Exercices de calcul différentiel:
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Paris
Hermann
1979
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Préface ix
CHAPITRE 1 CALCUL DIFFERENTIEL 1
Rappels de cours 3
1 Espaces vectoriels normes 5
1.1 Normes 5
1.2 Normes équivalentes 5
1.3 Espaces normes de dimension finie 6
1.4 Applications linéaires continues 6
1.5 Isomorphismes 6
1.6 Sous espace 7
1.7 Espace produit 7
1.8 Espace quotient 7
1.9 Applications multilinéaires 8
2 Dérivées 8
2.1 Définitions 8
2.2 Dérivées de fonctions particulières 9
2.3 Dérivée d une fonction composée 10
2.4 Dérivée d une fonction à valeurs dans un espace produit 10
2.5 Dérivée d une fonction définie sur un ouvert d un
espace produit 10
2.6 Cas particulier 11
2.7 Dérivées successives 12
2.8 Exemples 13
3 Fonctions dérivables réelles 14
3.1 Théorèmes des accroissements finis 14
3.2 Théorème de Schwartz 14
3.3 Relation entre dérivabllité partielle et dérivabilité 14
3.4 Limites de fonctions dérivables 15
3.5 Formule de Taylor avec reste de Lagrange 15
3.6 Formule de Taylor en développement limité 15
4 Intégration des fonctions réglées 16
4.1 Définitions 16
4.2 Caractérisation des fonctions réglées 16
4.3 Exemples 16
4.4 Intégrale d une fonction réglée 16
4.5 Propriétés de l intégrale 17
4.6 Différentiation sous le signe d intégration 18
TABLE
4.7 Formule de Taylor avec reste intégral 18
5 Problèmes d extréma 19
5.1 Maxima et minima relatifs 19
5.2 Extréma liés 20
5.2.1 Condition nécessaire du premier ordre 20
5.2.2 La hessienne 20
5.3 Condition nécessaire du deuxième ordre 20
5.4 Condition suffisante du deuxième ordre 21
5.5 Théorie de Morse 21
6 Sous variétés d un espace de Banach 22
6.1 Difféomorphismes 22
6.2 Etalements 22
6.3 Le théorème d inversion locale 22
6.4 Somme directe et facteur direct topologiques 23
6.5 Monomorphismes linéaires 23
6.6 Immersions 24
6.7 Epimorphismes linéaires 24
6.8 Submersions 25
6.9 Sous variétés 25
6.10 Paramétrisation 26
6.11 L espace vectoriel tangent 26
6.12 Le graphe d une fonction dérivable 27
6.13 L image réciproque d un point par une submersion 27
6.14 Le théorème des fonctions implicites 27
6.15 Subimmersions 28
6.16 Images directes et inverses d une subimmersion 28
6.17 Rang d une application dérivable 28
6.18 Théorème du rang constant 28
Enoncé des exercices du chapitre 1 30
Solution des exercices du chapitre 1 73
CHAPITRE 2 EQUATIONS DIFFERENTIELLES 215
Rappels de cours 216
1 Equations différentielles 217
1.1 Equations différentielles du premier ordre 217
1.2 Equations différentielles d ordre n 218
2 Théorème de Cauchy Lipschitz 218
2.1 Enoncé 218
2.2 Corollaire fondamental 219
2.3 Solutions e approchées 219
2.4 Solutions maximales 220
3 Dérivabilité des solutions 220
4 Equations autonomes 220
4.1 Définition 220
TABLE
4.2 Flot local 221
4.3 Flot global 221
4.4 Groupe local à un paramètre 222
5 Equations différentielles linéaires 222
5.1 Définitions 222
5.2 Théorème d existence 222
5.3 Résolvante 223
5.4 Cas particuliers 223
6 Intégrales premières 224
6.1 Définitions 224
6.2 Equations aux dérivées partielles linéaire homogène 225
6.3 Equations aux dérivées partielles linéaires, non
homogènes 226
Enoncé des exercices du chapitre 2 227
Solution des exercices du chapitre 2 242
CHAPITRE 3 FORMES DIFFERENTIELLES 283
Rappels de cours 284
1 Rappels d algèbre linéaire 285
1.1 Applications multilinéaires alternées 285
1.2 Groupe de permutations 285
1.3 Applications multilinéaires antisymétriques 286
1.4 Produit extérieur d applications multilinéaires 286
1.5 Propriétés du produit extérieur 286
1.7 Cas de la dimension finie 287
1.6 Algèbre des formes extérieures 287
2 Formes différentielles 287
2.1 Définition 287
2.2 Produit extérieur de formes différentielles 288
3 La différentiation extérieure 289
3.1 Différentielle extérieure 289
3.2 Propriétés de la différentiation extérieure 289
3.3 Transposition k 289
3.4 Formes différentielles K 290
3.5 Exemples 291
3.6 Théorème de Poincaré 291
3.7 Formule de Stokes 291
4 Théorème de Frobènius 292
4.1 Position du problème 292
4.2 Théorème fondamental 292
4.3 Interprétation en termes de formes différentielles 292
4.4 Cas de la dimension finie 293
Enoncé des exercices du chapitre 3 295
Solution des exercices du chapitre 3 312
TABLE
CHAPITRE 4 CALCUL DES VARIATIONS 363
Rappels de cours 364
1 Position du problème 365
1.1 Notations 365
1.2 Un problème d extretnum 366
1.3 Equation d Euler 366
2 Problèmes d extremum pour des courbes assujetties à
rester sur une variété 366
2.1 Cas général 366
2.2 Problèmes à deux dimensions 368
Enoncé des exercices du chapitre 4 370
Solution des exercices du chapitre 4 378
CHAPITRE 5 REPERE MOBILE 405
Rappels de cours 407
1 Repères affines 407
2 Repères orthonormés 408
3 Le ruban des repères de Frénet 409
4 Le ruban des repères de Darboux 412
5 Surfaces riemaniennes orientées 414
6 Surface plongée dans E 416
7 La forme interne u i7 418
8 Les formes externes w et w 420
9 Les deux formes quadratiques fondamentales 421
Enoncé des exercices du chapitre 5 425
Solution des exercices du chapitre 5 433
Bibliographie 465
Index terminologique 467
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