Lehrgang der mathematischen Physik:
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| Format: | Book |
| Language: | German |
| Published: |
Berlin
Akademie-Verl.
1975
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| Edition: | 2., berichtigte Aufl. |
| Series: | Mathematische Lehrbücher / 1.
15 |
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| Online Access: | Inhaltsverzeichnis |
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|---|---|
| adam_text | INHALTSVERZEICHNIS
Einführung 1
Teü I. Mittelfunktionen und verallgemeinerte Ableitungen 7
Kapitel 1. Mittelfunktionen 7
§ 1. Der Mittelungskern 7
§ 2. Mittelfunktionen 9
§ 3. Konvergenz der Mittelfunktionen 10
Übungsaufgaben 13
Kapitel 2. Verallgemeinerte Ableitungen 15
§ 1. Der Begriff der verallgemeinerten Ableitung 15
§ 2. Die einfachsten Eigenschaften der verallgemeinerten Ableitung 19
§ 3. Grenzwerteigensohaften der verallgemeinerten Ableitungen 21
14. Der Fall einer unabhängigen Veränderlichen 23
§ 5. Die SoBOLEWsohen Räume und Einbettungssätze 2ö
Übungsaufgaben 20
Teil II. Elemente der Variationsrechnung 27
Kapitel 3. Grundbegriffe 27
§ 1. Beispiele zur Ermittlung des Extremums eines Funktionais 27
§ 2. Die Aufgabenstellung der Variationsrechnung 28
§ 3. Die Variation und der Gradient eines Funktionais 31
§ 4. Die EuLBBSche Gleichung 39
§ 5. Die zweite Variation. Eine hinreichende Bedingung für das Extremuni 43
§ 6. Das isoperimetrische Problem 44
§ 7. Die Minimalfolge 49
Übungsaufgaben 49
Kapitel 4. Funktionale, die von reellen Funktionen reeller Veränderlicher abhängen öl
§ 1. Das einfachste Variationsproblem 51
§ 2. Untersuchung der zweiten Variation 33
§ 3. Der Fall mehrerer unabhängiger Veränderlicher 55
§ 4. Funktionale, die von Ableitungen höherer Ordnungen abhängen 59
§ 5. Funktionale, die von mehreren Funktionen abhängen ( 1
§ 6. Natürliche Bandbedingungen öS
X Inhaltsverzeichnis
Kapitel 5. Das Minimum des quadratischen Funktionais 70
§ 1. Der Begriff des quadratischen Funktionais 70
§ 2. Positiv definite Operatoren 71
§ 3. Der energetische Raum 76
§ 4. Das Minimumproblem des quadratischen Funktionais 84
§ 5. Die verallgemeinerte Lösung 86
§ 6. Über die Separabilität des energetischen Raumes 89
§ 7. Die Erweiterung eines positiv definiten Operators 91
§ 8. Das einfachste Randwertproblem für die gewöhnliche lineare Differential¬
gleichung 95
§ 9. Ein allgemeineres Minimumproblem für das quadratische Funktional 100
§ 10. Der Fall eines nur positiven Operators 102
Übungsaufgaben 103
Kapitel 6. Das Eigenspektrum eines positiv definiten Operators 104
§ 1. Der Begriff des Eigenspektrums eines Operators 104
§ 2. Eigenwerte und Eigenelemente eines symmetrischen Operators 106
§ 3. Das verallgemeinerte Eigenspektrum eines positiv definiten Operators 107
§ 4. Die Variationsfassung des Eigenwertproblems 109
§ 5. Der Satz über den kleinsten Eigenwert 111
§ 6. Ein Satz über das diskrete Spektrum 113
§ 7. Das STDBM LiOTrviLLBsehe Problem 117 ;
§ 8. Einige Elementarfälle 121 I
§ 9. Das Mini Max Prinzip 122 !
