Zufallsprozesse in dynamischen Systemen:
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Berlin, [u.a.]
Springer
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Inhaltsverzeichnis
1. Einführung in Grundgedanken der deterministischen System¬
theorie 1
1.1. Frequenzgang und Gewichtsfunktion 1
1.2. Vektorielle Differentialgleichung erster Ordnung (Dar¬
stellung im Zustandsraum) 7
1.3. Anhang: Grundbegriffe der Fouriertransformation 13
1.4. Anhang: Grundbegriffe der Matrizen und Vektorrech¬
nung 19
2. Wahrscheinlichkeitstheoretische Grundbegriffe 25
2.1. Statistischer Wahrscheinlichkeitsbegriff 25
2.1.1. Zufällige Ereignisse und ihre Verknüpfungen . 26
2.1.2. Plausibilitätsbetrachtung zur Axiomatik von Kol
mogoroff 27
2.1.3. Bedingte Wahrscheinlichkeit und statistische Un¬
abhängigkeit 31
2.2. Begriff der Verteilungsfunktion 34
2.2.1. Zufallsvariable und Zufallsprozeß 34
2.2.2. Verteilungsfunktion 38
2.2.3. Bedingte Verteilungsdichte 40
2.3. Erwartungswerte 45
2.3.1. Definition des Erwartungswerts 45
2.3.2. Momente und charakteristische Funktion 46
2.3.3. Bedingte Erwartungswerte 52
2.4. Gaußverteilungen 54
2.4.1. Eindimensionale Gaußverteilung 54
2.4.2. Mehrdimensionale Gaußverteilungen 56
2.5. Diskussion der Ergebnisse von Abschnitt 2 60
3. Korrelationsfunktionen und spektrale Leistungsdichten in linea¬
ren Systemen 64
3.1. Korrelationsfunktionen 64
3.1.1. Definition und allgemeine Eigenschaften von Kor¬
relationsfunktionen 65
IX
3.1.2. Beispiele für Autokorrelationsfunktionen 69
3.2. Spektrale Leistungsdichten 74
3.2.1. Wiener Khintchine Relation 74
3.2.2. Prozesse mit vorgegebener spektraler Leistungs¬
dichte 78
3.3. Korrelation zwischen Signalen in linearen Systemen . 79
3.3.1. Autokorrelation der Ausgangsgröße eines Filters
und Kreuzkorrelation zwischen Eingangs und Aus¬
gangsgröße 80
3.3.2. Korrelation bei Linearkombination von Zufallspro¬
zessen 82
3.4. Diskussion der Ergebnisse von Abschnitt 3 85
4. Messung stochastischer Größen 89
4.1. Messung von Erwartungswerten 90
4.1.1. Verschiedene Formeln für die Varianz von arith¬
metischen Mittelwerten 90
4.1.2. Optimale Messungen unter Nebenbedingungen. . . .101
4.2. Messung von Korrelationsfunktionen 103
4.2.1. Messung von Korrelationsfunktionen allgemein. . .104
4.2. 2. Fehlerschätzung im Gaußschen Fall 106
4.3. Messung von spektralen Leistungsdichten 110
4.3.1. Inkonsistenz des Periodogramms 111
4.3.2. Indirekte Messung über die Korrelationsfunktion. .115
4.3.3. Messung durch schmal bandige Filter 118
4.4. Diskussion derErgebnisse von Abschnitt 4 121
5. Statische nichtlineare Transformation von Zufallsprozessen . .125
5.1. Verteilungsdichten nach statischer Transformation 125
5.1.1. Transformation eindimensionaler Verteilungen. . .125
5.1.2. Transformation mehrdimensionaler Verteilungen 129
5.2. Korrelationsfunktion nach statischer Transformation . . . .134
5.2.1. Transformation beliebiger Prozesse .134
5.2.2. Transformation von Gaußprozessen 135
5.3. Stochastische Linearisierungen 144
5.3.1. Äquivalenter Verstärkungsfaktor (Gaußsche Be¬
schreibungsfunktion) 144
5.3.2. Quasilineare rückgekoppelte Systeme 149
5.3.3. Anhang: Berechnung von uneigentlichen Integra¬
len gewisser rationaler Funktionen 157
5.4. Diskussion derErgebnisse von Abschnitt 5 158
X
6. Dynamische nichtlineare Transformation von Zufallspro¬
zessen 162
6.1. Kolmogoroffsche Differentialgleichungen 163
6.1.1. Smoluchowski (Chapman Kolmogoroff) Gleichung 163
6.1.2. Klassische Herleitung der Vorwärts Gleichung
(Fokker Planck Gleichung) 164
