deter¬
minante dritter Ordnung
nach den Elementen einer
Reihe 25
3.3.3. Der LAPLACEsche Entwick¬
lungssatz 27
3.4. Eigenschaften der Deter¬
minanten 29
3.4.1. Sätze über Determinanten ... 29
3.4.2. Praktische Berechnung von
Determinanten 31
3.5. Beispiele für die Anwendung
der Determinanten 33
3.5.1. Anwendungsbeispiel aus der
Vektoralgebra 33
3.5.2. Anwendungsbeispiel aus der
analytischen Geometrie 34
3.5.3. Anwendungsbeispiel aus der
Theorie der Funktionen von
zwei und mehr Veränderlichen 35
3.5.4. Anwendungsbeispiel aus der
Theorie der gewöhnlichen
Differentialgleichungen 36
3.6. Zusammenfassung 37
4. Grundlagen der Lösung
linearer Gleichungssysteme .... 38
4.1. Die CRAMEBSche Regel 38
4.2. Vektoren im »-dimensionalen
Raum 40
4.2.1. Definition des ra-dimen-
sionalen Vektors 40
4.2.2. Rechenregeln für »-dimen-
sionale Vektoren 41
4.3. Lineare Abhängigkeit und
Unabhängigkeit von Vektor¬
systemen 45
4.3.1. Einführung 45
4.3.2. Definition der linearen
Abhängigkeit und Unab¬
hängigkeit 47
4.3.3. Sätze zur linearen Abhängig¬
keit und Unabhängigkeit von
Vektorsystemen 48
4.4. Lineare Abhängigkeit und
Rang 50
4.4.1. Eang eines Vektorsystems ... 50
4.4.2. Rang einer Matrix 51
4.4.3. Praktische Bestimmung des
Ranges einer Matrix 53
4.5. Allgemeine lineare
Gleichungssysteme 56
4.5.1. Allgemeine homogene lineare
Gleichungssysteme 56
4.5.2. Allgemeine inhomogene
lineare Gleichungssysteme ... 62
4.6. Zusammenfassung 66
Grundlagen der Matrizen¬
rechnung 68
5. Grundbegriffe und Rechen¬
regeln 68
5.1. Definition der Matrix 68
5.2. Typ der Matrix 69
5.3. Zusammenfassung 71
5.4. Rechenregeln für Matrizen ... 71
5.4.1. Der Matrizenkalkül 71
5.4.2. Gleichheit zweier Matrizen ... 71
5.4.3. Nullmatrix 73
5.4.4. Addition und Subtraktion
von Matrizen 74
5.4.5. Multiplikation einer Matrix
mit einem Faktor 76
5.4.6. Zusammenfassung 78
5.5. Multiplikation zweier
Matrizen 79
5.5.1. Einführung des Matrizen¬
produktes 79
5.5.2. Definition des Matrizen¬
produktes 85
5.5.3. Anwendungsbeispiel zur
Matrizenmultiplikation 87
5.5.4. Vertauschbarkeit der Faktoren
im Matrizenprodukt 89
5.5.5. Zusammenfassung 91
5.6. Matrizen und lineare
Transformation 91
5.6.1. Lineare Transformation im
dreidimensionalen Raum .... 91
5.6.2. Lineare Transformation des
n-dimensionalen Raumes 94
5.6.3. Hintereinandersehalten
linearer Transformationen. ... 96
5.6.4. Spezielle lineare Transforma¬
tionen und Koordinaten¬
transformationen 99
5.6.5. Zusammenfassung 103
Weiterführung der Matrizen¬
rechnung 104
6. Sondermatrizen 104
6.1. Transponierte Matrix 104
6.2. Die zu einer Matrix entgegen¬
gesetzte Matrix 106
6.3. Spezielle quadratische
Matrizen 106
6.3.1. Symmetrische Matrix 106
6.3.2. Antisymmetrische Matrix .... 107
6.3.3. Zerlegung einer quadratischen
Matrix in einen symme¬
trischen und einen antisymme¬
trischen Anteil 108
6.3.4. Diagonalmatrix, Skalar-
matrix, Einheitsmatrix 109
6.3.5. Determinante einer quadra¬
tischen Matrix 111
6.3.6. Dreiecksmatrix 113
6.4. Komplexe Matrizen 114