§ 10. Über das Wachstum der Eigenwerte beim STtTEM LiotrviüEschen Problem 125 j
Übungsaufgabe ; , 126 *
Teil III. Elemente der Theorie der Integralgleichungen 127
Kapitel 7. Vbllstetige Operatoren 127
§ 1. Notwendige Kenntnisse aus der Funktionalanalvsis 127
§ 2. Der FBEDHomsche Operator 129
§ 3. Der Integraloperator mit schwacher Singularität 131
§ 4. Operatoren mit schwacher Singularität im Raum der stetigen Funktionen 135
Übungsaufgaben 137
Kapitel 8. Die FsEDHOiaische Theorie 138
§ 1. Gleichungen mit vollstetigen Operatoren. Integralgleichungen 138
§2. Überführung in eine endlichdimensionale Gleichung. Beweis des ersten und
zweiten FüEDHOLMschen Satzes 140
§ 3. Beweis des dritten FBEDHOLMSchen Satzes 143
§ 4. Beweis des vierten FsEDHOLMsehen Satzes 144
§ 5. Die FBEDHOLMsche Alternative 147
§ 6. Über die Stetigkeit der Lösungen einer Gleichung mit schwacher Singularität 148
Teil IV. Allgemeines über partielle Differentialgleichungen 151
Kapitel 9. Differentialgleichungen und Randwertaufgaben 151
§;1. Der DifferentialauBdruek und die Differentialgleichung 151
§^2. Die Klassifizierung der Differentialgleichungen zweiter Ordnung 153
§j3. Randbedingungen und Randwertaufgaben 156
§^4. Das CAUCHYsche Problem 159
§5. Existenz , EindeutigkeitB und Korrektheitsprobleme bei Randwertaufgaben 160
Inhaltsverzeichnis XI
Kapitel 10. Charakteristiken. Die kanonische Form. Die GaEENsehen Formeln 165
§ 1. Transformation der unabhängigen. Veränderlichen 165
§2. Charakteristiken. Die Beziehung zwischen den CAüCHYSchen Anfangswerten auf
der Charakteristik 167
§ 3. Transformation der Differentialgleichungen zweiter Ordnung auf die kanonische
Form 169
§ 4. Der Fall zweier unabhängiger Veränderlicher 170
§ 5. Formal adjungierte Differentialausdrücke 173
§ 6. Die GBEBNSchen Formeln 174
Teil V. Gleichungen vom elliptischen Typ 179
Kapitel 11. Laplace Gleichung und harmonische Funktionen 179
§ 1. Grundbegriffe 179
§ 2. Die singuläre Lösung der LAPACE Gleichung 181
§ 3. Die Integraldarstellung für die Funktionen der Klasse C 2) 182
§ 4. Die Integraldarstellung einer harmonischen Funktion 185
§ 5. Der Potentialbegriff 186
§ 6. Die Eigenschaften des Volumenpotentials 188
§ 7. Der Mittelwertsatz 196
§ 8. Das Maximumprinzip 199
§ 9. Über die Konvergenz von Folgen harmonischer Funktionen 201
§ 10. Übertragung auf Gleichungen mit variablen Koeffizienten 204
Kapitel 12. Das DraiCHUBTSche und das NEUMANNsche Problem 210
§ 1. Aufgabenstellung 210
§ 2. Unitätssätze für die LAPLACB Gleichung 211
§ 3. Die Lösung des DiBiCHLETschen Problems für die Kugel 215
§ 4. Der Satz von Liomu,!! 220
§ 6. Das DnacHLBTsche Problem für das Außengebiet der Kugel 221
§ 6. Das Verhalten der Ableitungen einer harmonischen Funktion im Unendlichen 223
§ 7. Der Unitätssatz für das äußere NüUMANNSche Problem 223
Kapitel 13. Elementare Lösungen der DiBiCHLETschenund NEUMANKschen Probleme 226
§ 1. Die DiracHLETschen und NETJMAKNschen Probleme für den Kreis 226
§ 2. Das DiBiCHLETsche Problem für das Kreisringgebiet 230
§ 3. Anwendung der konformen Abbildungen 231
§ 4. Die Kugelfunktionen und ihre Eigenschaften 234
§ 5. DiBiCHiiETsche und NEUMAKNsche Probleme, die sieh mit Hilfe von Kugelfunk¬
tionen lösen lassen 237
