Reelle Zahlen in elementarer Darstellung:
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| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Stuttgart
Klett
1979
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| Ausgabe: | 1. Aufl. |
| Schriftenreihe: | Klett-Studienbücher. Mathematik.
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Einleitung
1 Einiges über die Kulturgeschichte der Zahlen 7
Über die Geschichte der Zahlbezeichnungen — Die Entwicklung des Dezimal¬
systems Zur Geschichte des Zahlbegriffs
2 Natürliche Zahlen und die Rechenregeln für nichtnegative Zahlen 18
Die Grundregeln des Rechnens mit nichtnegativen Zahlen — Einige Folgerun¬
gen aus den Grundrechenregeln Die Potenz Übungen
3 Dezimalzahlen und ihre Anordnung 23
Zulässige und unzulässige Dezimalzahlen — Die Anordnung der Dezimalzah¬
len — Der Satz von der oberen Grenze — Übungen
4 Die Arithmetik der abbrechenden Dezimalzahlen 30
Vorbemerkungen über das Rechnen mit abbrechenden Dezimalzahlen — Defi¬
nitionen der Summe und des Produkts — Nachweis der Rechengesetze Die
Division in E Übungen
5 Arithmetik der nichtnegativen reellen Zahlen 37
Schlichte Folgen — Die Rechenoperationen für beliebige Dezimalzahlen —
Nachweis der Rechengesetze Die Differenz Rechnen mit Näherungen
Übungen
6 Quotienten, Bruchrechnung und rationale Zahlen 43
Existenz des Quotienten — Bruchrechnung und rationale Zahlen — Periodische
Dezimalzahlen Übungen
7 Beginnende Analysis — Unendliche Reihen, Potenzen und Logarithmen 49
Unendliche Reihen — Der Wettlauf des Achilles mit der Schildkröte — Ein
Zwischenwertsatz mit Anwendungen — Potenzen mit beliebigem Exponenten
— Erweiterung auf den Fall irrationaler Exponenten — Die Exponentialfunk¬
tion — Logarithmen — Interpolation — Übungen
8 Rechenalgorithmen 67
Der Divisonsalgorithmus — Veranschaulichung durch Flußdiagramme — Der
g adische Algorithmus — Der CANTOR sche Algorithmus — Ein allgemeiner
Algorithmus zur Lösung der Gleichung f(x) = c Iterationsverfahren
Übungen
9 Negative Zahlen 89
Allgemeines über negative Zahlen Ringerweiterungen Konsequenzen aus
der Existenzannahme einer Ringerweiterung Konstruktion der Ringerweite¬
rung — Nachweis der Rechengesetze des Axiomensystems I — Der Körper der
reellen Zahlen — Erweiterungen der Potenzen und Logarithmen — Einiges
über die internen Vorgänge in Computern — Übungen
3
10 Größenbereiche und Größengruppen 112
Vorbetrachtungen und Beispiele — Das Axiomensystem für Größenbereiche
und einfache Folgerungen — Größendifferenz Vervielfachung mit natürli¬
chen Zahlen — Dichtheit und Teilbarkeit — Lückenlose Größenbereiche
Größengruppen — Übungen
11 Reelle Zahlen als Maßzahlen und Operatoren 125
Maßzahlen Der Hauptsatz über die Größenmessung in lückenlosen Größen¬
bereichen — Isomorphie lückenloser Größenbereiche und Größengruppen —
Operatoren — Reelle Operatoren Übungen
12 • Klassische Wege zu den reellen Zahlen 142
Der Aufbau von DEDEKIND — Der Aufbau mittels Fundamentalfolgen — In¬
tervallschachtelungen Axiomatische Charakterisierung der reellen Zahlen
Logarithmus als Isomorphismus — Abschließende Bemerkung zum Zahlbegriff
Lösungen der Übungen 153
Anhang Aufbau des Systems der natürlichen Zahlen 159
Allgemeine Bemerkungen zur Begründung der Arithmetik Zählreihen
Isomorphie der Zählreihen Existenz einer Zählreihe — Anordnung der Zähl¬
reihe — Abzählungen endlicher Mengen — Kardinaler und ordinaler Aspekt
der natürlichen Zahlen — Arithmetik der natürlichen Zahlen.
Erläuterungen zur Terminologie 175
Literatur 178
Sachverzeichnis 179
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