6.4.1. Komplexe Vektoren 114
6.4.2. Komplexe und konjugiert
komplexe Matrix 115
6.4.3. Spezielle komplexe Matrizen.. 117
6.5. Übermatrix und Untermatrix 120
6.6. Zusammenfassung 125
7. Multiplikation von mehr als
zwei Matrizen und Matrizen¬
multiplikation nach Falk 126
7.1. Multiplikation von mehr als
zwei Matrizen 126
7.1.1. Das Produkt von drei und
mehr Matrizen 126
7.1.2. Das distributive und asso¬
ziative Gesetz der Matrizen¬
multiplikation 128
7.1.3. Weitere Sätze zur Matrizen¬
multiplikation 129
7.1.4. Zusammenfassung 133
7.2. Matrizenmultiplikation nach
Falk 133
7.2.1. FALKSche Anordnung für
zwei Matrizen 134
7.2.2. Summenproben 134
7.2.3. FALKSche Anordnung für
mehrere Matrizen 137
7.2.4. Zusammenfassung 137
8. Praktische Verfahren zur
Behandlung linearer
Gleichungssysteme 137
8.1. Direkte Verfahren 138
8.1.1. Das Austauschverfahren 138
8.1.2. Der GAusssche Algorithmus .. 146
8.2. Der verkettete Algorithmus .. 150
8.2.1. Prinzip und Rechenschema
des verketteten Algorithmus.. 150
8.2.2. Die Durchführung des
verketteten Algorithmus für
bi{ = 0 158
8.3. Die praktische Bestimmung
des Ranges einer Matrix 161
8.4. Die Lösung homogener
Gleichungssysteme 162
8.5. Ill-conditioned lineare
Gleichungssysteme 166
8.6. Lineare Gleichungssysteme
mit komplexen Koeffizienten . 169
8.7. Iterative Verfahren zur
Lösung linearer Gleichungs¬
systeme 170
8.7.1. Vorbemerkungen 170
8.7.2. Allgemeine Grundlagen der
Iterationsverfahren und
Normen 172
8.7.3. Das jACOBische Iterations¬
verfahren 175
8.7.4. Das GAuss-SEiDEL-Verfahren 179
8.8. Zusammenfassung 182
X 9. Die Kehrmatrix 183
9.1. Einführung und Definition
der Kehrmatrix 183
9.2. Eigenschaften der Kehr¬
matrix 186
9.2.1. Die Elemente der Kehrmatrix 186
9.2.2. Die Kehrmatrix einer Trans¬
ponierten, einer symme¬
trischen Matrix vind eines
Matrizenproduktes 190
9.2.3. Die Kehrmatrix einer
Dreiecksmatrix 192
9.2.4. Orthogonale Matrizen 193
9.3. Praktische Bestimmung der
Kehrmatrix mit Hilfe des
verketteten Algorithmus .... 19S
9.4. Umkehrung eines Gleichungs¬
systems 199
9.5. Matrizendivision 201
9.6. Zusammenfassung 203.
Eigenwerte und Matrizen¬
gleichungen 204
x 10. Das Eigenwertproblem 204
10.1. Einführung des Eigenwert -
Problems 204
10.2. Eigenwerte und Eigenvektoren 209
10.2.1. Das System der Eigen¬
vektoren 209
10.2.2. Modalmatrix und Spektral¬
matrix 211
10.2.3. Iterierte Vektoren 213
10.3. Charakteristische Gleichung
und Cayley-Hamilton-
Gleichung 215
10.4. Das Eigenwertproblem für
symmetrische und hermitische
Matrizen 217
10.5. Die allgemeine Eigenwert¬
aufgabe 222
10.6. Eigenwertabschätzungen 224
10.6.1. Das Prinzip der Eigenwert¬
abschätzungen 224
10.6.2. Spezielle Eigenwert-
abschätzungen 225
10.7. Zusammenfassung 228
11. Numerische Verfahren zur
Eigenwertbestimmung 230
11.1. Allgemeine Bemerkungen zur
numerischen Eigenwert¬
bestimmung 230
11.2. Direkte Verfahren 231
11.2.1. Das Restgrößenverfahren .... 231
11.3. Indirekte Verfahren 233
11.3.1. Die MisES-Iteration 233
