Analysis und mathematische Physik:
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|---|---|
| Format: | Book |
| Language: | German |
| Published: |
Basel [u.a.]
Birkhäuser
1989
|
| Edition: | 3., bearb. Aufl. |
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| Online Access: | Inhaltsverzeichnis |
| Physical Description: | 451 S. graph. Darst. |
| ISBN: | 3764322500 |
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Inhalt
1. Zahlen und Bäume 22
1.1. Reelle Zahlen 22
1.1.1. Zahlsysteme 22
1.1.2. Abstand und Vollständigkeitsaxiom 23
1.2. Komplexe Zahlen 23
1.2.1. Definitionen 23
1.2.2. Eigenschaften 24
1.2.3. Konjugierte Elemente, Subtraktion und Division 24
1.2.4. Normaldarstellung 25
1.3. Rn, C„ und metrische Räume 26
1.3.1. Der ra dimensionale reelle Baum Bn 26
1.3.2. Der w dimensionale komplexe Raum C„ 26
1.3.3. Der metrische Raum 27
2. Konvergenz und Stetigkeit 28
2.1. Folgen 28
2.1.1. Infimum, Supremum und Limes 28
2.1.2. Eigenschaften konvergenter Folgen 29
2.1.3. Beispiele 29
2.2. Reihen 30
2.2.1. Konvergenz und Divergenz 30
2.2.2. Beispiele 31
2.2.3. Konvergenzkriterien 31
2.2.4. Umordnungen, Multiplikationen und Additionen 32
2.3. Reelle Funktionen im Ri 33
2.3.1. Definition 33
2.3.2. Eigenschaften stetiger Funktionen 35
2.4. Stetige Abbildungen in metrischen Räumen 36
2.4.1. Definition 36
2.4.2. Beispiele 36
2.4.3. Reelle stetige Funktionen im Rn 37
2.5. Vollständige metrische Räume 38
2.5.1. Definitionen 38
2.5.2. Der Raum C [a, b] 38
2.5.3. Der Banachsche Fixpunktsatz 39
3. Differential und Integralrechnung im ßi (Grundbegriffe) 40
3.1. Differentiation 40
3.1.1. Definitionen 40
3.1.2. Regeln 41
8 Inhalt
3.1.3. Beispiele (Rationale Funktionen) 41
3.1.4. Umkehrfunktionen 42
3.1.5. Mittelwertsätze 42
3.1.6. Ableitungen höherer Ordnung, Ableitungen komplexer Funktionen 43
3.2. Integration reeller Funktionen 44
3.2.1. Definition des Riemannschen Integrals 44
3.2.2. Eigenschaften 45
3.2.3. Vertauschbarkeit von Limes und Integration 45
3.2.4. Beispiele und Gegenbeispiele integrierbarer Funktionen 46
3.2.5. Stammfunktionen 46
3.2.6. Integraloperatoren 47
4. Gewöhnliche Differentialgleichungen (Existenz und Unitätssätze) 49
4.1. Aiifangswertprobleme 49
4.1.1. Die Differentialgleichung /(» (z)=0 49
4.1.2. Problemstellung 49
4.2. Existenz und Unitätssätze 50
*.2.1. Systeme erster Ordnung 50
4.2.2. Differentialgleichungen ?i ter Ordnung 50
4.2.3. Lokale Existenz und Unitätssätze 51
5. Elementare Funktionen und Potenzreihen 51
5.1. Exponentialfunktionen und Potenzfunktionen (reell) 51
5.1.1. Die Funktion e* 51
5.1.2. Die Funktion log x 52
5.1.3. Die Zahle 53
5.1.4. Die Funktionen ax und loga x 53
5.1.5. Die Funktion x" 53
5.2. Trigonometrische Funktionen 54
5.2.1. Die Funktionen sin x und cos x 54
5.2.2. Die Funktionen tan x und cot x 55
5.2.3. Die Funktionen aresin x und aretan x 55
.5.2.4. Die Funktion e 56
5.3. Exponentialfunktionen und Potenzfunktionen (komplex) 57
5.3.1. Die Funktionen ez und In z 57
5.3.2. Die Funktion zw, Riemannsche Flächen 58
5.3.3. Einheitswurzeln, Fundamentalsatz der Algebra 58
