Mathematische Methoden des Ingenieurs:
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INHALT
1. Determinanten
1.1 Definitionen und nützliche Eigenschaften 13
1.2 Numerische Berechnung von Determinanten 15
1.3 Minoren und Adjunkten 17
1.4 Die Laplacesche Entwicklung 19
1.5 Andere Methoden zur numerischen Berechnung oder formelmäßigen
Darstellung 21
1.6 Geränderte Determinanten 24
1.7 Produkte von Determinanten 24
1.8 Lineare Gleichungen 26
1.9 Bedingungen für die Existenz von Lösungen 30
1.10 Der Rang einer Determinante 32
Aufgaben 33
2. Matrizen
2.1 Lineare Transformationen 47
2.2 Addition von Matrizen 52
2.3 Multiplikation mit einem Faktor 53
2.4 Multiplikation von Matrizen 53
2.5 Einige spezielle quadratische Matrizen 56
2.6 Inverse, adjungierte, transponierte, reziproke und orthogonale
Matrizen 57
2.7 Aufspaltung von Matrizen, Untermatrizen 67
2.8 Die lineare Transformation von Matrizen 72
2.9 Äquivalenz von Matrizen 78
2.10 Transformation einer quadratischen Matrix auf Diagonalform 78
2.11 Weitere Methoden zur Ermittlung der Inversen einer Matrix 83
Aufgaben 91
3. Lineare Transformationen
3.1 Vektorsysteme 98
3.2 Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit; der Rang eines Vektor¬
systems 99
3.3 Vektorielle Beschreibung einer linearen Transformation 101
3.4 Orthogonale Koordinatentransformationen; orthogonale Vektor¬
systeme ." 104
3.5 Transformation auf ein schiefwinkliges Koordinatensystem 108
3.6 Koordinatentransformation schiefwinkliger Systeme 120
3.7 Systeme linearer algebraischer Gleichungen 123
3.8 Der Rang von Matrizen mit Null Produkt 130
3.9 Das ,Law of Nullity' von Sylvester 132
6 Inhalt I
3.10 Reduktion einer quadratischen Matrix auf die Diagonalform ihrer
Eigenwerte; Normalkoordinaten 134
3.11 Das Cayley Hamiltonsche Theorem 142
3.12 Symmetrische Transformationen 145
Aufgaben 147
1.
4. Quadratische Formen
4.1 Lineare Transformation und quadratische Form 159 (
4.2 Geometrische Deutung einer quadratischen Form; lineare Transfor¬
mation und Fläche zweiten Grades 161
4.3 Variablentransformation 162
4.4 Die Hauptachsen einer Fläche zweiten Grades; Reduktion einer
quadratischen Form auf eine Summe von Quadraten; Entartung und
Rang 164
4.5 Ein verwandtes Maximum Mimmum Problem 170
4.6 Eine interessante Anwendung dieser Ergebnisse 172
4.7 Weitere Reduktionen 174
4.8 Definite quadratische Formen 177 ,
4.9 Ein Kriterium für positive Definitheit 178
4.10 Die iterierte quadratische Form 183
4.11 Gleichzeitige Reduktion eines Paares quadratischer Formen auf
Summen von Quadraten 184
4.12 Eine weitere geometrische Interpretation des gleichen Problems . 188
4.13 Einige Bemerkungen zur gleichzeitigen Reduktion von mehr als zwei
quadratischen Formen auf Summen von Quadraten 193
4.14 Die Verkürzung einer quadratischen Form als Folge linearer Bin ¦
düngen, denen ihre Variablen unterliegen 194
4.15 Die Wirkung von Bindungen auf die Eigenwerte einer quadratischen
Form 200
Aufgaben 204
5. Vektoranalysis
5.1 Vorbemerkungen und Definitionen 215
5.2 Das skalare Produkt 220
5.3 Das vektorielle Produkt 221
5.4 Das Spatprodukt 226
5.5 Der Gradient 228
5.6 Die Divergenz 233
5.7 Der Gaußsche Satz 237
5.8 Idealisierte Quellenverteilung 237
5.9 Die skalare Potentialfunktion, die einer gegebenen Quellenverteilung
zugeordnet ist 239
5.10 Der Rotor eines turbulenten Vektorfeldes 241
5.11 Der Stokessche Satz 248
5.12 Die Wirbelverteilung eines turbulenten Feldes 249
Inhalt 7
5.13 Die Vektorpotential Funktion, die einer gewissen Wirbelverteilung
zugeordnet ist 252
5.14 Die Möglichkeit einer mehrdeutigen Potentialfunktion 256
5.15 Die Differentiation von skalaren oder vektoriellen Funktionen nach
der Zeit 260
5.16 Weitere nützliche Vektorbeziehungen 264
5.17 Der Vektor r 267
5.18 Krummlinige Koordinaten 270
Aufgaben 280