11.3.2. Die gebrochene Iteration .... 237
11.3.3. Rayleigh-Quotient 239
11.3.4. Das JACOBI-Verfahren 243
11.4. Das RiTZ-Verfahxen 246
11.5. Zusammenfassung 249
12. Matrizengleichungen 249
12.1. Lineare Matrizengleichungen
mit einer unbekannten Matrix 249
12.1.1. Allgemeine Bemerkungen .... 249
12.1.2. Die Auflösung linearer
Matrizengleichungen mit einer
unbekannten Matrix 250
12.2. Matrizenfunktionen 252
12.2.1. Matrizenpolynome 252
12.2.2. Die Eigenwerte eines
Matrizenpolynoms 257
12.2.3. Die Matrizenfunktionen eA,
sin A und cos A 259
12.3. Matrizen und gewöhnliche
Differentialgleichungen 263
12.3.1. Die Lösung von Systemen
gewöhnlicher Differential¬
gleichungen mit Hilfe von
Matrizen 263
12.3.2. Übertragungsmatrizen 268
12.4. Zusammenfassung 273
13. Anwendung der Matrizen auf
Probleme der Technischen
Mechanik 274
13.1. Aufgabenstellung 275
13.2. Biegung des beliebig
gestützten Balkens 276
13.2.1. Erläuterung des Grund¬
gedankens für die Behand¬
lung der Balkenbiegung mit
Übertragungsmatrizen 276
13.2.2. Feldmatrix für die Balken¬
biegung -277
13.2.3. Einführung von Bezugsgrößen
zur Bildung der dimensions¬
losen Feldmatrix 283
13.2.4. Belastungsgrößen für die
wichtigsten Belastungsfälle
bei feldweise konstanter
Biegesteifigkeit 285
13.2.5. Punktmatrix 286
13.2.6. Äußere Randbedingungen ... 289
13.2.7. Innere Randbedingungen .... 290
13.2.8. Erläuterung des Matrizen-
sehemas 292
13.2.9. Beispiele aus der Statik 295
13.3. Die Behandlung von Schwin¬
gungsaufgaben 301
13.3.1. Biegeschwingungen 301
13.3.2. Die Übertragungsmatrizen
des masselosen elastischen
Stabes und einer Punktmasse. 303
13.3.3. Die praktische Behandlung
von Schwingungsaufgaben ... 305
13.3.4. Die dimensionslose Über¬
tragungsmatrix Ui 307
13.3.5. Das Restgrößenverfahren 308
13.3.6. Zwangsschwingungen des
beliebig gestützten Balkens... 313
13.4. Methode der finiten Elemente. 316
13.4.1. Einleitung 316
13.4.2. Deformationsmethode und
Steifigkeitsmatrix 317
13.4.3. Algorithmus und Beispiel .... 319
14. Anwendung der Matrizen auf
Probleme der Elektrotechnik ... 321
14.1. Einleitung 321
14.2. Berechnung von Gleichstrom-
und Wechselstromnetzen 322
14.3. Anwendung von Matrizen in
der Vierpoltheorie 333
15. Anwendung der Matrizen auf
Probleme der Ökonomie 340
15.1. Einleitung 341
15.2. Problemstellung der linearen
Optimierung 342
15.3. Formulierung des allgemeinen
linearen Optimierungs¬
problems 345
15.4. Geometrische Deutung des
Problems 347
15.4.1. Begriff der Erfüllungsmenge 347
15.4.2. Lineare Ungleichungssysteme
in zwei und mehreren
Variablen 348
15.5. Grafisches Lösungsverfahren . 350
15.6. Die Simplexmethode 351
15.6.1. Normalform des linearen
Optimierungsproblems 351
15.6.2. Lösung des Beispiels ohne
Verwendung der Simplex¬
methode ¦. 353
15.6.3. Lösung des Beispiels unter
Verwendung der Simplex¬
methode 355
16. Aufgaben und Lösungen 362
Literatur- und Quellen¬
verzeichnis 383
Sachwortverzeichnis 386
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