Spezielle Funktionen:
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Leipzig
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|---|---|
| adam_text | Inhalt
1. Orthogonale Funktionensysteme 7
1.1. Grundbegriffe 7
1.1.1. Einleitung 7
1.1.2. Annäherung nach der Methode der kleinsten Abweichungsquadrate 8
1.1.3. Annäherung durch orthogonale Funktionen 9
1.1.4. Orthogonalisierung von linear unabhängigen Funktionen 11
1.2. Spezielle Orthogonalsysteme 14
1.2.1. Die Laguerreschen Polynome 15
1.2.2. Die Hermiteschen Polynome 17
1.2.3. Die Tschebyschewschen Polynome 18
2. Gammafunktion 20
2.1. Definition und Darstellungen 20
2.1.1. Definition als Verallgemeinerung der Fakultät 20
2.1.2. Residuen von F(z), Formel von Euler, Weierstraßsche Produktform, Hankeische
Integraldarstellung 23
2.2. Eigenschaften der Gammafunktion 27
2.3. Betafunktion 29
2.4. Anwendungen der Gamma und Betafunktion in der Wahrscheinlichkeitsrechnung
und Statistik 29
3. Zylinderfunktionen 31
3.1. Allgemeine Bemerkungen und Einführung der Zylinderfunktionen 1. Art 31
3.2. Zylinderfunktionen 1. Art, Besselsche Funktionen 35
3.2.1. Definition und Eigenschaften bei ganzzahligem Index 35
3.2.2. Darstellung der Besselschen Funktionen mit ganzzahligem Index durch trigono¬
metrische Integrale 39
3.2.3. Definition und grundlegende Eigenschaften der Besselfunktionen bei beliebigem
komplexen Index 41
3.2.4. Weitere Integraldarstellungen für Besselfunktionen mit beliebigem Index 44
3.2.5. Asymptotisches Verhalten der Besselschen Funktionen 45
3.2.6. Orthogonalität und Bemerkungen über Nullstellen 48
3.3. Die allgemeine Lösung der Besselschen Differentialgleichung 51
3.3.1. Fundamentalsysteme von Lösungen der Besselschen Differentialgleichung 51
3.3.2. Einige Eigenschaften der Neumannschen und Hankeischen Funktionen 55
3.3.3. Rein imaginäres Argument. Modifizierte Besselsche Funktionen 58
3.4. Einige Anwendungen 59
3.4.1. Eine Randwertaufgabe der Potentialtheorie für einen Zylinder 59
3.4.2. Zum Problem der Stabknickung 62
3.4.3. Elektron im magnetischen Wechselfeld 64
3.4.4. Kreisplatten auf elastischer Bettung bei nichtrotationssymmetrischer Belastung .... 66
4. Kugelfunktionen 68
4.1. Allgemeine Bemerkungen 68
4.2. Zonale Kugelfunktionen 71
4.2.1. Legendresche Polynome 71
4.2.2. Eigenschaften der Legendreschen Polynome 76
4.2.3. Integraldarstellungen 82
4.3. Zugeordnete Kugelfunktionen 85
4.4. Legendresche Funktionen 2. Art 89
Inhalt 5
4.5. Kugelflächenfunktionen 96
4.5.1. Herleitung und Darstellung 96
4.5.2. Orthogonalität 98
4.5.3. Entwicklung nach Kugelflächenfunktionen 99
4.6. Anwendungen der Kugelfunktionen 102
4.6.1. Randwertaufgaben für die Kugel 102
4.6.2. Potential einer inhomogen belegten Kugelfläche 105
4.6.3. Wasserstoffatom 107
5. Hypergeometrische Funktionen 109
5.1. Definition 109
5.2. Einige Eigenschaften 111
5.3. Integraldarstellungen und asymptotische Formeln 112
5.4. Darstellung der Kugelfunktionen als hypergeometrische Reihen 114
Anhang: Zusammenstellung wichtiger Formeln 116
Lösungen der Aufgaben 126
Literatur 134
Sachregister 135
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