6. Funktionen einer komplexen Veränderlichen
6.1 Differentiation 293
6.2 Eine graphische Darstellung; konforme Abbildung 297
6.3 Die Umkehrfunktion 299
6.4 Die z Ebene und ihre zugeordnete komplexe Kugel; der Punkt
Unendlich 302
6.5 Weitere graphische und physikalische Interpretationen 303
6.6 Integration; der Cauchysche Integralsatz 308
6.7 Die Cauchysche Integralformel 313
6.8 Die Existenz von Ableitungen beliebiger Ordnung 316
6.9 Punktmengen und unendliche Reihen 317
6.10 Taylorsche und Maclaurinsche Reihen 329
6.11 Das Prinzip der analytischen Fortsetzung 331
6.12 Singuläre Punkte und die Laurentsche Entwicklung 334
6.13 Die verschiedenen Arten von Singularitäten und die Klassifizierung
von Funktionen nach diesen 339
6.14 Nullstellen und Sattelpunkte oder Staupunkte 342
6.15 Die Berechnung geschlossener Wegintegrale; der Cauchysche Resi¬
duensatz 347
6.16 Die Partialbruchentwicklung rationaler Funktionen 352
6.17 Mehrdeutige Funktionen; Windungspunkte und Riemannsche
Flächen 355
6.18 Algebraische Funktionen; ausführliche Klassifizierung der Funktio¬
nen 364
6.19 Ein Satz, der sich auf die Zahl der Nullstellen und Pole innerhalb
eines gegebenen Gebiets bezieht; der Hauptsatz der Algebra 370
6.20 Eine Methode zur Feststellung von Nullstellen innerhalb eines
gegebenen Gebietes 372
6.21 Das Prinzip vom Maximum des Betrags; der Satz von Rouche und
das Schwarzsehe Lemma 374
6.22 Einige nützliche Zusammenhänge mit der Potentialtheorie; die
Poissonschen Integrale und die Hilbertschen Transformationen 377
6.23 Weiteres über Potentialtheorie und konjugierte Funktionen 397
6.24 Einige nützliche Funktionen der konformen Abbildung; die linear
gebrochene Funktion 409
6.25 Eine allgemeinere Abbildungsfunktion; die Schwarz Christoffelshe
Formel 429
8 Inhalt
6.26 Hurwitzsche Polynome; Stabilitätskriterien 446
6.27 Positive reelle Funktionen 462
Aufgaben 475
7. Fouriersche Reihen und Integrale
7.1 Endliche trigonometrische Polynome 495 ;
7.2 Die Orthogonalitätsbeziehungen und ihre Bedeutung für die Ent¬
wicklung beliebiger Funktionen 498
7.3 Die Fouriersche Reihe 508
7.4 Die Phasenwinkel der harmonischen Komponenten 513
7.5 Gerade und ungerade harmonische Komponenten 514
7.6 Weitere Fouriersche Entwicklungen für eine über ein endliches Inter¬
vall definierte Funktion 517
7.7 Die Fouriersche Reihe als Sonderfall der Laurentschen Entwicklung;
die komplexe Fouriersche Reihe 520
7.8 Einige erläuternde Beispiele; ein Kriterium für die Konvergenz¬
geschwindigkeit 525
7.9 Das Fouriersche Spektrum 533 ,
7.10 Leistungsprodukte und Effektivwerte 538
7.11 Summationsformeln 540
7.12 Die Eigerschaft der Fourierschen Reihen, Funktionen im Sinne der
.kleinsten Quadrate' zu approximieren 545
7.13 Die Approximationseigenschaft der Teilsummen, das Gibbssche
Phänomen 547
7.14 Approximation mittels Fejerscher Polynome 558
7.15 Fourier Analyse auf graphischem Wege 564
7.16 Beziehungen zu den Besselschen Funktionen; das Sommerfeldsche
Integral 569
7.17 Fouriersche Reihen in mehr als einer Veränderlichen 574
7.18 Frequenzgruppen 575
7.19 Das Fouriersche Integral 581
7.20 Weitere Formen, in welchen die Fourierschen Integrale dargestellt
werden können 586
7.21 Spezielle Formen für die Fourierschen Integrale, wenn die gegebene
Funktion gerade oder ungerade ist 587
7.22 Einige elementare Eigenschaften der Fourierschen Transformierten 58g
7.23 Die Transformierte eines Produkts und die Interpretation von Lei¬
stungsprodukten und Effektivwerten für Impulsfunktionen 593
7.24 Einige erläuternde Beispiele, die Singularitätsfunktionen 596
7.25 Die Fehlerfunktion und die Folge von Singularitätsfunktionen, die
aus dieser hervorgehen 611
7.26 Beziehungen zu Wegintegralen 614
Aufgaben 638
Sach und Autorenverzeichnis 647 |
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