Die numerische Lösung partieller Differentialgleichungen in Wissenschaft und Technik:
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| adam_text | Inhaltsverzeichnis
Benutzungshinweise XII
Ratschläge für die Rechenpraxis XIII
Leitfaden der behandelten Randwertprobleme XVII
Leitfaden der behandelten Anfangswertprobleme XXIII
Teil 1: Die Differenzenmethode
Kapitel 1: Partielle Differentialgleichungen
1.1 Differenzen- und Differentialquotient 3
1.2 Partielle Ableitungen und ihre Diskretisierung 10
1.3 Die Kettenregel für mehrstellige Funktionen 16
1.4 Differentialgleichungen. (Anfangs)Randwertprobleme ... 20
1.5 Charakteristiken 27
1.6 Klassische Transportgleichungen 36
1.7 Ergänzungen zur Formel von TAYLOR 43
1.8 Bemerkungen, Ergänzungen und Literatur 45
Kapitel 2: Grundbegriffe und Methodik des Differenzen¬
verfahrens
2.1 Zwei Einführungsbeispiele 47
2.2 Prinzip und Flexibilität des Differenzenverfahrens ... 56
2.3 Punktgitter 61
2.4 Randwertbedingungen. Zentrierte Gitter. Hilfspunkte.
Symmetrie 67
2.5 Computergerechte Aufstellung der Differenzenglei¬
chungen 75
2.6 Anpassung (Matching) 82
2.7 Fehler, Konsistenz und Konvergenz 88
2.8 Einführung in den Stabilitätsbegriff. Anpassungs¬
instabilität 101
2.9 Bemerkungen, Ergänzungen und Literatur 108
VIII Inhaltsverzeichnis
Kapitel 3: Lineare parabolische und elliptische
Gleichungen
3.1 Lineare Gleichungen und Systeme 113
3.2 Die Stabilität linearer Anfangsrandwertaufgaben 118
3.3 Die Wärmeleitungsgleichung in ein, zwei und drei
Dimensionen 127
3.4 Die Gleichungen von LAPLACE, POISSON und HELMHOLTZ .. 134
3.5 Die verallgemeinerte Diffusionsgleichung 144
3.6 Die allgemeine nichthyperbolische Gleichung 154
3.7 Die Wahl der Maschenweiten und Zeitschritte 156
3.8 Differenzengleichungen für nichtkartesische
Koordinaten 160
3.9 Bemerkungen, Ergänzungen und Literatur 165
Teil 2: Die Lösung großer algebraischer Gleichungssysteme
Kapitel 4: Lineare Gleichungssysteme
4.1 Einige Grundbegriffe 173
4.2 Das Eliminationsverfahren von GAUSS 176
4.3 Eingangs- und Rundungsfehler 186
4.4 Positiv definite Matrizen 192
4.5 Bandmatrizen 199
4.6 Bandmatrizen der Differenzenmethode. Standard- und
Diagonalindizierung 210
4.7 Bemerkungen, Ergänzungen und Literatur 220
Kapitel 5: Iterative Methoden
5.1 Iteration mit und ohne Relaxation 222
5.2 Fehlergleichung und Konvergenz 228
5.3 Matrizen- und Fehlernormen 232
5.4 Elementare Eingabelung des rechengünstigsten
u-Wertes 237
5..S Eingabelung des fast optimalen SOR-m-Wertes für
eine wichtige Klasse von Matrizen 241
5.6 Speicherplatzbedarf und Rechenaufwand bei GAUSS-
Blimination, J, GS, JOR und SOR 248
Inhaltsverzeichnis IX
5.7 Blockiteration 253
5.8 Iteration als Eigenwertproblent 260
5.9 Bemerkungen, Ergänzungen und Literatur 271
Kapitel 6: Nichtlineare Gleichungssysteme
6.1 Einleitung 278
6.2 Das Verfahren von NEWTON-RAPHSON 279
6.3 Blockiteration 283
6.4 Literatur 286
Teil 3: Fortführung der Differenzenmethode
Kapitel 7: Probleme höheren Schwierigkeitsgrades
7.1 Die Diskretisierung nichtlinearer, insbesondere
