Approximants de Padé:
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| Published: |
Berlin [u.a.]
Springer
1978
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| Series: | Lecture notes in mathematics
667 |
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| adam_text | -TABLE UES MATIERES-
1, RAPPELS SUR LES SUITES NUMERIQUES 1
1.1 Notions sur la comparaison des suites et quelques
rappels sur les séries formelles., , 2
1.1.1 Terminologie et notations 2
1.1.2 Comparaison des suites , 6
1.1.3 Extrapolation (procédé de Richardson) 9
1.1.4 Quelques rappels sur les séries formelles 13
1.2 Opérateur de différence appliqué à une suite ou à une
fonction ,.., , 21
1.3 Suites ZX -équivalentes 26
1.4 Table c et déterminants du type de Toeplitz et du type
de Hankel ..., 28
2. SUITES ET FONCTIONS TOTALEMENT MONOTONES 33
========================================
2.1 Suites totalement monotones , , 36
2.2 Fonctions totalement monotones et théorème d interpolation... 42
2.2.1 Rappels 42
2.2.2 Fonctions totalement monotones 49
2.2.3 Théorèmes de Bernstein et de Hausdorff 53
2.2.4 Sur l intervalle maximal de totale monotonie 71
2.3 Propriétés des fonctions totalement monotones 76
2.4 Théorie des suites totalement monotones en termes de
fonctions totalement monotones 86
2.5 Génératrices extrémales des cônes des fonctions et
des suites totalement monotones 88
XII
3. FONCTIONS DE STIELTJES ET FONCTIONS DE CLASSE J .
RELATIONS AVEC LES SUITES 97
3.1 Problème des moments et fonctions de Stieltjes, 98
3.2 Problème des moments et suites 104
3.3 Singularité d une fonction en z=l et limites
dans un secteur,, 109
3.4 Suites totalement positives et fonctions de classe V H4
3.5 Quelques remarques sur les suites qui ne convergent
pas dans IR 118
4. FRACTIONS CONTINUES 119
4.1 Fractions continues de Jacobi (fractions J) , 121
4.2 Fractions continues de Stieltjes (fractions S) 129
4.3 Fractions J et S , fonctions rationnelles et
séries formelles 131
4.4 Développements des fonctions de Stieltjes et des
fonctions de classe é en fractions continues 143
4.5 Solution du problème des moments par l intermédiaire
des fractions continues 146
4.6 Forme générale d une fraction continue. Fractions
continues C , , , 157
5. APPROXIMANTS DE PADE - THEORIE ALGEBRIQUE 161
5.1 Introduction 164
5.2 Nouvelle définition des approximants de Padé et
révision du théorème de Gragg , 169
5.3 Revue des définitions des approximants de Padé.
Meilleure approximation locale 195
5.4 Relations entre les approximants de Padë et les
fractions continues, Normalité..,. 202
5.5 Effets des transformations de fonctions et de variable
sur les approximants de Padé, Décomposition des appro¬
ximants de Padê , , 208
5.6 Sur certaines séries lacunaires,..., , 228
XII!
6. APPROXIMANTS DE PADE ET l -ALGORITHME.. THEORIE DE LA CONVERGENCE 239
6.1 Polynômes orthogonaux engendrés par les approximants
de Padé 242
6.2 Cas des fonctions de Stieltjes 261
6.3 Théorie générale de la convergence des approximants
de Padé 275
6.3.1 Théorèmes historiques 281
6.3.2 Théorèmes généraux 283
6.3.3 Fonctions de classe £ et fonction exponentielle .. 292
6.4 Doublets de Froissart et fonctions quasi-analytiques 306
6.5 Convergence de l £ -algorithme en termes d approximants
de Padé 314
6.5.1 £ -algorithme 314
6.5.2 Généralisation d un théorème de convergence de
l fc-algorithme 321
6.5.3 Accélération de la convergence par 1 £ -algorithme .. 330
6.5.4 Propriété d anti-limite 332
6.5.5 Sur un algorithme dérivé de 1 t -algorithme 336
7- CALCUL DES APPROXIMANTS DE PADE, DES TABLES DE PADE ET DES TABLES c 339
7.1 Généralités 341
7.2 Algorithmes induits par certaines fractions continues 343
7.2.1 Algorithme induit par les fractions S 343
7.2.2 Algorithmes induits par les fractions G, C et J 350
7.3 Algorithmes de Baker, de Longman et de Pindor 358
7.4 Algorithme de Wynn, identité de Wynn-Cordellier et le
problème des blocs ; comparaisons des coûts 368
7.5 Calcul de la table c en présence des blocs 371
8. PROBLEME DU MEILLEUR APPROXIMANT DE PADE DANS UN ENSEMBLE
FINI D APPROXIMANTS 383
8.1 Difficultés de la définition du meilleur approximant
de Padé 385
8.2 Méthode ç , algorithme de détection numérique du meilleur
approximant de Padé empirique 396
XIV
8.3 Autres méthodes numériques de détection du meilleur
approximant de Padé.
Détection des blocs 405
8.4 Amélioration des méthodes de Dombes-Sykes et de Van Dyke
à l aide de la méthode d approximation de Padé 414
9. QUELQUES APPLICATIONS DES APPROXIMANTS DE PADE.
EN ANALYSE NUMERIQUE 421
9.1 Extrapolation des coefficients de Fourier d une fonction
insuffisamment échantillonnée à l aide de la méthode ç ... 424
9.2 Double accélération du calcul itératif d une transformation
conforme à l aide de la méthode ç et de 1 £ -algorithme.. 440
9.3 Sur une application possible du problème des moments 459
CONCLUSIONS 473
ANNEXES
I Sur une relation avec la transformation en 1 475
II Table des différences A pour la suite engendrée par
la fonction exponentielle 477
III Approximants de Padé généralisés 480
REFERENCES 484
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