5.4. Potenzreihen 60
5.4.1. Konvergenzradius 60
5.4.2. Addition und Multiplikation von Potenzreihen 60
5.4.3. Differentiation von Funktionenfolgen und Potenzreihen 61
5.4.4. Taylorreihen 61
5.4.5. Beispiele und Gegenbeispiele für Taylorreihen 62
5.4.6. Potenzreihe für e2, analytische Funktionen 63
5.4.7. Irrationalität von e 63
6. Banachräume 64
6.1. Definitionen und Beispiele 64
6.1.1. Definitionen f;4
6.1.2. Beispiele 65
Inhalt 9
6.2. Räume vom Typ lp 65
6.2.1. Ungleichungen 65
6.2.2. Die Räume l^R, l%iC, lr%R und lvfi 65
7. Integralrechnung im ßx (Fortsetzung) 67
7.1. Klassen integrierbarer Funktionen 67
7.1.1. Allgemeine Regeln (partielle Integration, Variablensubstitution) 67
7.1.2. Integration rationaler Funktionen, Partialbruchzerlegung 68
7.1.3. Integration von i?(cos x, sin x) 69
7.1.4. Integration von R{ex), R (x, Yx2 1) und R (x, Yx2+1) 70
7.1.5. Integration von R(x,i\ x2) 70
J_
/ /oa; + 6\»\
7.1.6. Integration von R [x, I 1 70
6 \ \cx + d) I
7.2. Uneigentliehe Integrale 71
7.2.1. Typen uneigentlicher Integrale, Beispiele 71
7.2.2. Integralkriterium für Reihen, Euler Mascheronische Zahl 72
7.2.3. Die T Funktion 73
8. Differentialrechnung im R„ 73
8.1. Partielle Ableitungen 73
8.1.1. Definition 73
8.1.2. Vertausehbarkeit partieller Ableitungen 74
8.1.3. Taylorpolynome 75
8.1.4. n dimensionale Potenzreihen 75
8.1.5. Kurven und Flächen im Rn. Kettenregel 76
8.1.6. Geometrische Interpretation des Taylorpolynoms 78
8.1.7. Richtungsableitung 78
$.2. Implizite Funktionen und Aullösungssätze 79
8.2.1. Problemstellung 79
8.2.2. Auflösungssatz, krummlinige Koordinaten 80
8.2.3. Parameterabhängiger Auflösungssatz 81
8.2.4. Implizite Funktionen 81
8.3. Extremwerte von Funktionen 82
8.3.1. Der eindimensionale Fall 82
8.3.2. Der n dimensionale Fall 82
9. Integralrechnung im ß„ 83
9.1. Definitionen und Eigenschaften 83
9.1.1. Ö Gebiete und / Gebiete 83
9.1.2. Integrale in ^ Gebieten 84
9.1.3. Eigenschaften 85
9.1.4. Integrierbare Funktionen 85
9.1.5. Integrale in / Gebieten 85
9.1.6. Iterationssatz für m dimensionale Integrale 86
9.2. Transformationsformeln, Volumenmessung, Flächenmessung 86
9.2.1. Volumenmessung 86
9.2.2. Transformationsformeln 87
10 Inhalt
9.2.3. Bogenlänge von Kurven 87
9.2.4. Flächenmessung 88
9.2.5. Flächenintegrale 89
9.2.6. Die Einheitskugel, r (^) 89
9.2.7. Uneigentliche Integrale 90
9.3. Integralsätze 91
9.3.1. Der Gaußsche Satz 91
9.3.2. Die Greenschen Sätze 92
10. Gewöhnliche Differentialgleichungen (Lösungsmethoden) 93
10.1. Trennbare, homogene und exakte Differentialgleichungen 93
10.1.1. Problemstellung 93
10.1.2. Trennbare Differentialgleichungen 93
10.1.3. Homogene Differentialgleichungen 94
10.1.4. Exakte Differentialgleichungen 95
10.1.5. Der integrierende Faktor 96
10.2. Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung 96
10.2.1. Die Gleichung y'=f(x) y 96
10.2.2. Die inhomogene lineare Differentialgleichung 97
10.3. Lineare Differentialgleichungssysteme erster Ordnung 97
10.3.1. Fundamentalsysteme und Wronskideterminante 97
