Unitäre Darstellungen der klassischen Gruppen:
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Berlin
Akad. Verl.
1957
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| Series: | Mathematische Lehrbücher und Monographien / 2
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Vorwort XI
Vorwort der Verfasser zur deutschen Ausgabe XIII
Einleitung XXI
ERSTERTEIL
Die Darstellungen der komplexen unimodularen Gruppe ©
KAPITEL I. Die Hauptserie von Darstellungen der komplexen unimodularen Gruppe ©
§ 1. Konstruktion einer Darstellung der Hauptserie 1
§ 2. Einige Untergruppen der Gruppe © 3
1. Die Untergruppe K. 2. Die Untergruppe //. 3. Die Untergruppe Z.
4. Die Untergruppe Z- 5. Die Untergruppe D.
§3. Kanonische Zerlegungen; analytische Beschreibung der Mannigfaltigkeit Z . 8
1. Zerlegung der Elemente der Gruppe K. 2. Zerlegung der Elemente der
Gruppe //. 3. Zerlegung der Elemente der Gruppe ©. *. Analytische Be¬
schreibung der Mannigfaltigkeit Z .
§ 4. Integralbeziehungen 11
1. Integralbeziehungen auf der Gruppe K. 2. Integralbeziehungen auf der
Gruppe H. 3. Integralbeziehungen auf der Gruppe ©. 4. Eine Formel für die
Transformation des Maßes auf Z.
§ 5. Beschreibung der Darstellungen der Hauptserie und ihre Irreduzibilität . . 17
1. Beschreibung der Darstellungen der Hauptserie. 2. Formeln für diese Dar¬
stellungen in Parametern. 3. Irreduzibilität der Darstellungen der Hauptserie.
KAPITEL II. Beschreibung der Darstellungen der Hauptserie mit Hilfe der unitären
Untergruppe. Zusammenhang zwischen den Darstellungen der unimodularen
Gruppe und ihrer unitären Untergruppe. Kugelfunktionen 29
§ 6. Die unitäre Untergruppe der Gruppe © 29
1. Die Untergruppen U und F; kanonische Zerlegung. 2. Beschreibung der
Mannigfaltigkeit Z mit Hilfe der Gruppe U.
§ 7. Integralbeziehungen 30
1. Integralbeziehungen auf der Gruppe U. 2. Eine Integralbeziehung auf der
Gruppe ©. 3. Eine Beziehung zwischen den Maßen dfi{ü) und dfi[z). 4. Eine
Formel für die Transformation des Maßes dfi [ü). 5. Berechnung der Konstanten c.
§ 8. Eine zweite Methode der Beschreibung der Darstellungen der Hauptserie . . 38
§ 9. Kugelfunktionen 41
1. Bedingung für die Existenz eines Vektors, der bezüglich aller Operatoren } „
invariant ist. 2. Definition der Kugelfunktion und ihr Integralausdruck.
3. Berechnung der Kugelfunktion.
§ 10. Zerlegung nach den Darstellungen einer unitären Untergruppe 49
KAPITEL III. Die ausgearteten Serien der irreduziblen unitären Darstellungen der
Gruppe © 53
§ 11. Einige Untergruppen der Gruppe (5 5i
1. Die Untergruppe K. 2. Die Untergruppe H. 3. Die Untergruppe Z.
4. Die Untergruppe Z. 5. Die Untergruppe D.
§12. Einige Beziehungen zwischen den eingeführten Untergruppen 58
1. Darstellung der Elemente der Gruppe K. 2. Darstellung der Elemente der
Gruppe H. 3. Darstellung der Elemente der Gruppe ©. 4. Restklassen nach K.
§ 13. Integralbeziehungen 61
1. Integralbeziehungen auf der Gruppe K. 2. Integralbeziehungen auf der
Gruppe H. 3. Integralbeziehungen auf der Gruppe ffi. 4. Eine Formel für die
Transformation des Maßes d/i[z).
