Theorie der Steinschen Räume:
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Einleitung XV
Kapitel A. Garbentheorie
§ 0. Garben und Prägarben von Mengen 1
1. Garben und Garbenabbildungen 1
2. Summengarben. Untergarben. Einschränkungen 1
3. Schnittflächen 2
4. Prägarben. Der Schnittfunktor F 2
5. Übergang von Prägarben zu Garben. Der Funktor / 3
6. Die Garbenbedingungen Gl und G2 3
7. Direkte Produkte 4
8. Bildgarben 5
9. Garbenverklebung 5
§ 1. Garben mit algebraischer Struktur 6
1. Garben von Gruppen, Ringen und J£-Moduln 6
2. Garbenhomomorphismen. Untergarben 7
3. Restklassengarben 8
4. Garben von k-Stellenalgebren 8
5. Algebraische Reduktion 9
6. Prägarben mit algebraischer Struktur 9
7. Zur Exaktheil von f und T 10
§ 2. kohärente Garben und kohärente 1 unktoren 10
1. Endliche Garben 10
2. Relationsendliche Garben 11
3. Kohärente Garben 11
4. Kohärenz trivialer Fortsetzungen 12
5. Die Funktoren ® und Ap 13
6. Der Funktor .#/ m. Annulatorgarben 14
7. Qiiotientcngarben 14
, § 3. Komplexe Räume 15
1. i-algebrierte Räume 15
2. Differenzierbare und komplexe Mannigfaltigkeiten 16
3. Komplexe Räume. Holomorphe Abbildungen 17
4. Topologische Eigenschaften komplexer Räume 18
5. Analytische Mengen 19
6. Dimensionstheorie 20
7. Reduktion komplexer Räume 21
8. Normale komplexe Räume 22
VIII Inhaltsverzeichnis
§ 4. Weiche und welke Garben 23
1. Weiche Garben 23
2. Weichheit der Strukturgarbe differenzierbarer Mannigfaltigkeiten 24
3. Welke Garben 26
4. Exaktheit des Funktors F für welke und weiche Garben 27
Kapitel B. Cohomologietheorie
§ 1. Welke Cohomologietheorie 28
1. Cohomologie von Komplexen 28
2. Welke Cohomologietheorie 30
3. Formales De Rhamsches Lemma 32
§ 2. Cechsche Cohomologietheorie 33
1. Cechkomplexe 33
2. Alternierende Cechkomplexe 34
3. Verfeinerungen. Cechsche Cohomologiemoduln H (X, S) 35
4. Alternierende Cechsche Cohomologiemoduln H a(X, S) 36
5. Verschwindungssatz für kompakte Quader 37
6. Lange exakte Cohomologiesequenz 38
§3. Leraysches Lemma und Isomorphiesatz Hqa(X,9 )^ Hq{X,,9 )^H (X,y) 40
1. Kanonische Garbenauflösung zu einer Überdeckung 40
2. Azyklische Überdeckungen 42
3. Leraysches Lemma 43
4. Der Isomorphiesatz H (X,y )^iiq{X,Sf) = Hq(X,y ) 43
Kapitel I. Kohärenzsatz für endliche holomorphe Abbildungen
§1. Endliche Abbildungen und Bildgarben 46
1. Abgeschlossene und endliche Abbildungen 46
2. Die Bijektion f^if), - f %i 47
i= 1
3. Exaktheit des Funktors /, 47
4. Die Isomorphismen H (X,y)sHq(YJt(9 )) 48
5. Die C^-Modulisomorphie f:ft(£f)y - Y !fxl 49
i
§ 2. Allgemeiner Weierstraßscher Divisionssatz und Weierstraßisomorphismus 49
1. Stetigkeit der Wurzeln 49
2. Allgemeiner Weierstraßscher Divisionssatz 50
3. Der Weierstraßisomorphismus Cj^it,(^) 51
4. Kohärenz des Funktors rc„ 52
§ 3. Der Kohärenzsatz für endliche holomorphe Abbildungen 53
1. Lokaler Projektionssatz 53
2. Endliche holomorphe Abbildungen (lokaler Fall) 54
3. Endliche holomorphe Abbildungen und Kohärenz 55
Inhaltsverzeichnis IX
Kapitel II. Differentialformen und Dolbeaulttheorie
§ 1. Komplex-wertige Differentialformen auf differenzierbaren Mannigfaltigkeiten 57
1. Tangentialvektoren 57
2. Vektorfelder 59
3. Komplexe r-Vektoren 60
4. Liftung von r-Vektoren 61
5. Komplex-wertige Differentialformen 62
