Fehlerlehre und Ausgleichsrechnung:
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Berlin
de Gruyter
1980
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| adam_text | Inhalt
I Einführung in die Algebra der Matrizen 1
I1 Definition der Matrix, Sonderformen und Bezeichnungen 1
11.1 Matrix 1
11.2 Bezeichnungen 2
11.3 Transponierte Matrix 2
11.4 Überschaubarkeit der Formeln 2
11.5 Determinante 3
11.6 Diagonale und Spur 3
11.7 Aufteilung in Spalten 4
12 Rechenregeln 4
12.1 Addition, Subtraktion 4
12.2 Multiplikation 4
12.3 Summenproben 5
12.4 Lineare Funktionen und Gleichungen 6
12.5 Zweckmäßige Anordnung der Faktoren 6
12.6 Übungen zur Multiplikation 7
13 Inversion der Matrizen 8
13.1 Definition 8
13.2 Determinantenformel 9
13.3 Einfache Inversion bei Sonderformen 9
13.4 Inversion symmetrischer Matrizen 10
13.41 Algorithmus von CHOLESKY mit Inversion
13.42 Moderner GAUSScher Algorithmus mit Inversion
13.5 Lineare Gleichungen mit nichtsymmetrischer Koeffizientenmatrix . 15
13.6 Matrizeninversion durch Reihenentwicklung 19
13.61 Formeln
13.62 Anwendungen
13.63 Nachiteration
13.7 Fehlersuche, Fehlerberichtigung 20
13.8 Wissenswertes 20
13.9 Übungen 21
14 Submatrizen 22
14.1 Erklärung 22
14.2 Vorteile bei numerischen Rechnungen 23
14.3 Übungen 23
VIII Inhalt
15 Lineare Transformationen 24
15.1 Transformation als Abbildung 24
15.2 Orthogonale Transformation 24
15.21 Orthogonale und orthonormale Matrizen
15.22 Ebene Transformation
15.23 Räumliche Transformation
15.24 Rotationsmatrizen
16 Differentiation von Matrizenfunktionen 27
16.1 Differentialenvektor und totales Differential 27
16.2 Regeln zur Differentiation linearer und quadratischer Matrizenfunk¬
tionen 28
16.3 Extremwert der allgemeinen Gleichung 2. Grades 28
16.4 Übung 28
17 Rang der Matrix 29
17.1 Rangdefekt 29
17.2 Weitere Bezeichnungen 29
17.3 Rang bei Matrizenprodukten 30
17.4 Nullteiler 30
17.5 Bestimmung des Rangs einer Matrix 31
17.51 Quadratische Matrix
17.52 Hohe Matrix
18 Positiv definite Form 32
18.1 Definition und Bezeichnungen 32
18.2 Unterscheidung eingentlich definit und semidefinit 32
18.3 und 18.4 Definitheit bei reell symmetrischen Produkten 32
18.5 Bestimmung der Definitheit 33
19 Eigenwert, Eigenvektoren 33
19.1 Das Eigenwertproblem 33
19.2 Spektralmatrix und Modalmatrix 34
19.3 Beispiel 34
19.4 Weitere Zusammenhänge 34
19.5 Beispiel 35
19.6 Übung 36
19.7 Kondition 36
19.71 Ursachen schlechter Kondition
19.72 TODDsche Zahl
1973 Abschätzung nach TRENCOV
19.74 Abhilfe durch GAUSSsche Transformation
19.75 Kondition bei asymmetrischen Matrizen
Inhalt IX
19.8 Pseudoinverse 37
19.9 Idempotenz und Tripotenz 40
2 Fehlerlehre 41
21 Fehlerarten und Begriffe 41
21.1 Ungenauigkeiten 41
21.11 Meßfehler
21.12 Genauigkeitsmaße
21.13 Grobe Fehler
21.2 Elementarfehler 41
21.3 Systematische Fehler 42
21.4 Zufällige Fehler 42
21.5 Korrelierte Beobachtungen 43
21.6 Wahre Fehler und Residuen 43
22 Genauigkeitsmaße 44
