Infinitesimalkalkül: Kontinuum und Zahlen - eine elementare Einführung in die Nichtstandard-Analysis
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Mannheim
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1978
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Inhalt
Seite
Vorbemerkungen 9
1. Was ist Infinitesimalmathematik und wozu betreibt man sie? 9
2. Zu den historischen Bemerkungen 9
3. Kontinuum und Zahlen 12
4. Historische Bemerkungen: Infinitesimales in der Geometrie 20
I. Genetischer Aufbau der Analysis des Infinitesimalen und
Infiniten 25
1.1 Ein einfaches Modell für die Zahlbereichserweiterung 25
1.2 Historische Bemerkungen:
Unendliche GrößenausdrUcke bei Bolzano und Euler 40
1.3 Unendliche Reihen reeller und komplexer Zahlen 47
1.4 Reelle Funktionen und Elemente der Differential- und
Integralrechnung 54
1.5 Historische Bemerkungen:
Leibniz und Euler über die aktual Unendlichen und
Infinitesimalen °
1.6 Elemente der Analysis für Nichtstandard-Funktionen 78
1.7 Historische Bemerkungen:
Polynome unendlichen Grades bei Euler, 1 Teil 85
1.8 Normale Mengen, Folgen und Funktionen:
Einige Hilfssätze und Prinzipien 88
1.9 Historische Bemerkungen:
Polynome unendlichen Grades bei Euler, 2. Teil 92
II. Allgemeinere Zahlbereiche: Reduzierte Produkte und
Ultraprodukte 95
2.1 Filter und reduzierte Produkte 95
2.2 Erveiterungen von Strukturen 100
2.3 Normale Objekte 104
2.4 SuperStruktur und normale Objekte 107
2.5 Formale Sprachen für Modelle und das Übertragungsprinzip 114
2.6 Historische Bemerkungen: Permanenzprinzipien 122 r
2.7 Einige Permanenzprinzipien der Nichtstandard-Analysis 126
III. Nichtstandard-Analysia l29
3.1 Stetigkeit bei reellen Funktionen und Konvergenz von Folgen 130
3.2 Historische Bemerkungen: Cauchy 135
8
Seite
3.3 Differentiale und Integrale 138
3.4 Verallgemeinerte Grenzwerte reeller Folgen 143
3.5 Ein Existenzsatz für Differentialgleichungen 152
3.6 Sachgemäß gestellte Probleme 155
3.7 Delta-Funktionen 159
3.8 Distributionen 164
3.9 Historische Bemerkungen:
Verallgemeinerte Funktionen bei Euler 178
Einige Bezeichnungen 182
Register 183
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