quasilinearer Differentialgleichungen 289
7.2 Die Wellengleichung in ein, zwei und drei Dimensio¬
nen 297
7.3 Das Charakteristikenverfahren für lineare und
nichtlineare hyperbolische Gleichungen zweiter Ord¬
nung 303
7.4 Differentialgleichungssysteme. Gleichungen vierter
Ordnung 311
7.5 Gleichungen und Systeme erster Ordnung. Weiterfüh¬
rung der JOHN von NEUMANNschen Stabilitätsanalyse . 318
7.6 Hydrodynamische Probleme 328
7.7 Spezielle Randbedingungen 338
7.8 Instabilitätsunterdrückung durch Tiefpaßfilter 358
7.9 Abschließendes zur Stabilität von Differenzen¬
gleichungen 368
7.10 Bemerkungen, Erläuterungen und Literatur 375
Kapitel 8: Numerische Beispiele mit Unstetigkeiten
und Nichtlinearitäten
8.1 Die Gleichung Du = u. mit Sprungunstetigkeit —. 383
8.2 Die Gleichung (ru ) «= ru. mit Sprungunstetigkeit . 391
8.3 Nichtlineare Gleichungen 394
X Inhaltsverzeichnis
8.4 Ein nichtlineares System. Zeitschrittlänge und
Rechenzeit 398
8.5 Das Wandern einer Front 400
8.6 Regressionsglättung eines physikalisch instabilen
Problems 402
8.7 Bemerkungen, Ergänzungen und Literatur zu 8.6 406
Teil 4: Die Methode der finiten Elemente
Benutzungshinweise 409
Kapitel 9: Einführung, Mathematische Hilfsmittel
9.1 Was sind finite Elemente? 410
9.2 Gebiets- und Parameterintegrale 415
9.3 Linienintegrale 419
9.4 Einfache Variationsaufgaben 424
9.5 Allgemeinere Variationsaufgaben 429
9.6 Bemerkungen und Literatur 436
Kapitel 10: Lineare Gleichungen zweiter und vierter
Ordnung
10.1 Der Arbeitsablauf 438
10.2 Die Oberführung von Randwertproblemen in
Variationsaufgaben 439
10.3 Die Auswahl der finiten Elemente 444
10.4 Die Aufstellung der Gleichungssysteme 458
10.5 Inhomogene und anisotrope Grundgebiete. Elemente
mit gekrümmten Rändern 465
10.6 Die Ableitungen der Lösungsfunktion. Normal¬
ableitung am Rand. Gemischte Randbedingungen 472
10.7 Anfangsrandwertprobleme 476
10.9 Lineare Gleichungen vierter Ordnung 480
10.10 Bemerkungen, Ergänzungen und Literatur 485
Kapitel 11: Fortführung der Methode
11.1 Der GALERKIN-Prozeß 488
Inhaltsverzeichnis XI
11.2 Nichtlineare Randwertprobleme 493
11.3 Stationäre Gleichungssysteme 496
11.4 Die Gleichung (Aou ) + (A,u ) + (A, u ) = A, +
6 v 2 xJx v 3 y y k zJz 1
+ Xu. mit den Sonderfällen u = 0 und u = u i 0 . 497
t z y z
11.5 Hyperbolische Gleichungen und Systeme 501
11.6 Die Genauigkeit der finiten Elementmethode 504
11.7 Lösung und Bestimmtheitscharakter der Gleichungs¬
systeme bei symmetrischer Koeffizientenmatrix 509
11.8 Ein FORTRAN IV basic - TRIM 6 - Programm zur Lö¬
sung zweidimensionaler elliptischer und paraboli¬
scher Probleme 513
11.9 Ein FORTRAN IV basic - TET 4 - Programm zur Lö¬
sung dreidimensionaler elliptischer und paraboli¬
scher Probleme 533
11.10 Bemerkungen, Ergänzungen und Literatur 540
Anhang: Basisprogramne
Systemorientierte Iteration. Verschiedenes 547
Lösung von m Systemen tridiagonaler Gleichungen ... 548
Hilfsprogramme ¦ 551
Apologie des Autors 557
Namenregister • • 559
Sachregister 563
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