22.1 Durchschnittlicher Fehler 44
22.2 Mittlerer Fehler 45
22.3 Wahrscheinlicher Fehler 45
22.4 Fehlergrenze 45
22.5 Relativer Fehler 45
22.6 Beispiel 45
23 Korrelation 46
23.1 Erklärung 46
23.2 Definitionen 47
23.3 Beispiel 49
24 Fehlerfortpflanzung 50
24.1 Lineare Funktionen. Ableitung 50
24.2 Lineare Funktionen. Beispiel 51
24.3 Nichtlineare Funktionen. Ableitung 51
24.4 Nichtlineare Funktionen. Beispiel 52
24.5 Sonderfälle beim Linearisieren 53
24.6 Linearisieren durch numerisches Differenzieren 54
24.7 Beispiel 55
25 Mittlerer Fehler 55
25.1 Berechnung aus Residuen 55
25.2 Mittlerer Fehler des einfachen Mittels 56
25.3 Beispiel 57
25.4 Mittlerer Fehler aus Doppelmessungen 57
25.5 Beispiel 58
X Inhalt
26 Gewicht und Kofaktor 58
26.1 Gewogenes Mittel 58
26.2 Kofaktoren 59
26.3 Allgemeines Fortpflanzungsgesetz der Kofaktoren 60
26.4 Fehlerfortpflanzung in Funktionen von Funktionen 61
27 Zufallsgrößen, Dichtefunktion, Verteilungsfunktion 61
27.1 Kontinuierliche Verteilungen 61
27.2 Das GAUSSsche Fehlergesetz 63
27.3 Tabellen zur Normalverteilung 65
27.4 Beispiele zum Tabellengebrauch 66
27.5 Diskrete Verteilungen 66
27.6 Die elementaren Fehlermaße in der Normalverteilung 69
27.61 Durchschnittlicher Fehler
27.62 Mittlerer Fehler
27.63 Wahrscheinlicher Fehler
27.64 Risiken
27.7 Untersuchung einer Stichprobe auf Normalverteilung 70
27.71 Histogramm
27.72 Summenlinie im Wahrscheinlichkeitspapier
28 Mehrdimensionale Verteilungen 72
28.1 Das Bivariat in Normalverteilung 72
28.2 Das Multivariat in Normalverteilung 75
3 Ausgleichung direkter und vermittelnder Beobachtungen 76
31 Die Methode der kleinsten Quadrate 76
31.1 Zwei Begründungen von C. F. GAUSS 76
31.2 Erweiterung auf korrelierte Beobachtungen 77
32 Ausgleichung direkter Beobachtungen 78
32.1 Beobachtungsreihe für eine Unbekannte 78
32.11 Formelableitung
32.12 Beispiel für das allgemeine Mittel
32.13 Wirkung hoher Korrelation
32.2 Mehrfache Messung eines Vektors 81
32.21 Problem
32.22 Formelableitung
32.23 Beispiel
Inhalt XI
33 Ausgleichung vermittelnder Beobachtungen 83
33.1 Linearisieren der Fehlergleichungen 83
33.2 Formelableitung 83
33.3 Beispiel Höhennetz 86
34 Netzverdichtung 87
34.1 Koeffizienten in Richtungs und Streckenfehlergleichungen .... 87
34.2 Aufstellen der Fehlergleichungen 89
34.3 Daten für ein Beispiel zur Netzverdichtung 90
34.31 Ausgleichung der Strecken
34.32 Ausgleichung der Richtungen
34.4 Reduzierte Fehlergleichungen 94
34.41 Problem
34.42 Reduzierte Gleichungen nach F.G. GAUSS mit Beispiel
34.43 Elimination der Orientierungsunbekannten nach
O. SCHREIBER mit Beispiel
34.44 Elimination der Orientierungsunbekannten mit der
reduzierten Gewichtsmatrix mit Beispiel
34.45 Vergleich der 3 Reduktionsverfahren
34.46 Informationsverlust bei Elimination von z
34.5 Gemeinsame Ausgleichung von Richtungen und Strecken 98
34.51 Dimensionen und Gewichte
34.52 Beispiel
34.6 Stationsausgleichungen 100