10.3.2. Inhomogene Differentialgleichungssysteme 99
10.3.3. Spezielle Differentialgleichungssysteme 99
10.3.4. Differentialgleichungssysteme mit konstanten Koeffizienten 100
10.4. Lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung 100
10.4.1. Problemstellung 100
10.4.2. Fundamentalsysteme und Wronskideterminante 101
10.4.3. Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten 102
10.5. Stetige Abhängigkeit von Anfangsdaten 102
10.5.1. Differentialgleichungssysteme erster Ordnung 102
10.5.2. Differentialgleichungen w ter Ordnung 103
10.5.3. Stetige Abhängigkeit von der rechten Seite 103
11. Variationsrechnung 104
11.1. Die Grundgleichungen der Variationsrechnung 104
11.1.1. Problemstellung 104
11.1.2. Vorbereitungen 105
11.1.3. Die Eulerschen Gleichungen 105
11.2. Beispiele 106
11.2.1. Eine physikalische Vorbemerkung 106
11.2.2. Die Brachistochrone 107
11.2.3. Das Problem von der Geraden als kürzeste Verbindung zweier Punkte 108
11.2.4. Rotationssymmetrische Minimalflächen 109
12. Prinzipien der klassischen Mechanik 110
12.1. Modellbildung in der Physik 110
12.1.1. Zum Verhältnis von Mathematik und Physik 110
12.1.2. Mathematische Modelle 111
Inhalt 1 1
12.1.3. Kriterien für Modelle 112
12.1.4. Ein Beispiel 113
12.2. Das Modell für die Punktmechanik 113
12.2.1. Das Hajniltonprinzip 113
12.2.2. Ein Beispiel (Freier Fall) 114
12.2.3. Das erste Integral 114
12.3. Systeme von n Massenpunkten 114
12.3.1. Das Grundmodell 114
12.3.2. Kräftefreie Systeme 115
12.3.3. Konservative Systeme 115
12.3.4. Teilchen im Potentialtopf, harmonischer Oszillator 116
12.4. Planetenbewegung 117
12.4.1. Problemstellung und Grundmodell 117
12.4.2. Ebene Bahnen, zweites Keplersches Gesetz 119
12.4.3. Erstes Keplersches Gesetz 119
12.4.4. Drittes Keplersches Gesetz 120
13. 3Iaßtheorie 121
13.1. Mengen Systeme 121
13.1.1. Algebren und cr Algebren 121
13.1.2. Erweiterungssätze 122
13.1.3. Borelmengen im Rn 122
13.2. Elementarmaße und Maße 123
13.2.1. Definitionen 123
13.2.2. Eigenschaften 123
13.2.3. Überdeckungssatz von Heine Borel 124
13.2.4. Boreische Elementarmaße im Bt 12ö
13.2.5. Lebesguesches Elementarmaß im li„ 126
13.3. Das äußere Maß, Fortsetzung von Elementarmaßen 126
13.3.1. Das äußere Maß 127
13.3.2. Das induzierte Maß 127
13.3.3. Der Fortsetzungssatz 128
13.3.4. Boreische, Lebesguesche und Diracsche Maße 129
13.3.5. Unitätssätze 129
13.4. Meßbare Funktionen 129
13.4.1. Definition 129
13.4.2. Eigenschaften meßbarer Funktionen 130
13.4.3. Folgen meßbarer Funktionen 131
13.4.4. Konvergenz fast überall, Maßkonvergenz 132
14. Integrationstheorie 134
14.1. Integrierbare Funktionen, Eigenschaften von Integralen 134
14.1.1. Integrierbare einfache Funktionen 134
14.1.2. Integrierbare Funktionen 135
14.1.3. Eigenschaften integrierbarer Funktionen 135
14.1.4. Eigenschaften von Integralen 136
14.2. Die Hauptsätze der Integrationstheorie 136
14.2.1. Die £rKonvergenz 136
14.2.2. Der Satz von Lebesgue 137
12 Inhalt
14.2.3. Weitere Eigenschaften integrierbarer Funktionen 137
14.2.4. Der Banachraum L^X, SB, ji) 138
