Die Natur der mathematischen Erkenntnis: Studien zur Methodologie der Mathematik
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i
Vorwort des Herausgebers 9
Einleitung 13
Erster Teil: Die philosophischen Hauptprobleme der Grundlegung der Mathematik ... 17
Kapitel l: Das Wesen der mathematischen Abstraktion und die Spezifik des Gegenstandes
der Mathematik 17
1. Allgemeine Charakteristik der Abstraktionsmethode 18
2. Die wichtigsten mathematischen Abstraktionsverfahren und die Bildung mathematischer
Begriffe 24
3. Die Spezifik des Gegenstandes der Mathematik und die Besonderheiten der mathe¬
matischen Abstraktion 37
Kapitel 2: Die axiomatische Methode und ihre Rolle in der Mathematik 53
1. Die Entwicklung der Grundideen der axiomatischen Methode 53
2. Formale Axiomensysteme und Wissenschaftssprachen 63
i 3. Grundprobleme der Axiomatik; die syntaktischen und semantischen Methoden ihrer
Analyse 70
4. Die Axiomatisierung der Mathematik und anderer Wissenschaften 78
5. Bedingungen und Grenzen der Anwendung der axiomatischen Methode 84
6. Ursprung und Wesen der Axiome der Mathematik 93
7. Die Bedeutung der axiomatischen Methode 103
Kapitel 3: Das Problem der Unendlichkeit und die Grundlegung der Mathematik 110
1. Mathematische Unendlichkeit und die verschiedenen Abstraktionen der Realisierbar¬
keit Hl
2. Aktuale Unendlichkeit und die mengentheoretische Grundlegung der Mathematik . . . 114
3. Potentielle Unendlichkeit und die neue konstruktivistische Grundlegung der Mathe¬
matik 124
4. Die Einheit von potentieller und aktualer Unendlichkeit in der Entwicklung der Mathe¬
matik 129
5
Kapitel 4: Das Wahrheitsproblem in der Mathematik 141
1. Das Wahrheitsproblem in axiomatischen Theorien der Mathematik 142
2. Der Wahrheitsbegriff in formalisierten Systemen der Mathematik 152
3. Die Praxis als Wahrheitskriterium in der Mathematik 157
Kapitel 5: Das Existenzproblem in der Mathematik 168
1. Das platonistische Herangehen an das Problem der Existenz mathematischer Objekte
und sein Einfluß auf den Aufbau der Theorie 169
2. Die nominalistische Lösung des Existenzproblems in der Mathematik 176
3. Mathematische Existenz und Widerspruchsfreiheit .183
4. Mathematische Existenz und Konstruktivität 187
5. Der dialektische Materialismus und das Problem der Existenz abstrakter Objekte der
Wissenschaft 189
Zweiter Teil: Die philosophischen Diskussionen um das Problem der Grundlegung der
Mathematik 197
Kapitel 6: Die Grundlagenkrise der Mathematik zu Beginn des 20. Jahrhunderts und das Ent¬
stehen neuer Grundlagenschulen 197
1. Die Antinomien der Mengenlehre und Logik 197
2. Die Grundlagenkrise der Mathematik und der moderne „mathematische Idealismus 201
Kapitel 7: Der Logizismus 206
1. Die Versuche Freoes und Russells, die Mathematik aus der Logik herzuleiten . . . 210
2. Die Schwierigkeiten des Logizismus und seine weitere Entwicklung 215
3. Das Verhältnis von Logik und Mathematik, Kritik des Logizismus 218
Kapitel 8: Intuitionismus und Konstruktivismus 223
1. Die intuitionistische Auffassung von der Existenz mathematischer Objekte und vom
Gegenstand der Mathematik 224
2. Das intuitionistische Herangehen an die Probleme der Logik und der Mengentheorie 227
3. Kritik der philosophischen Ansichten der Intuitionisten 234
4. Die konstruktive Richtung in der Grundlegung der Mathematik 239
Kapitel 9: Der Formalismus 245
1. Das HiLBERTsche Programm der Grundlegung der Mathematik 246
2. Die Sätze Gödels über Unvollständigkeit, Unentscheidbarkeit und Widerspruchsfreiheit
und ihr Einfluß auf die Grundlagenforschung der Mathematik 251
3. Kritik der philosophischen Ansichten der Formalisten 254
Schluß 259
6
Literatur 265
Personenregister 277
Sachregister 281
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