34.61 Begründung
34.62 Vollständige Richtungssätze
34.63 Ausgleichung unvollständiger Richtungssätze nach
vermittelnden Beobachtungen
34.64 Iterative Ausgleichung unvollständiger Sätze nach BESSEL
34.7 Netzverdichtung mit korrelierten Richtungssätzen 103
34.71 Die reduzierende Gewichtsmatrix G. Ableitung
34.72 G des stationsausgeglichenen Richtungssatzes mit Beispiel
34.73 G bei Korrelation zwischen den Stationen
34.74 Kovarianzmatrix der Anschlußpunkte
34.75 Wiederholung der Höhenausgleichung aus 33.3
34.76 Beispiel zu 34.72 und 34.74
34.8 Genauigkeit der Punktlage 110
34.81 Lineare Fehlermaße
34.82 Flächenhafte Fehlermaße
34.83 Punktbestimmung im Raum
34.9 Helmerts Verfahren zur Netzeinpassung 113
34.91 Aufgabe und Begriffe
34.92 Strenge Lösung
34.93 Genäherte Lösung
XII Inhalt
35 Ausgleichungen mit singulärer N Matrix 116
35.1 Rangdefekte 116
35.2 Datumsdefekt 116
35.3 Konfigurationsdefekt 117
35.4 Zwangsfreie Ausgleichung eines Lagenetzes 117
35.5 Streckennetz Sattenhausen 120
35.51 Ausgleichung mit acht freien Netzpunkten
35.52 Ausgleichung mit regulärer N Matrix
35.53 Nachträgliche Transformation
35.6 Stationsausgleichung bei Nachbarwinkelmessung 123
36 Vermittelnde Beobachtungen mit gemessenen Unbekannten
oder Bedingungen zwischen den Unbekannten 125
36.1 Zusammenfassen direkter und vermittelnder Beobachtungen ... 125
36.2 Ausgleichung eines Schwerenetzes 126
36.3 Bedingungen zwischen den Unbekannten 127
36.4 Ausgleichung in zwei Stufen 129
36.5 Stationsausgleichung zur Winkelmessung in der Sektorenmethode . 130
36.6 Netzverbesserung durch zusätzliche Messungen 132
37 Einige Ergänzungen 134
37.1 Probe für die Gewichtsreziproken der ausgeglichenen Beobachtungen 134
37.2 Nachträgliches Einbeziehen zusätzlicher Messungen in eine
Ausgleichung nach vermittelnden Beobachtungen 134
37.3 Ausgleichung ohne Normalgleichungen 135
37.4 Funktionales und stochastisches Modell 137
37.5 Direkte Berechnung der Residuen 137
4 Ausgleichung bedingter Beobachtungen 139
41 Bedingungsgleichungen, Widersprüche 139
41.1 Gang der Ausgleichung 139
41.2 Mehrere Bedingungen 140
41.3 Nichtlineare Bedingungen 141
42 Ausgleichung mit mehreren Bedingungen 142
42.1 Formelableitung 142
42.2 Ausgleichung eines freien Nivellementsnetzes 144
42.3 Ausgleichung angeschlossener Nivellements 146
42.4 Bedingungsgleichungen in freien Richtungsnetzen 146
42.41 Winkelsummenbedingungen, Sänusbedingungen
42.42 Abzählformeln
42.5 Angeschlossene Richtungsnetze 149
Inhalt XIII
42.6 Numerische Behandlung von Sinusbedingungen 150
42.7 Ausgleichung eines Vierecks mit kreuzenden Diagonalen 151
43 Ausgleichung ohne Normalgleichungen 152
43.1 Orthogonale Bedingungsgleichungen 152
43.2 Orthogonalisierung der Bedingungsgleichungen mit Beispiel.... 153
43.3 Iterative Nivellementsausgleichung nach GAUSS VOGLER ... 154
43.4 Stationsausgleichung bei der Schweizer Sektorenmethode
nach BAESCHLIN 158
44 Bedingungsgleichungen mit Unbekannten 160