Übungsaufgaben 240
Kapitel 14. Die Variationsmethode beim DntiCHiiETSchen Problem. Weitere positiv
definite Probleme 241
§ 1. Die FEiBDBiOHSSche Ungleichung 241
§ 2. Der Operator des DnacHLETschen Problems 243
§ 3. Der energetische Baum des DiBlOHLETschen Problems 246
§ 4. Die verallgemeinerte Lösung des DmiCHLETschen Problems 249
§ 5. Das DmiCHLETsehe Problem für die homogene Gleichung 251
§6. Über die Existenz der zweiten Ableitungen der Losung des DiKiCHLETSehen. Pro¬
blems 2S3
j § 7. Elliptische Differentialgleichungen höherer Ordnung und Gleichungssysteme ... 255
XU Inhaltsverzeichnis
| 8. Das DiKiCHLETsthe Problem für das unendliche Gebiet 258
Übungsaufgaben . 260
Kapitel 15. Das Spektrum des DraiCHLETschen Problems 262
§ 1. Integraldarstellung einer Funktion, die auf dem Rande eines endlichen Gebietes
verschwindet 262
| 2. Das Spektrum des DlBlCHLETsehea Problems für das endliehe Gebiet 263
§ 3. Einige Elementarfälle 265
§ 4. Die Waehstumsordnung der Eigenwerte 268
Kapitel 16. Das NEUHANXsche Problem 272
§ 1. Der Fall des positiven Koeffizienten C{x) 272
§ 2. Der Fall C(x) =0 273
§ 3. Die Integraldarstellung von S. L. Sobolew 275
§ 4. Untersuchung des Operators $lg 277 (
§ 5. Die verallgemeinerte Lösung des NEUMANXschen. Problems 281
Übungsaufgabe 282
Kapitel 17. Nicht selbstadjungierte elliptische Gleichungen 284
§ 1. Die verallgemeinerte Lösung 284
§ 2. Die FKEDHOLMSchen Sätze 286 *
Übungsaufgaben 288 j
S
Kapitel 18. Die potentialtheoretisehe Methode bei der homogenen LAPLACE Gleichung 289 i
§ 1. LJAPuxow Flächen 289 5
S 2. Der Raumwinkel 294 !
S 3. Das Potential der Dopjx lschieht 299
§ 4. Das Gvrsssehe Integral 300 ]
j! 5. Die Grenzwerte des Potentials der Doppelschicht 303 ,
§ 0. Die Stetigkeit des Potentials der einfachen Schicht 30ß
$ 7. Die Xormalableitung des Potentials der einfachen Schicht 308
§ 8. Zurückfühning der DmiCHLETsehen und XEUMAXNschen Probleme auf Integral ,
gleichungen 312
§ 9. Die DntloHLETschen und XECMANXsehen Probleme im Halbraum 314
§ 10. Untersuchung des ersten Paare» adjungierter Gleichungen 316
S 11. Untersuchung des zweiten Paares adjungierter Gleichungen .. t 317
§ 12. Die lÄung des DmiCHLETsehen Problems für das Außengebiet 320
§ 13. Der Fall zweier unabhängiger Veränderlicher 322
§ 14. Die Gleichungen der Potentialtheorie für den Kreis 327
Kapitel 19. Das Problem der Richtungsableitimg 330
§ 1. Aufgabenstellung 330
§ 2. Der HilbkrtscIh ()( erator 331
§ 3. Gleichungen mit dem HlLBEBTschen Operator 336
sj 4. Die Anzahl der l^ isungen und der Index de« Problems der Richtungsableitung
in der zweidimensionaten Ebene 342
Teil VI. Xkht stationäre Gleichungen 345
Kapitel 20. Die Wärmeleitungsgleichung 345
S 1. Die Wärmeleitungsgleichung und ihre Charakteristiken 345
§ 2. Das Maximumprinzip 347
Inhaltsverzeichnis XIII
§ 3. D;;s CATTCHYSohe Problem und die gemischte Aufgabe 349
§ 4. Eindeutigkeitssätze 351
§ 5. Abstrakte Funktionen einer reellen Veränderliehen 353
§ 6. Die verallgemeinerte Lösung der gemischten Aufgabe 354
Kapitel 21. Die Wellengleichung 357
§ 1. Der Begriff der Wellengleichung 357
§ 2. Die gemischte Aufgabe und ihre verallgemeinerte Lösung 358
§ 3. Die Wellengleichung mit konstanten Koeffizienten. Das CATTCHYsehe Problem.
