Les equations de von Kármán:
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CHAPITRE 1 . ETABLISSEMENT DU MODELE DE VON KARMAN A PARTIR D UN MODELE
NON LINEAIRE D ELASTICITE TRIDIMENSIONNELLE I
1.1. Etablissement du modèle tridimensionnel 2
Aspects géométriques 2
Aspects mécaniques 7
1.2. Etude du modèle tridimensionnel 18
Formulation variâtionnelle 19
Résultats partiels d existence et d injectivité 19
1.3. Un problème tridimensionnel de plaque ; application de la méthode
des développements asymptotiques 24
Un problème de plaque 24
Application de la méthode des développements asymptotiques.... 27
1.4. Equivalence du premier terme du développement avec la solution
d un modèle déplacement bidimensionnel 31
1 .5. Equivalence avec les équations de von Karman 45
Lemmes préparatoires 45
Résultats d équivalence 55
Interprétation de la fonction d Airy ; cas des ouverts raulti-
plement connexes 61
CHAPITRE 2. ETUDE DES EQUATIONS DE VON KARMAN : RESULTATS D EXISTENCE ;
INTRODUCTION A LA BIFURCATION 67
2.1. Résultats d existence et de-régularité pour le modèle déplace¬
ment 68
Résultats d existence 68
Résultats de régularité 78
2.2. Résultats d existence et de régularité pour le modèle de von
Kârmân 80
L opérateur bilinéaire B 81
L opérateur cubique C 89
Forme canonique des équations de von Karman ; résultat d e¬
xistence 92
Résultats de régularité 95
2.3. Introduction d un paramètre ; cas d unicité de la solution ;
Dégénérescence en un problème de membrane 98
Introduction d un paramètre X 98
Cas d unicité, et de multiplicité, de la solution 100
Dégénérescence en un problème de membrane 104
VI
2.4. Introduction à la bifurcation ; quelques résultats généraux 107
2.5. Etude de la bifurcation dans les équations de von Karman 111
CHAPITRE 3. ETUDE DE LA BIFURCATION PERTURBEE DANS LES EQUATIONS DE
VON KARMAN 120
3.1. Position du problème 121
3.2. Réduction du problème 123
3.3. Etude des solutions e-singulières des équations (E) et (E.) .... 130
o
3.4. Détermination de l ensemble des solutions de l équation (E.) ... 142
o
5.S. Application au problème initial 150
ANNEXE : NOTATIONS, RAPPELS ET COMPLEMENTS 153
0.1. Notations - 154
0.2. Espaces de Sobolev : Rappels généraux 154
0.3. Espaces de Sobolev : Le cas des ouverts du plan 164
COMMENTAIRES BIBLIOGRAPHIQUES 172
REFERENCES 174
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