6. Äußere Ableitung 63
7. Liftung von Differentialformen 64
8. De Rhamsche Cohomologiegruppen 65
§ 2. Differentialformen auf komplexen Mannigfaltigkeiten 66
1. Die Garben st1-0,st0-1 und ß1 66
2. Die Garben j^p« und Qp 67
3. Die Ableitungen d und ? 69
4. Holomorphe Liftung von (p.ij)-Formen 72
§ 3. Das Lemma von Grothendieck 73
1. Gebietsintegrale. Der Operator T 73
2. Vertauschbarkeit von T mit partieller Differentiation 74
if
3. Cauchysche Integralformel und die Gleichung T —: — f 75
cz
4. Lemma von Grothendieck 76
§ 4. Dolbeaultsche Cohomologietheorie 78
1. Lösung des r-Problems für kompakte Produktmengen 79
2. Dolbeaultsche Cohomologiegruppen 80
3. Analytische De Rham Theorie 82
Supplement zu §4.1. Ein Satz von Hartogs 82
Kapitel III. Theoreme A und B für kompakte Quader im C™
§1. Heftungslemmata von Cousin und Cartan 85
1. Lemma von Cousin 85
2. Beschränkte holomorphe Matrizen 87
3. Lemma von Cartan 89
§ 2. Verheftung von Garbenepimorphismen 91
1. Approximationssatz von Runge 92
2. Heftungslemma für Garbenepimorphismen 94
§ 3. Theoreme A und B 98
1. Kohärente analytische Garben über kompakten Quadern 98
2. Formulierung der Theoreme A und B. Reduktion von Theorem B auf Theorem A . . . 99
3. Beweis von Theorem A 100
Kapitel IV. Steinsche Räume
§1. Der Verschwindungssatz Hq(X,y) = 0 103
1. Steinsche Mengen. Folgerungen aus Theorem B 103
2. Konstruktion Steinscher Kompakta mittels des Kohärenzsatzes für endliche Abbildungen 105
X Inhaltsverzeichnis
3. Ausschöpfung komplexer Räume durch Steinsche Kompakta 105
4. Die Gleichungen Hq(X,-9 ) = Q für q 2 106
5. Die Gleichung H1{X,.9 ) = 0. Steinsche Ausschöpfungen 108
§2. Schwache Holomorphiekonvexität und Pflaster 111
1. Holomorph-konvexe Hülle 111
2. Holomorph-konvexe Räume 113
3. Pflaster 114
4. Pflasterausschöpfungen. Schwach holomorph-konvexe Räume 116
5. Holomorphiekonvexität und unbeschränkte holomorphe Funktionen 118
§ 3. Holomorph-vollständige Räume 120
1. Analytische Quader 120
2. Holomorph-ausbreitbare Räume 121
3. Holomorph-vollständige Räume 121
§4. Quaderausschöpfungen sind Steinsch 122
1. Gute Seminormen 122
2. Verträglichkeitssatz 123
3. Konvergenzsatz 124
4. Approximationssatz 125
5. Quaderausschöpfungen sind Steinsch 127
Kapitel V. Anwendungen der Theoreme A und B
§1. Beispiele Steinscher Räume 129
1. Standardkonstruktionen 129
2. Steinsche Überdeckungen 131
3. Resträume komplexer Räume 132
4. Die Räume C2 0 und C3 0 134
5. Klassische Beispiele 137
6. Steinsche Gruppen 140
§ 2. Cousin-Probleme und Poincare-Problem 140
1. Cousin I-Problem 141
2. Cousin II-Problem 142
3. Poincare-Problem 144
4. Die exakte Exponentialsequenz 0- Z- G-»C*- l 146
5. Okasches Prinzip 149
§ 3. Divisorenklassen und lokal-freie analytische Garben vom Rang 1 150
1. Divisoren und lokal-freie Garben vom Rang 1 150
2. Der Isomorphismus HHX,ß*)^LF(X) 151
3. Divisorenklassengruppe Steinscher Räume 152
§4. Garbentheoretische Charakterisierung Steinscher Räume 154
1. Zykeln und globale holomorphe Funktionen 154
2. Äquivalenzkriterium 155
3. Reduktionssatz 156
4. Differentialformen auf Steinschen Mannigfaltigkeiten 158
5. Topologische Eigenschaften Steinscher Räume 159
Inhaltsverzeichnis XI
§5. Garbentheoretische Charakterisierung Steinscher Bereiche im C™ 161