44.1 Problem 160
44.2 Formelableitung 160
44.3 Fehlerrechnungen 161
44.4 Azimutbestimmung nach SODANO 163
44.5 Ausgleichungsalgorithmus der Photogrammetrie 164
44.6 Beispiel 167
5 Ausgewählte Aufgaben der Ausgleichsrechnung 170
51 Große Dreiecksnetze 170
51.1 Additionstheorem der reduzierten Normalgleichungen 170
51.2 Probleme der Netzabgrenzung 173
52 Einfluß vernachlässigter Korrelationen 174
53 Ausgleichende Funktionen 175
53.1 Die Aufgabe 175
53.2 Ausgleichende Gerade und Regressionsgerade 175
53.3 Ausgleichende Sinuslinie 177
53.4 Willkürliche Funktionen 178
53.41 Polynom mit ganzzahligen Exponenten
53.42 FOURIER Reihe
53.5 Multiple Abhängigkeiten 179
6 Einige Anwendungen der mathematischen Statistik 180
61 Verteilungsquantilen und Vertrauensbereiche 180
62 t Verteilung, t Quantilen und Vertrauensbereich für den Erwartungswert 182
62.1 t Verteilung 182
62.2 Quantilen der t Verteilung 813
62.3 Vertrauensbereich für den Erwartungswert, wenn a nicht gegeben ist 183
XIV Inhalt
63 x2 Verteilung und Vertrauensbereich für a 184
63.1 ^ Verteilung 184
63.2 Quantilen der x2 Verteilung 185
63.3 Vertrauensbereich für ö 186
64 Signifikanztest 186
64.1 Problem 186
64.2 Verstärken eines Signifikanzbeweises 188
64.3 Risiken und Macht des Testes 188
65 Teste zu Varianzen und KoVarianzen 190
65.1 F Verteilung 190
65.2 Quantilen der F Verteilung 190
65.3 Vergleich empirischer Varianzen 191
65.4 BARTLETTs Homogenitätstest 192
65.5 Verteilung des Korrelationskoeffizienten 193
65.6 Vertrauensbereich und Signifikanztest für den Korrelations¬
koeffizienten 193
66 Signifikanzteste für die Differenzen zweier Zufallsgrößen 194
66.1 Vergleich zweier empirischer Mittelwerte bei gleicher Varianz der
Beobachtungen 194
66.2 Vergleich zweier empirischer Mittelwerte bei ungleicher Varianz der
Beobachtungen 195
66.3 Vergleich zweier unabhängig ausgeglichener Werte eines Parameters 196
67 Prüfung von Verteilungen 196
67.1 x2 Anpassungstest nach K. PEARSON 196
67.2 / Anpassungstest nach MANN und WALD 198
67.3 Anpassungstest der empirischen Summenfunktion nach
KOLMOGOROW und SMIRNOW 199
67.4 Spezielle Prüfungsverfahren zur Normalverteilung 200
67.41 Zentrale Momente
47.42 Signifikanztest für Schiefe und Exzeß
47.43 Residuentest
7 Mathematische Modelle für emprische Erkenntnisse 203
71 Regressionsanalysen 203
71.1 Regressionskoeffizient 203
71.2 Regression im normalverteilten Bivariat 203
71.3 Partielle Korrelation 206
71.4 Multiple Regression 207
Inhalt XV
72 Kollokation 210
72.1 Begriffe 211
72.2 Beobachtungsgleichungen 211
72.3 Formelableitung 212
72.4 Voraussetzungen für sinnvolle Anwendung 213
72.5 Kovarianzmatrix, positiv definite Funktionen 214
Anhang
Tabelle 1: Wahrscheinlichkeitsdichte der normierten Normalverteilung . 216
Tabelle 2: Verteilungsfunktion der normierten Normalverteilung . . . .218
Literatur 221
Sachregister 225
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