Analytische und konstruktive Differentialgeometrie:
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Einleitung
Grundbegriffe der Vektorrechnung Seite
§ I. Der Vektorbegriff 1
§ 2. Addition von Vektoren 1
§ 3. Innere (skalare) Multiplikation 2
§ 4. Äußere (vektorielle) Multiplikation von zwei Vektoren, Determinante von
drei Vektoren, Grundformeln 2
§ 5. Vektorrechnung und Koordinatengeometrie 3
§ o. Linear abhängige Vektoren 5
§ 7. Punkte, Gerade und Ebene in Vektorsymbolik 5
§ S. Differentiation eines Vektors nach einem Parameter 6
A. Analytische Differentialgeometrie
Vorbemerkung 8
I. Raumkurven 8
§ 9. Differenzierbare Kurven, Tangente, Bogenlänge 8
§ 10. Schmiegebene 9
§ ti. Torsen 10
§12. Die Ableitungsgleichungen des Kegels, konische Krümmung 13
§ 13. Krümmung, Torsion, konische Krümmung einer Raumkurve; Krenetsche
Formeln 13
§ 14. Krümmungskreis und Schmiegkugel 15
§ 15. Die kanonischen Gleichungen einer Raumkurve, das Vorzeichen der Torsion 16
§ 16. Berührung höherer Ordnung 17
II. Längen, Winkel und Flächeninhalte auf krummen Flächen; flächentreue und
konforme Abbildungen 18
§ 17. Flächenbegriff, Berührebene 18
§ 18. Längenmessung, erste Differentialform 19
§ 19. Winkelmessung 20
§ 20. Parametertransformation, Flächenmessung 21
§ 21. Abbildung einer Fläche auf eine andere iz
§ 22. Flächentreue Abbildungen 23
§ 23. Konforme Abbildungen krummer Flächen 23
§ 24. Konforme Abbildungen in der Ebene 24
III. Krümmung der Flächen 25
§ 25. Die zweite Differentialform, Schmieglinien 25
§ 26. Die Meusniersche Formel 26
§ 27. Die Eulersche Formel der Flächentheorie 27
§ 28. Die Dupinsche Indikatrix 28
§ 29. Gaußsche und mittlere Krümmung, Krümmungslinien 29
§ 30. Konjugierte Tangenten 3l
§ 31. Die Ableitungsgleichungen von Weingarten 32
§ 32. Die Xormalentorsen, Zentraflächen 32
§ 33. Die sphärische Abbildung einer Fläche 34
§ j|. Begleitendes Dreibein eines Streifens; geodätische Krümmung, Normal-
krümmung, geodätische Torsion 36
!j 35. Die Christoffel-Symbole 38
VI Inhaltsverzeichnis
Seite
§ 36. Die Ableitungsgleichungen von Gauß 39
§ 37. Die Integrierbarkeitsbedingung von Gauß 39
§ 38. Die Integrierbarkeitsbedingungen von Mainardi und Codazzi 40
§ 39. Dreifach orthogonale Flächensysteme 41
§ 40. Drehflächen konstanter Gaußscher Krümmung 42
§ 41. Die isotropen Kurven einer Fläche 44
§ 42. Schiebflächen, Minimalflächen 45
IV. Biegung von Flächen 46
§ 43. Isometrie und Biegung; einige Biegungsinvarianten 46
§ 44. Die Biegungsinvarianz der geodätischen Krümmung 47
§ 45. Geodätische Linien 48
§ 46. Verebnung von Torsen 49
§ 47. Geodätische Parallelverschiebung; biegungsinvariante Erklärung der geo¬
dätischen Krümmung 50
§ 48. Geodätische Parameter, geodätische Polarkoordinaten 51
§ 49. Die Integralformel von Bonnet-Gauß 53
§ 50. Flächen konstanter Gaußscher Krümmung 56
§51. Eine Abbildung der inneren Geometrie der Flächen konstanter negativer
Krümmung auf die Ebene 58
§ 52. Die Identität der Begriffe „Entfernungskreise und „geodätische Kreise
auf Flächen konstanter Krümmung 61
V. Windschiefe Strahlflächen und Ergänzungen zur Kurventheorie 61
§ 53. Begleitendes Dreikant einer windschiefen Strahlfläche, Drall einer Er¬
zeugenden 61
§ 54. Die Grundinvarianten: Krümmung, Torsion und Striktion; Ableitungs¬
gleichungen 63
§ 55. Berührungskorrelation; einige besondere Strahlflächen 65
§ 5(1. Die begleitenden Torsen der Strahlflächen und Raumkurven 66
§ 57. Die Zentraltangentenfläche 67
§ 58. Die Zentralnormalenfläche 68
§ 59. Die Orthogonalkurven der Erzeugenden einer Strahlfläche; Filar- und Plan-
Evolventen und -Evoluten von Raumkurven 69
§ Oo. Existenzbeweis für Kegel, Kurven und Strahlflächen mit vorgeschriebenen
Grundinvarianten 70
j i. Bertrandsche Kurvenpaare und die ihnen verwandten Strahlflächenpaare 72
§ 62. Normalkrümmung, geodätische Krümmung und geodätische Torsion der
Striktionslinie 73
§ 63. Gaußsche und mittlere Krümmung, Schmieglinien, Krümmungslinien und
geodätische Linien auf Strahlflächen 74
§ 64. Verbiegung des Katenoids auf die Wendelfläche 75
§ 65. Mindingsche Verbiegungen einer windschiefen Strahlfläche 75
VI. Strahlkongruenzen 77
§ 66. Die Kummerschen Differentialformen 77
§ 67. Grenzpunkte, Hauptrichtungen, Formel von Hamilton 79