§ 14. Die Hauptserien von irreduziblen Darstellungen der Gruppe © 63
1. Beschreibung der Hauptserien. 2. Formeln für die Darstellungen der aus¬
gearteten Serien in Parametern. 3. Irreduzibilität der Darstellungen der
ausgearteten Hauptserien.
§ 15. Beschreibung der Darstellungen der ausgearteten Serien mit Hilfe der
unitären Untergruppe 72
1. Beschreibung der Mannigfaltigkeit Z . 2. Integralbeziehungen. 3. Eine
zweite Methode der Beschreibung der Darstellungen der ausgearteten Serien.
4. Zerlegung nach den Darstellungen der unitären Untergruppe.
KAPITEL IV. Diel ergänzenden Serien von irreduziblen unitären Darstellungen der
Gruppe © 76
§ IG. Beschreibung einiger Transitivitätsgebiete im Raum der Paare [z1, z2) . . . . 78
1. Die Mannigfaltigkeiten 3RT. 2. Das Maß in 9KT.
§ 17. Beschreibung der Darstellungen der ergänzenden Serien 81
1. Definition von a (g) und des Skalarprodukts. 2. Vereinfachende Umformung
von (17.4). 3. Die Bedingung der Positivdefinitheit der Form (17.4). Vervoll¬
ständigung des Raumes §. 4. Die Darstellungen der ergänzenden Serie. Die
ergänzenden ausgearteten Serien von Darstellungen.
§ 18. Die Transitivitätsgebiete der Paarmenge. Eine andere Schreibweise der Dar¬
stellungen der ergänzenden Serie 88
1. Zweiseitige Restklassen von © nach K. Eine andere Schreibweise der
Darstellungen der ergänzenden Serie.
KAPITEL V. Die Spur in den Darstellungen der komplexen unimodularen Gruppe . . 92
§ 19. Die Spur in den Darstellungen der Hauptserie 93
1. Der Gruppenring der Gruppe ©. 2. Zusammenhang zwischen den Dar¬
stellungen der Gruppe und den Darstellungen des Gruppenringes. 3. Der
Kern des Operators Tx; hinreichende Bedingungen für die Existenz der Spur.
4. Funktionen x[g), für die der Operator Tx eine Spur besitzt. 5. Ein Aus¬
druck für die Spur durch ein Integral über die Gruppe Z.
§ 20. Ein Ausdruck für die Spur in den Darstellungen der Hauptserie durch ein
Integral über die Gruppe ffi 99
1. Zerlegungen der Form k = C-1 5C- 2. Zerlegungen der Form g — z~1kz.
3. Eine Integralbeziehung. 4. Die Formel für die Spur.
§ 21. Die Spur in den Darstellungen der ausgearteten Hauptserien 104
1. Existenzbedingungen der Spur eines Operators Tx in den Darstellungen der
ausgearteten Serien. 2. Eine Zerlegung der Form k = f 1^^. 3. Eine Zer¬
legung der Form g = z~1kz. 4. Eine Integralbeziehung. 5. Die Formel für die
Spur in der ausgearteten Hauptserie.
§ 22. Die Spur in den Darstellungen der ergänzenden Serien 111
1. Der Kern des Operators Tx im Falle der Darstellungen der ergänzenden
Serien. 2. Ein Ausdruck für die Spur durch den Kern. 3. Formeln für die Spur
in den ergänzenden Serien.
§ 23. Stetigkeit der Spur und Vollstetigkeit der Operatoren Tx; Aquivalenzkriterien 115
1. Vollstetigkeit der Operatoren Tx. 2. Stetigkeit der Spur in den Darstel¬
lungen der Hauplserien. 3. Ein Hilfssatz über Darstellungen. 4. Äquivalenz¬
kriterien. 5. Der Fall einer beliebigen Permutation der Zahlen n„ n„, ... nr.
KAPITEL VI. Ein Analogon zur Formel von Plancherei im Falle der komplexen uni-
modularen Gruppe 124
§24. Einige Integralbcziehungen 127
1. Die Untergruppe E und die Zerlegung der Form g = u^eu^. 2. Eine
Integralbeziehung auf der Gruppe ©. 3. Eine Formel für den Übergang vom
Integral über d/i(Z,} zu einem Integral über dji[ü).