Der charakteristische Kegel 361
§ 4. Der Eindeutigkeitssatz für das CALTCHYsche Problem. Das Abhängigkeitsgebiet 362
§ 5. Die Erscheinung der Wellenausbreitung 364
§ 6. Die verallgemeinerte Lösung des CAUCHYsehen Problems 366
Kapitel 22. Die FotTRiERsche Methode 369
§ 1. Die FouBiEBsohe Methode für die Wärmeleitungsgleichung 369
§ 2. Die Begründung der Methode 371
§ 3. Über die Existenz der klassischen LöBung. Ein Spezialfall 374
§ 4. Die FotnHEKsche Methode für die Wellengleichung 376
§ 5. Die Begründung der Methode für die homogene Gleichung 378
§ 6. Die Begründung der Methode für homogene Anfangsbedingungen 381
§ 7. Die Saitenschwingungsgleichung. Bedingungen für die Existenz der klassischen
Lösung 383
Kapitel 23. Das CAtrcHYsche Problem für die Wärmeleitungsgleichung 386
§ 1. Einige Eigenschaften der FoTTRlER Transformation 386
§ 2. Die Herleitung der PoissoNschen Formel 390
§ 3. Die Begründung der Poissouschen Formel 393
§ 4. Die unendliche Geschwindigkeit der Wärmeübertragung 396
Kapitel 24. Das CAucHYsche Problem für die Wellengleiehnng 398
§ 1. Die Anwendung der FotrBiEB Transformation 398
§ 2. Die Umformung der Lösung 400
§ 3. Der Fall des dreidimensionalen Baumes 403
. § 4. Die Begründung der KntCHHOFKichen Formel 405
§ 5. Die hintere Wellenfront 408
§ 6. Der Fall m — 2 (Die Membranschwingungsgleichung) 409
§ 7. Die Saitenschwingungsgleichung 410
§ 8. Die Wellengleichung mit veränderliehen Koeffizienten 411
Teü VII. Korrekte und nicht korrekte Aufgaben 417
Kapitel 25. Über die Korrektheit der Aufgaben der mathematischen Physik 417
§ 1. Der Hauptsatz 417
12. Positiv definite Aufgaben 418
§ 3. Das DnucHLKTsche Problem für die homogene Laplace Gleichung 420
§ 4. Das äußere NKUMANKSohe Problem 421
§ 5. Das innere NEüMAUNBehe Problem 423
| § 6. Aufgaben der W rmeleitung 426
! § 7. Abgeleitete Aufgaben für die Wellengleichung 427
§ 8. Über nicht korrekte Aufgaben der mathematischen Physik 428
XIV Inhaltsverzeichnis
Anhänge 481
Anhang 1. Elliptische Systeme 431
Anhang 2. Über das CATjcHYsche Problem für hyperbolische Gleichungen (W. M.
Babetsch) . 437
Anhang 3. Einige Fragen der Theorie allgemeiner Differentialoperatoren (W. 6. Mazja) 447
Anhang 4. Nichtlineare elliptische Gleichungen zweiter Ordnung (I. J. Bakelman) 456
Literaturhinweise 467
Sachverzeichnis 473
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| author | Michlin, Solomon G. 1908-1990 |
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