Elementargeometrie und Wirklichkeit: Einführung in geometrisches Denken
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Braunschweig u.a.
Vieweg
1987
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Inhaltsverzeichnis
Seite
1 Geometrische Problemsituationen 1
1.1. Spiegel 2
1.2. Reguläre Parkettierungen der Ebene 10
1.3. Das Reuleauxsche Dreieck 14
1.4. Taximetrie 19
1.5. Eine Flächenzerlegungsaufgabe 21
1.6. Afrikanische Stickmuster 25
1.7. Geometrische Perspektive 33
2 Anschauliche Grundlagen: 46
Geometrische „Objekte" und „Operationen"
2.1. Inhaltlich-anschauliches versus axiomatisches Vorgehen 47
2.2. Grundlegende geometrische Objekte und ihre Verkörperungen 53
2.3. Grundlegende Abbildungen einer Ebene auf sich 61
2.4. Lagebeziehungen zwischen Punkten, Geraden und Ebenen 64
2.5. Operative Eigenschaften von Spiegelungen, Verschiebungen 77
und Drehungen
2.6. Charakterisierung symmetrischer Drei- und Vierecke 91
2.7. Längen- und Winkelmaß 98
2.8. Vergrößern und Verkleinern 102
2.9. Vorwärtsarbeiten und Rlickwärtsarbeiten 110
2.10. Der operative Standpunkt 113
3 Euklidische Geometrie der Ebene 118
3.1. Das Problem von SYLVESTER 119
3.2. Gekrümmte Spiegel 122
3.3. Merkwürdige Punkte im Dreieck 132
3.4. Winkel am Kreis 138
3.5. Der Satz des Pythagoras 147
3.6. Der goldene Schnitt 153
3.7. Der Peaucelliersehe Inversor 171
4 Erde und Himmel 178
4.1. Die Erdkugel 181
4.2. Die Erde von außen betrachtet 182
4.3. Erde und Fixsternhimmel (ohne Sonne) 185
4.4. Erde und Sonne von der Erde aus betrachtet 188
4.5. Erde und Sonne von der Sonne aus betrachtet 190
4.6. Sterntag und Sonnentag 193
4.7. Mond, Erde, Sonne 196
4.8. Erdumfangsbestimmung nach Eratosthenes 198
5 Symmetrie ebener Figuren 203
5.1. Die Beschreibung des "Symmetriegehaltes" einer Figur 204
durch Abbildungen
5.2. Kongruenzabbildungen der Ebene 205
5.3. Der Klassifikationssatz 209
5.4. Die Gruppe der Kongruenzabbildungen der Ebene 213
5.5. Streifenornamente 224
6 Ellipsenkonstruktionen 236
6.1. Die Papierstreifenkonstruktion der Ellipse 239
6.2. Die Spirographenkonstruktion der Ellipse 241
6.3. Kinematische Äquivalenz der Papierstreifen- und der 243
Spirographenkonstruktion
6.4. Die umgekehrte Ellipsenbewegung 251
6.5. Eine Bemerkung zur Terminologie 252
7 Die Platonischen Körper 258
7.1. Konstruktion der Platonischen Körper 262
7.2. Der Eulersche Polyedersatz 270
7.3. Die Symmetrie der Platonischen Körper 274
7.4. Abwandlungen regulärer Polyeder 281
7.5. Abschließende Bemerkungen 282
8 Länge, Inhalt, Volumen 286
8.1. Operative Eigenschaften der Maße 287
8.2. Längenvergleich und Längenberechnung 290
8.2.1. Die Streckenzug-Ungleichung 290
8.2.2. Umfang konvexer Vielecke 292
8.2.3. Die Bogenlänge 294
8.2.4. Operatives Verhalten der Bogenlänge 295
8.2.5. Der Kreisumfang 295
8.2.6. Das Bogenmaß von Winkeln 304
8.3. Flächeninhalt 304
8.3.1. Inhaltsformeln 306
8.3.2. Der Flächeninhalt krummlinig begrenzter Figuren ' 310
8.3.3. Das isoperimetrische Problem 321
8.3.4. Zerlegungsgleichheit 325
8.4. Volumen 329
8.4.1. Die Volumformel G-h für Prismen und Zylinder 329
8.4.2. Die Nichtäquivalenz von Zerlegungsgleichheit und 334
Volumgleichheit im Raum
8.4.3. Die Volumformel | G-h für Pyramiden und Kegel 335
8.4.4. Das Cavalierische Prinzip im Raum 338
8.4.5. Das Volumen der Kugel 339
8.4.6. Das Verhalten des Volumens bei zentrischen Streckungen 343
8.5. Die Oberfläche des geraden Kreiszylinders, des geraden 344
Kreiskegels und der Kugel
8.6. Groß und Klein in der Natur 347
9 Ebene Trigonometrie 355
9.1. Die Trigonometrie als Algebraisierung der Kongruenzsätze 356
9.2. Die Winkelfunktionen als "Wickelfunktionen" 357
9.3. Numerische Berechnung der Sinus- und Kosinusfunktion 361
9.4. Polarkoordinaten 363
9.5. Trigonometrie des rechtwinkligen Dreiecks und Anwendungen 364
auf die Himmelsgeometrie
9.6. Der Sinussatz 369
9.7. Der Kosinussatz 372
9.8. Die trigonometrischen Grundaufgaben 375
9.9. Trigonometrische Formeln 378
9.10. Vorwärts- und Rlickwärtseinschneiden 382
10 Elementare analytische Geometrie 387
10.1. Koordinatensysteme 391
10.2. Vektoren 394
10.3. Geradengleichungen 399
10.4. Teil Verhältnis und Anwendungen 407
10.5. Längenmaß 418
10.6. Winkelmaß 426
10.7. Der Flächeninhalt von Polygonen 435
10.8. Analytische Darstellung von Kongruenzabbildungen 442
10.9. Abriß der elementaren analytischen Geometrie des Raumes 450
10.10. Flächenwinkel bei den Platonischen Körpern 454
Sachwortverzeichnis 463 |
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