§ 25. Ein Ausdruck für die Funktion Is in Parametern 133
1. Übergang zu einem Integral über die Gruppe 11: die Funktion r (u, « ).
2. Parametrisierung der Gruppe der unitären Matrizen. 3. Ein Ausdruck für
die Diagonalelemente der Matrix e durch Parameter. 4. Ein Ausdruck für
die Funktion Ig. 5. Ein Ausdruck für die Elemente der Matrix u in Para¬
metern. 6. Ausdrücke für die Elemente vp„, vpn_1 der Matrix v durch
Parameter.
§ 26. Ein Ausdruck für x[e) durch die Funktion Ig 143
1. Der Differentialoperator L. 2. Anwendung des Operators L auf die Funk¬
tion Ig. 3. Das Versehwinden des Ausdrucks (Mpgl^)^-,,.
§ 27. Ein Analogon zur Formel von Plancherei 156
1. Eine Formel für x(e), ausgedrückt durch die Spur. 2. Ableitung des
Analogons zur Formel von Plancherei.
ZWEITER TEIL
Die unitären Darstellungen der orthogonalen Gruppe
und der symplektisehen Gruppe S
KAPITEL VII. Die Hauptserie von Darstellungen der Gruppe © 165
§28. Einige Untergruppen der Gruppe ©; kanonische Zerlegungen 165
1. Basiswahl. 2. Definition der wichtigsten Untergruppen. 3. Zerlegung der
Elemente der Gruppe //. 4. Zerlegung der Elemente der Gruppe K. 5. Zer¬
legung der Form g = kz. 6. Zerlegung der Form g = ku. 1. Zerlegung der
Form Ä = f MJ. 8. Zerlegung der Form g = z~lhz. 9. Zerlegung der
Form g = «jEifc. 10. Restklassen nach K.
§ 29. Integralbeziehungen 173
1. Parameter und Maß in der Gruppe Z. 2. l arumeler und Maß in der
Gruppe Z. 3. Parameter und Maß in der Gruppe D. 4. Parameter in der
Gruppe K. 5. Integralbeziehungen und Maße in der Gruppe K. 6. Parameter,
Integralbeziehungen und Maße in der Gruppe //. 7. Integralbeziehungen auf
der Gruppe ©.
§ 30. Beschreibung der Hauptserie von Darstellungen der Gruppe © 192
1. Beschreibung der Darstellungen der Hauptserie mit Hilfe der UntergruppeZ.
2. Formeln für die Darstellungen der Hauptserie in Parametern. 3. Beschrei¬
bung der Darstellungen der Hauptserie mit Hilfe der unitären Untergruppe.
4. Kugelfunktionen.
KAPITEL VIII. Ausgeartete und ergänzende Serien von Darstellungen der Gruppe © . 199
§31. Einige weitere Untergruppen der Gruppe © 200
1. Definition von Untergruppen der Gruppe ©. 2. Kanonische Zerlegungen.
3. Restklassen nach K.
§ 32. Unabhängige Parameter, Maße und Integralbeziehungen 205
1. Unabhängige Parameter und Maße in der Gruppe Z. 2. Parameter und
Maße in der Gruppe Z- 3. Parameter und Maße in der Gruppe D. 4. Parameter
in der Gruppe K. 5. Integralbeziehungen und Maße in der Gruppe K.
6. Parameter, Integralbeziehungen und Maße in der Gruppe H. 7. Integral¬
beziehungen auf der Gruppe ©.