6.1.3. Anwendung der Fokker Planck Gleichung 171
6.1.4. Klassische Herleitung der Rückwärts Gleichung . .179
6.2. Stochastische Differential und Integralgleichungen 180
6.2.1. Konvergenz im quadratischen Mittel 181
6.2.2. Wiener (Brown) scher Prozeß 186
6.2.3. Stochastische Integrale nach Ito bzw. Stratono¬
vich 189
6.2.4. Stochastische Differentialgleichungen mit weißem
Rauschen als Störfunktion 193
6.3. Diskussion der Ergebnisse von Abschnitt 6 197
7. Optimale Übertragungssysteme 202
7.1. Systeme mit vorgegebener Struktur 202
7.2. Wiener Filter 206
7.2.1. Ableitung der Wiener Hopfschen Integralgleichung 206
7.2.2. Frequenzgang des optimalen Filters 209
7.2.3. Optimierung rückgekoppelter Systeme 213
7.3. Kaiman Filter 217
7.3.1. Orthogonalitätsprinzip der linearen Schätztheorie 217
7.3.2. Rekursive Filtergleichungen im zeitdiskreten Fall 221
7.3.3. Kaiman/Bucy Filter für kontinuierliche Systeme 231
7.4. Diskussion der Ergebnisse von Abschnitt 7 246
8. Punktprozesse (Ströme von Geschehnissen) 252
8.1. Beziehungen zwischen den Wahrscheinlichkeiten für die
Punktzahlen in einem Zeitraum und den Verteilungsfunk¬
tionen für Punktabstände 255
8.1.1. Allgemeine geordnete stationäre Punktprozesses 256
8.1.2. Erneuerungsprozesse 261
8.1.3. Erwartungswerte bei Punktprozessen 264
8.2. Punktprozesse, die durch stationäre Prozesse erzeugt
werden 266
8.2.1. Erwartungs werte für Anzahl und Dauer von Auf¬
enthalten in einem gegebenen Wertebereich 267
8.2.2. Verteilungsfunktion der Dauer einer Niveauüber¬
schreitung 273
XI
8.2.3. Zusammenhang zwischen den Abständen von Null¬
durchgängen und der Autokorrelationsfunktion bei
Gaußprozessen 280
8.2.4. Wahrscheinlichkeit für den Aufenthalt in einem In¬
tervall gerader (ungerader) Nummer 282
8.3. Abwandlung von Prozessen durch Abtastung gemäß Punkt¬
prozessen 286
8.3.1. Periodische Abtastung 286
8.3.2. Stochastische, speziell Poissonsche Abtastung. . .289
8.4. Diskussion der Ergebnisse von Abschnitt 8 297
9. Lösung der Übungsaufgaben 304
Schrifttumsverzeichnis 342
Sachverzeichnis 348
Bemerkungen zum Inhaltsverzeichnis
Abschn.l enthält eine kurze Zusammenstellung der mathematischen
Beschreibungsmöglichkeiten für dynamische Systeme, wobei auch
Grundbegriffe der Fouriertransformation sowie der Matrizen und Vek¬
torrechnung wiederholt werden. Dann folgt in Abschn.2 eine kurze heu¬
ristische Einführung in die elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung,
wo bereits der Begriff Zufallsprozeß (stochastischer Prozeß) als ge¬
ordnete Menge von Zufallsvariablen erklärt wird. Als spezielle Erwar¬
tungswerte bzw. deren Fouriertransformierte werden in Abschn.3
Korrelationsfunktionen bzw. spektrale Leistungsdichten (insbesondere)
stationärer Prozesse eingeführt. Ihre Transformation durch dynamische
lineare Systeme wird untersucht. Einige Untersuchungen zur Theorie
der Messung von Kennwerten von Zufallsprozessen in Abschn.4 run¬
den die Betrachtungen dieses ersten Teils des Buches zur Praxis hin
ab. Hierauf folgt in den Abschn.5 bzw. 6 die Untersuchung des Ein¬
flusses statischer nichtlinearer bzw. dynamischer nichtlinearer Sy¬
steme auf Zufallsprozesse, wobei auch ausführlich auf rückgekoppelte
Systeme eingegangen wird. Logischerweise schließen sich daran in
Abschn.7 Optimierungsuntersuchungen verschiedener Art an. Diese
lassen sich im wesentlichen unter dem Begriff Optimalfilter Synthese
zusammenfassen, d.h. es werden realisierbare dynamische Systeme
gesucht, die einen meist als Störung— gegebenen Zufallsprozeß zum |
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