Formeln und Sätze für die speziellen Funktionen der mathematischen Physik:
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| adam_text | Inhaltsverzeichnis.
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Erstes Kapitel: Die Gammafinktion 1
Zweites Kapitel: Die hypergeometrisehe Funktion 10
§ 1. Die hypergeometrisehe Reihe . 10
§ 2. Die Losungen der hypergeometrischen Differentialgleichung .... 17
§ 3. Die RiEMANNsohe Differentialgleichung 20
Drittes Kapitel: Zylinderfunktionen 25
§ 1. Deflnitionen, Differentialgleichung, Rekursionsformeln, Reihenent-
wioklungen, Mehrdeutigkeit, unbestimmte Integrale 25
§ 2. Additionstheoreme. Multiplikationstheorem 30
§ 3. Asymptotische Entwicklungen 32
§ 4. NuIIstellen. Produktzerlegung ftir Jv («). Eine Partialbruchzerlegung 35
§ 5. Integraldarstellungen 36
• § 6. Integralbeziehungen. zwischen Zylinderfunktionen 42
§ 7. Bestimmte Integrale mit Zylinderfunktionen, insbesondere diskonti-
¦nuierliche Faktoren und Integraldaistellungen elementarer Funk¬
tionen - . . . . 47
§ 8. Den BussELschen Funktionen zugeordnete Polynome . 53
§ 9. Die Funktionen von Stri ve, Anger und Weber 55
§ 10. Die Funktionen von Lommel 57
§ 11. Beispiele KAPTEYNScher Reihen . 58
§ 12. ScHLOiiiLCH-Reihen 58
§ 13. Weitere Reihen mit Zylinderfunktionen 59
§ 14. MATHiEUsehe Funktionen 62
Viertes Kapitel: Kugelfunktionen 68
§ 1. Differentialgleichung, Definitionen und Bezeiehnungen 68
§ 2. Die LEGEKDREschen Polynome ,. 69
§ 3. Die zugeordneten LEGEXDREschen Funktionen ©der Kugelfunktionen -
erster Art 72
§ 4. Die Losungen der LEOEXDHESchen Differentialgleichung ...._. 75
§ 5. Allgemeine Kugelfunktionen 79
a) Darstellung durch hypergeometrisehe Funktionen. S. 79. •—
b) Rekursionsformeln und Beziehungen zwischen verschiedenen
Kugelfunktionen. 8.81. — .e) Formeln fiir spezielle Werte von
x, ii, v- S. 84. — d) Analytische Fortsetzung und Verhalten fiir
|2| 1. 85. — e) Integraldarstellungen. B. 87. — f) Einige In¬
tegrate mit Kugelfunktionen. S. 90. — g) Das Additionstheorem.
S. 90. —¦ h) Satze iiber Nullstellen. 8. 91. — i) Asymptotisches
Verhalten fiir grofier Werte von ] v j. S. 92. — k) Erganzungen. S. 94.
§ 6. Kegelfunktionen . . . . 95
* § 7. R-ing- oder Torusfunktionen 96
§ 8. Die Funktionen von Gegenbauer und die mehrdimensionalen Kugel-
flaehenfunktionen . 97
Fiinftes Kapitel: Orthogonale Polynome 102
§ 1. TscHEBYscHEFFSciie Polynome 103
§ 2. HERHiTESche Polynome 105
§ 3. jACOBische Polynome . 107
§ 4. LAtiUERREsehe Polynome 108
yjjl Inhaltsverzeiehnis.
Seite
Seehstes Kapitel: Die konfluente hypergeometrische Funktion
und ihre Spezialfaile 111
§ 1. Die Funktionea von Kommer 111
§ 2. Die Funktionen von Whittakee . . 115
§ 3. Die Funktionen ctes parabolischen Zylinders (Funktionen von Weber
und Hebmite) . 120
§ 4. Obersicht iiber die Spezialfaile der konfluenten hypergeometrischen
Funktion .. .... 124
a) Die LAOUEKBESchen Funktionen. S. 124. —• b) Die Funktionen
dea parabolischen Zylinders. S. 125. — c) Die Zylinderfunktionen.
S. 125. — d) Die unvollstandige Gammafunktion, S. 125. — e) Das
- Fehlerintegral und die FHESsELSchen Integrate. S. 126. —• f) Integral-
logarithmus, Exponentialintegral, Integralsinus, Integraleosinus.
S. 127.
Siebentes Kapitel: Elliptisehe Integrale, Thetafunktionen und
elliptische Funktionen 128
§ 1. Elliptischo Integrale 128
§ 2. Thetafunktionen . 138
§ 3. Die elliptischen Funktionen von Jacobi . 142
§ 4. Die jACOBische Zetafunktion 150
§ 5. Die WEiEBSTKASssehe p-Funktion 151
§ 6. Umrechnurigsformeln und Ausartungen 156
Achtes Kapitel: Integraltransformationen und Integral-
umkehrungen . . .. . . 159
§ 1. Die FouRiER-Transformation 160
§ 2. Die LAPLACE-Transformation 166
§ 3. Die HANKEL-Transformation 182
§ 4. Beispiele, zur MELLisr-Transformation 184
§ 5. Uber die 6Auss-Transformation 185
§ 6. Verschiedene Beispiele von Integralgleiehungen erster Art .... 186
1. Die ReziprozitStsformel von Hilbert fur den Cotangens-Kern . . 186
2. Modiikationen der Formel von Hilbert 186
3. Die ABELSche Integralgleichung 187
4. Integralumkehrungen vom Typ der MELLiN-Transformation . ¦ • 188
5. Weitere Beispiele . . ; 189
Neuntes Kapitel: Koordinaten-TransformationeH 191
§ 1. Differentialoperationen in orthogonalen Koordinaten .• 191
§ 2. Beispiele zur Trennung der Vergnderlichen . 203
Anhang zum neunten Kapitel: § 3. Lineare Differentialgleichungen 2. Ord-
nung .i 209
¦ Anhang.
§ 1. Fourierreihen, Partialbrach- und Produktdarstellungen einiger elemen-
tarer Funktionen 212
§ 2. Einige Summenformeln 217
Zusammenstellung der b-enutzten Abklirzungen 219
Verzeichnis der Funktionssymbole 221
Literaturverzeichnis 224 .
Saeh- und Namenverzeiohnis 229
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