Numerik symmetrischer Matrizen:
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| Language: | German |
| Published: |
Stuttgart
Teubner
1972
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| Edition: | 2., durchges. und erw. Aufl. |
| Series: | Leitfäden der angewandten Mathematik und Mechanik
11 |
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1. Euklidischer Vektorraum. Normen. Quadratische Formen. Symmetrisch deflnite
Gleichungssysteme
1.1. Der lineare Vektorraum, Matrizen 11
1.1.1. Der w dimensionale Vektorraum 11
1.1.2. Lineare Transformationen. Matrizen 13
1.2. Normen, Kondition einer Matrix 17
1.3. Notwendige und hinreichende Kriterien für die Definitheit einer
quadratischen Form 23
1.3.1. Direkte Kriterien, notwendige Bedingungen 23
1.3.1.1. Spezielle Beispiele 23
1.3.1.2. Notwendige Bedingungen 24
1 1.3.2. Kriterium der überwiegenden positiven Diagonalelemente 25
1.3.3. Systematische Reduktion auf eine Summe von Quadraten 28
1.4. Symmetrische Dreieckszerlegung, Methode von Cholesky ... 31
1.4.1. Dreiecksmatrizen 31
1.4.2. Die Methode von Cholesky 34
1.4.3. Auflösung symmetrisch definiter Gleichungssysteme ... 36
1.4.4. Inversion einer positiv definiten Matrix 40
1.4.5. Symmetrisch definite Bandmatrizen 41
2. Relaxationsmethoden
2.1. Grundlagen der Relaxationsrechnung 45
2.1.1. Symmetrisch definites Gleichungssystem als Minimum¬
problem 45
2.1.2. Grundprinzip der Relaxation 46
2.2. Das Einzelschrittverfahren 48
2.2.1. Handrelaxation 48
2.2.2. Das Einzelschrittverfahren (Gauß Seidel) 50
2.2.3. Methode der Überrelaxation 55
2.2.4. Optimale Wahl des Überrelaxationsfaktors 59
2.3. Gradientenmethoden 66
2.3.1. Das Prinzip 66
2.3.2. Methode des stärksten Abstiegs 67
2.3.3. Das Gesamtschrittverfahren 68
8 Inhalt l
2.4. Methode der konjugierten Gradienten 71
2.4.1. Herleitung 71
2.4.2. Eigenschaften und Vereinfachungen 72
2.4.3. Der Rechenprozeß 75
3. AusgleidisrechiHiiig
3.1. Problemstellung 78
3.1.1. Vermittelnde Ausgleichung 79
3.1.2. Bedingte Ausgleichung 81
3.2. Vermittelnde Ausgleichung 82
3.2.1. Die Gaußschen Normalgleichungen 82
3.2.2. Zur Auflösung der Normalgleichungen 84
3.3. Bedingte Ausgleichung 87
3.3.1. Die Korrelatengleichungen 87
3.3.2. Dualität der Ausgleichung 90
3.4. Die Methode der Orthogonalisierung in der Ausgleichsrechnung 93
3.4.1. Das Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren .... 93
3.4.2. Anwendung auf Ausgleichsprobleme 96
3.4.3. Numerische Gegenüberstellung mit der Methode von
Cholesky 100
3.5. Die Methode der konjugierten Gradienten in der Ausgleichs¬
rechnung 103
4. Symmetrische Eigenwertprobiene
4.1. Eigenwertprobleme der Physik 103
4.2. Kritik des charakteristischen Polynoms 106
4.3. Das Hauptachsentheorem 109
4.4. Transformation auf Diagonalform. Simultane Berechnung aller
Eigenwerte 113
4.4.1. Elementare orthogonale zweidimensionale Drehungen . . 113
4.4.2. Das klassische Jacobi Verfahren 116
4.4.3. Zyklische Jacobi Verfahren 123
4.5. Transformation auf tridiagonale Form. Sturmsche Kette. Berech¬
nung einzelner Eigenwerte 126
4.5.1. Die Methode von Givens 127
4.5.2. Die Methode von Householder 129
4.5.3. Die Sturmsche Kette 134
4.5.4. Die Eigenwerte von symmetrischen tridiagonalen Matrizen 137
4.5.5. Die Eigenvektoren von tridiagonalen Matrizen 144
4.6. LR Transformation und QD Algorithmus. Berechnung der
kleinsten Eigenwerte 146
4.6.1. Die LR Transformation 147
Inhalt 9
4.6.2. Konvergenzbeweis des LR Cholesky Verfahrens .... 150
4.6.3. Konvergenzverhalten, Koordinatenverschiebung .... 152
4.6.4. Symmetrisch definite Bandmatrizen 160
4.6.5. Der QD Algorithmus 163
4.6.6. Anwendungen des QD Algorithmus 172
4.7. Vektoriteration. Größte und kleinste Eigenwerte 175
4.7.1. Klassische Vektoriteratio0. Potenzmethode 176
4.7.2. Bestimmung des zweitgrößten Eigenwertes ...... 179
4.7.3. Inverse Vektoriteration 180
4.7.4. Simultane Vektoriteration 182
4.8. Das allgemeine symmetrische Eigenwertproblem 187
4.8.1. Transformation auf ein spezielles symmetrisches Eigen¬
wertproblem 187
4.8.2. Jacobische Methode 188
4.8.3. Methode der Vektoriteration 190
4.9. Übersicht über die Eigenwertmethoden 191
5. Randwertprobleme, Relaxation
5.1. Randwertprobleme 193
5.1.1. Die Energiemethode 193
5.1.2. Selbstadjungiertheit 195
5.1.3. Diskretisation 197
5.1.4. Struktur der linearen Gleichungen 203
5.2. Operatorgleichungen und Relaxation 206
5.2.1. Elementare Relaxationsmethoden 206
5.2.2. Überrelaxation, Property A 208
5.2.3. Implizite Blockrelaxation 216
5.2.4. Methode der alternierenden Richtungen 223
5.2.5. Methode der konjugierten Gradienten 231
5.3. Das Eigenwertproblem 232
Anhang A: Die Methode der konjugierten Gradienten in der
Ausgleichsrechnimg 235
Anhang B: Aufgaben 240
Literatur 253
Namen und Sachverzeichnis 257
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