14.2.5. Die Sätze von B. Levi und Fatou 139
14.3. Transformationsformeln 139
14.3.1. Meßbare Abbildungen und Bildmaße 139
14.3.2. Eine spezielle Transformationsformel 140
14.3.3. Absolut stetige Maße, der Satz von Radon Nikodym 140
14.3.4. Die allgemeine Transformationsformel 140
14.4. Produktmaße, Satz von Fubini 141
14.4.1. Die CT Algebra im Produktraum, meßbare Schnitte 141
14.4.2. Das Produktmaß 141
14.4.3. Der Satz von Fubini für nicht negative Funktionen 142
14.4.4. Der Satz von Fubini für beliebige Funktionen 142
14.5. Vergleich zwischen Riemannschen und Lebesgueschen Integralen 142
14.5.1. Integrierbare Funktionen 142
14.5.2. Die Sätze von Lebesgue und Fubini 143
14.5.3. Transformationsformeln 144
14.6. .Lp Räume 145
14.6.1. Definition 145
14.6.2. Die Ungleichungen von Holder und Minkowski 145
14.6.3. Die Räume Lp{X, SB, ß) 145
14.6.4. Die Räume Lp(Bn) und Lp(Q) 146
15. Funktionentheorie 147
15.1. Holomorphe Funktionen 147
15.1.1. Die komplexe Ebene C 147
15.1.2. Holomorphe Funktionen 148
15.1.3. Beispiele holomorpher Funktionen 149
15.1.4. Die Cauchy Riemannschen Differentialgleichungen, harmonische Funktionen 149
15.2. Integralsätze 151
15.2.1. Komplexe Kurvenintegrale 151
15.2.2. Der Cauehysche Integralsatz 152
15.2.3. Die Cauehysche Integralformel 154
15.3. Eigenschaften holomorpher Funktionen 155
15.3.1. Differenzierbarkeit und Ableitungsformeln 155
15.3.2. Taylorreihen 155
15.3.3. Der Identitätssatz 156
15.3.4. Das Maximumprinzip 156
15.3.5. Der Satz von Liouville 157
15.3.6. Der Fundamentalsatz der Algebra 157
15.4. Singularitätentheorie 157
15.4.1. Laurentreihen 157
15.4.2. Singularitäten 158
15.4.3. Systematische Funktionentheorie, rationale Funktionen 159
15.5. Hesiduentheorie 159
15.5.1. Der Residuensatz 159
15.5.2. Das logarithmische Residuum 160
15.5.3. Abbildungseigenschaften holomorpher Funktionen 161
15.5.4. Umkehrfunktionen 162
Inhalt 13
15.6. Holomorphe Fortsetzung 162
15.6.1. Das Kreiskettenverfahren 162
15.6.2. Der Monodromiesatz 163
15.6.3. Iliemannsehe Flächen 163
15.7. Konforme Abbildungen 164
15.7.1. Grundeigenschaften 164
15.7.2. Der Riemannsehe Abbildungssatz 165
15.8. Lineare Transformationen 166
15.8.1. Konforme Abbildungen von G und Ct 166
15.8.2. Die Gruppe der linearen Transformationen 166
15.8.3. Kreisinvarianz 167
15.8.4. Abbildungseigenschaften und Doppelverhältnis 167
15.8.5. Fixpunkte und Abbildungstypen 167
15.8.6. Das Spiegelungsprinzip 169
15.8.7. Konforme Abbildungen des Einheitskreises 169
15.9. Spezielle Funktionen 169
15.9.1. Die Funktionen e* und In z 169
15.9.2. Die Funktionen sin z, cos z, tan z und cot z 170
15.9.3. Partialbruchzerlegung für cot z 171
16. Prinzipien der Hydrodynamik ebener Strömungen 172
16.1. Die Grundgleichungen der Hydrodynamik 172
16.1.1. Vorbemerkungen zur Modellbildung 172
16.1.2. Quellenfreie und zirkulationsfreie Strömungen 172
16.1.3. Reelle und komplexe Grundgleichungen 173
16.1.4. Das mathematische Modell 174
16.2. Strömungen 175
16.2.1. Staupunkt und Multipolströmungen 175
16.2.2. Strudelströmungen 176
16.2.3. Profilströmungen 177