§ 33. Die ausgearteten Hauptserien von Darstellungen der Gruppe © 214
1. Beschreibung der ausgearteten Hauptserien mit Hilfe der Gruppe Z.
2. Beschreibung der ausgearteten Hauptserien mit Hilfe der Gruppe II.
3. Zerlegung nach den Darstellungen der unitären Untergruppe.
§34. Die ergänzenden Serien von Darstellungen der Gruppe © 217
1. Die Mengen ZT. 2. Die Mannigfaltigkeiten 9JtT. 3. Das Maß in der Menge Zr.
4. Definition der Funktion a (gj und des Skalarprodukts in den ergänzenden
Serien. 5. Ein Ausdruck für die Form [flt /2) in Parametern. G. Die Bedingung
der Positivdefinitheit der Form {/j, /2); Vervollständigung des Raumes § .
7. Beschreibung der ergänzenden Serien von Darstellungen der Gruppe ©.
KAPITEL IX. Die Spur in den Darstellungen der Gruppe © 227
§ 35. Existenzbedingungen und Formeln für die Spur 227
1. Die Spur in der nichtausgearteten Hauptserie. 2. Die Spur in den Dar¬
stellungen der ausgearteten Hauptserien. 3. Die Spur in den Darstellungen
der ergänzenden Serien.
§ 36. Stetigkeit der Spur und Vollstetigkeit der Operatoren Tx; Äquivalenzkriterien 231
1. Vollstetigkeit der Operatoren Tx. 2. Stetigkeit der Spur in den Darstel¬
lungen der Hauptserie. 3. Äquivalenzkriterien.
Literaturverzeichnis 233^
ANHANG I
I. M. Gelfand und M. A. Neumark
Unitäre Darstellungen einer unimodularen Gruppe, die die Einheitsdarstellung der
unitären Untergruppe enthalten 237
Aus „Arbeiten der Moskauer math. Gesellschalt Bd. 1 (1952), 423 — 475.
Einleitung 238
§ 1. Die Algebra Ro der Funktionen der zweiseitigen Restklassen der Gruppe ©
nach der Untergruppe U 240
1. Die Gruppenalgebra der Gruppe li . 2. Definition der Algebra A o. 3. Die
Kugelfunktionen der Klasse 1. 4. Zusammenhang zwischen den Darstellungen
der Klasse 1 und den maximalen Idealen der Algebra /?„.
§ 2. Die maximalen Ideale der Algebra i?0 249
1. Realisierung der Algebra Ro. 2. Die Kugell uuktioiien der nichtausgearteten
Hauptserie von Darstellungen der Klasse 1. 3. Die Kugelfunktionen ausgearte¬
ter Hauplserien. 4. Die Kugelfunktionen der Nebenserien. 5. Der Differential¬
operator L. G. Die Algebra S und R ^. 7. Homomorphismen der Algebra S in
den Körper der komplexen Zahlen. 8. Die maximalen Ideale der Algebra i?0.
§ 3. Beschreibung aller irreduziblen unitären Darstellungen der Klasse 1 .... 269
1. Die symmetrischen maximalen Ideale der Algebra i?0. 2. Realisierung der
Darstellungen der Klasse 1. 3. Ein unmittelbarer Überblick über die positiv
definiten Funktionen qj. 4. Positive Linearformen in den Algebraen Ro und R.
5. Zerlegung jeder unitären Darstellung der Klasse 1 nach irreduziblen Dar¬
stellungen der Klasse 1.
Literatur 291
ANHANG II
I. M. Gelfand und M. I. Grajcr.
Über eine allgemeine Methode zur Zerlegung der regulären Darstellung einer Lieschen
Gruppe in irreduzible Darstellungen 293
Aus„Doklady der Akademie d.Wissenschaf ten SSSR , Bd. 92 (1953), 221 — 224.
ANHANG III
I. M. Gelland und M. I. Grajew
Ein Analogon der Plancherelschen Formel für die klassischen Gruppen 301
Aus „Arbeiten der Moskauer math. Gesellschaft Bd. 4 (1955), 375—404.
§ 1. Das Integral vom M. Rieszschen Typus 304
§ 2. Das Analogon der Plancherelschen Formel für die komplexe unimodulare
Gruppe 311
§ 3. Das Analogon der Plancherelschen Formel für die orthogonale und die sym-
plektische Gruppe 322
Literatur 333
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