1. Induktionsprinzip 161
2. Die Gleichungen Hl(B,ßB)= ¦¦¦ =Hm~i(B,ßB) = 0 162
3. Darstellung der Eins 163
4. Charaktersatz 164
§ 6. Topologisierung von Schnittmoduln kohärenter Garben 166
0. Frecheträume 166
1. Topologie der kompakten Konvergenz 167
2. Eindeutigkeitssatz 168
3. Existenzsatz 169
4. Eigenschaften der kanonischen Topologie 171
5. Topologisierung von C(U, £f) und Z (U, Sf) 172
6. Reduzierte komplexe Räume und kompakte Konvergenz 173
7. Konvergente Reihen 174
§7. Charaktertheorie Steinscher Algebren 178
1. Charaktere und Charakterideale 179
2. Endlichkeitslemma für Charakterideale 180
3. Die Homöomorphie S:X-*X(T) 182
4. Komplex-analytische Struktur von X{T) 184
Kapitel VI. Endlichkeitssatz
§1. Quadrat-integrierbare holomorphe Funktionen 189
1. Der Raum Ch(B) 189
2. Bergmansche Ungleichung 190
3. Die Hilberträume Cj(ß) 191
4. Saturierte Mengen. Minimumprinzip 192
5. Lemma von Schwarz 192
§ 2. Monotone Orthogonalbasen 193
1. Monotonie 194
2. Untergrad 194
3. Konstruktion monotoner Orthogonalbasen mittels Minimalfunktionen 195
§ 3. Meßatlanten 196
1. Existenz 197
2. Der Hilbertraum Cl(U,2 ) 198
3. Der Hilbertraum Z h(U^) 199
4. Verfeinerungen 200
§ 4. Beweis des Endlichkeitssatzes 202
1. Glättungslemma 202
2. Endlichkeitslemma 203
3. Beweis des Endlichkeitssatzes 204
Kapitel VII. Kompakte Riemannsche Flächen
§ 1. Divisoren und lokal-freie Garben ,9-(D) 206
0. Divisoren 206
1. Divisoren meromorpher Schnittflächen 207
XII Inhaltsverzeichnis
2. Garben {D) 208
3. Garben G(D) 209
§ 2. Existenz globaler meromorpher Schnittflächen 209
1. Die Sequenz O^J^ßHJ^ß HiT^O 209
2. Charakteristikensatz und Existenztheorem 210
3. Verschwindungssatz 211
4. Gradgleichung 212
§3. Der Satz von Riemann-Roch (vorläufige Fassung) 212
1. Geschlecht. Satz von Riemann-Roch 212
2. Anwendungen 213
§ 4. Struktur lokal-freier Garben 214
1. Lokal-freie Untergarben 214
2. Existenz lokal-freier Untergarben 215
3. Kanonische Divisoren 216
Supplement zu § 4. Satz von Riemann-Roch für lokal-freie Garben 217
1. Chernfunktion 217
2. Eigenschaften der Chernfunktion 217
3. Satz von Riemann-Roch 218
§5. Die Gleichung Hl(X,Jl) = Q 218
1. Der C-Homomorphismus eiinpHXj^HomiH iXMD)), H (X,C(D + np)) 219
2. Die Gleichungen Hl(X,ß(D + np))=0 220
3. Die Gleichung Hl(X,Jt) = Q 220
§ 6. Der Dualitätssatz von Serre 221
1. Hauptteilverteilungen bzgl. eines Divisors 221
2. Die Gleichung Hl(X,0)) = I(D) 221
3. Linearformen 222
4. Die Ungleichung dimM(X)J 1 223
5. Residuenkalkül 224
6. Dualitätssatz 225
§ 7. Der Satz von Riemann-Roch (endgültige Fassung) 227
1. Die Gleichung i(D) = l{K-D) 227
2. Formel von Riemann-Roch 228
3. Theorem B für Garben 0(D) 229
4. Theorem A für Garben C(D) 229
5. Existenz meromorpher Differentialformen 230
6. Lückensatz 231
7. Theoreme A und B für beliebige lokal-freie Garben 232
8. Hodge-Zerlegung von HHX, [) 233
§ 8. Spaltung lokal-freier Garben 234
1. Die Zahl ß(f) 234
2. Maximale Untergarben 235
3. Die Ungleichung n(^) n^) + 2g 236
4. Spaltungskriterium 237
5. Satz von Grothendieck 238
Inhaltsverzeichnis XIII
6. Existenz der Spaltung 238
7. Eindeutigkeit der Spaltung 239
Literatur 241
Sachverzeichnis 243
Symbolverzeichnis 248
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