§ 68. Brennpunkte, Brennebenen, Brennflächen 81
§ 69. Isotrope Strahlkongruenzen 82
VII. Strahlkomplexe 83
§ 70. Plückersche Linienkoordinaten 83
§ 71. Der lineare Strahlkomplex; das Nullsystem 84
§ 72. Gewindekurven 86
§ 73- Windschiefe Gewindestrahlflächen; Liesche Schmieglinie 87
§ 74. Nichtlineare Strahlkomplexe; Komplexkurven, Komplexkegel, berührende
Gewinde 88
B. Konstruktive Differentialgeometrie
VIII. Konstruktive Ergänzungen zur Theorie der Kurven und Torsen 91
§ 75. Erzeugung von Punkten, Tangenten und Schmiegebenen durch Grenzüber¬
gänge; Dualitätsprinzip 91
§ 7(1. Die einfachsten Singularitäten an Kurven 93
?} 77. Zentralprojoküon von Raumkurven und ebene Schnitte von Tangentenflächen 95
§ 78. Definitionen des Krümmungskreises 96
Inhaltsverzeichnis VII
Siito
§79. Verhalten der Kurvetikriimmung bei Zentral- und l arallelprojektion 90
§ 80. Affinnormalen ebener Kurven 10;
§81. Konische Krümmung und Krümmungskegel der Kegelflächen 104
§ 82. Krümmungskegel, konische Krümmung und Torsion von Raumkurven ... 107
IX. Konstruktive Ergänzungen zur Flächentheorie 109
§ 83. Der Meusniersche Satz 109
§ 84. Eulersche Formel, oskulierendes Scheitelparaboloid 110
§ 83. Konstruktion der Tangenten in einem Doppelpunkt der Schnittkurve
zweier Flächen 112
§ 86. Die Sätze von Mannheim und Blaschke, duale Gegenstücke zu den Sätzen
von Meusnier und Kuler 113
§ 87. Die kubische Indikatrix und die Affinnormalen der Xormalschnitte in
einem Flächenpunkt 115
§ 88. Die kubische Indikatrix einer Fläche 2. Ordnung 118
§ 89. Die Tangenten im Tripelpunkt der Schnittkurve einer Fläche mit einer
Schmieg-F2; die Darbouxschen Tangenten 120
§ 90. Der Satz von Transon 122
§ 91. Die Flächenaffinnormale und der Kegel von B. Su 123
X. Konstruktive Ergänzungen zur Theorie der windschiefen Strahlflächen 125
§ 92. Konstruktive Einführung der Berührungskorrelation und des Dralls 125
§93. Die vier Geschwindigkeitsfunktionen; Klassifizierung der Erzeugenden.. 127
§ 94. Konstruktion der Schmiegtangenten und der Schmiegquadrik einer Er¬
zeugenden; die Schmieglinien einer Strahlfläche 130
§ 95. Konstruktion der Hauptkrümmungsradien einer Strahlfläche 132
§ 96. Konstruktion der Lieschen Schmieglinie einer Gewindestrahlfläche 133
§ 97. Konstruktion der Schmieglinien einer Ketzfläche 135
XI. Konstruktive Differentialgeometrie besonderer Flächen und Kurven 13S
§ 98. Drehflächen; verallgemeinerte Drehflächen, Gesimsflächen 138
§ 99. Schiebflächen 139
§ 100. Schraubungen; allgemeine Schraubflächen 141
§ 101. Zyklische Schraubflächen 144
§ 102. Strahlschraubflächen 146
§ 103. Das Plückersche Konoid T49
§ 104. Die Striktionslinie des einschaligen Hyperboloids T53
§ 105. Böschungslinien und Böschungsflächen 154
§ 106. Drehkegelloxodromen 135
§ 107. Böschungslinien auf Drehflächen 2. Ordnung mit lotrechter Achse 157
§ 108. Pseudogeodätische Linien auf Zylindern 139
XII. Das konforme und das projektive Bild der nichteuklidischen Geometrien auf den
Flächen konstanter Gaußscher Krümmung 161
§ 109. Das projektive Bild der elliptischen Geometrie 161
•- §110. Das konforme Bild der elliptischen Geometrie 163
§ in. Das konforme und das projektive Bild der hyperbolischen Geometrie... 166
§ 112. Anwendung der Cayley-KIeinschen Maßbestimmung in der Theorie der
Böschungslinien auf Flächen 2. Ordnung 168
XIII. Kinematische Differentialgeometrie 170
§ 113. Bewegung einer Ebene in sich, Geschwindigkeitsvektor, Momentanpol .. 170
§ 114. Überlagerung von Bewegungen, relative Bewegungen und Geschwindigkeiten 172
§ 115. Rastpolkurve, Gangpolkurve, kinematische Erzeugung der Ellipse und
der Pascalschen Schnecken 173
§ 116. Gleiten längs einer ebenen Kurve, Traktrix von Huygens und Kettenlinie 176
§ 117. Die Euler-Savarysche Konstruktion der Krümmungskreise der Punktbahnen 177
§ 118. Konstruktion der Krümmungskreise der Hüllbahnen 178
§ 119. Sphärische Bewegungen, Bewegungen im Bündel 179
§ 120. Allgemeine Bewegungen im Raum, Überlagerung von Momentanbewegungen 1S2
§ 121. Die Momentanschravibungen der begleitenden Dreikante der Strahlflächen
und Raumkurven 184
§ 122. Rast- und Gangachsenfläche 185
Namenverzeichnis 188
Sachverzeichnis 189
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