16.2.4. Konforme Abbildungen in der Hydrodynamik und 2ukovskij Profile 178
17. Elemente der Geometrie 180
17.1. Die Geometrie der Raumkurven im R3 180
17.1.1. Das begleitende Dreibein 180
17.1.2. Die Frenetschen Formeln 181
17.1.3. Ebene Kurven 182
17.1.4. Existenz und Unitätssatz 182
17.2. Die hyperbolische Geometrie 182
17.2.1. Grundprinzipien axiomatischer Geometrien 182
17.2.2. Ein Modell der hyperbolischen Geometrie 183
17.2.3. Längen, Winkel und Dreiecke 184
17.2.4. Kreise 185
17.2.5. Bogenlänge und Flächeninhalt 185
17.2.6. Flächeninhalt von Dreiecken 186
17.3. Die Geometrie des Hilbertraumes 186
17.3.1. Hilberträume 186
17.3.2. Beispiele von Hilberträumen 187
14 Inhalt
17.3.3. Orthogonalsysteme 188
17.3.4. Das Sehmidtsche Orthogonalisierungsverfahren 189
17.3.5. Orthogonalzerlegungen 189
18. Orthogonalreihen 191
18.1. n dimensionale trigonometrische Funktionen 191
18.1.1. Orthonormierte Systeme 191
18.1.2. Fourierkoeffizienten und absolute Konvergenz 192
18.1.3. Periodische trigonometrische Reihen in L2(Q) 193
18.1.4. Halbperiodische trigonometrische Reihen in L2(Q) 194
18.1.5. Ein Beispiel 194
18.2. Orthogonale Polynome 195
18.2.1. Approximationssätze 195
18.2.2. Legendresche Polynome 196
19. Partielle Differentialgleichungen 196
19.1. Typen partieller Differentialgleichungen und physikalische Beispiele 196
19.1.1. Typen 196
19.1.2. Physikalische Beispiele 197
19.2. Die Laplace Poisson Gleichung 198
19.2.1. Grundlösungen und Integraldarstellungen 198
19.2.2. Greensche Funktionen 199
19.2.3. Eigenschaften harmonischer Funktionen 200
19.2.4. Das Dirichletsche Randwertproblem 201
19.2.5. Die Poisson Gleichung 202
19.3. Die Wellengleichung 202
19.3.1. Unitätssätze 202
19.3.2. Die Wellengleiehung in einer Dimension 204
19.3.3. Anfangs wertprob lerne für die Wellengleichung in zwei und drei Dimensionen 205
19.3.4. Physikalische Interpretationen, Huygenssche Eigenschaft, Kugelwellen 206
19.3.5. Die inhomogene Wellengleiehung, retardierte Potentiale 207
19.4. Die Wärmeleitungsgleichung 208
19.4.1. Die Singularitätenlösung 208
19.4.2. Das Maximum Minimum Prinzip 209
19.4.3. Das Anfangswertproblem 209
19.5. Separationsansätze 210
19.5.1. Vorbemerkung 210
19.5.2. Die eingespannte belastete Platte 210
19.5.3. Der Separationsansatz für die Laplace Gleichung 211
19.5.4. Die Fouriersche Methode für die Wellengleichung 212
19.5.5. Die schwingende Membran, die schwingende Saite 213
19.5.6. Die Fouriersche Methode für die Wärmeleitungsgleichung 214
20. Operatoren in Banachräumen 215
20.1. Banachräume 215
20.1.1. Separable Banachräume 215
20.1.2. Spezielle Mengen in Banachräumen 215
20.1.3. Der Raum C(Ü) 216
Inhalt 15
20.1.4. Endlichdimensionale Banachräume 216
20.1.5. Vervollständigung normierter Räume 217
20.2. Operatoren 218
20.2.1. Grundbegriffe 218
20.2.2. Der Raum L(B{, B2) 218
20.2.3. Das Spektrum und Resolventen 219
20.2.4. Der Raum (lp)' 220
20.2.5. Integraloperatoren 220
21. Operatoren in Hilberträuinen 221
21.1. Klassen stetiger Operatoren 221
21.1.1. Isomorphie von Hilberträumen 221
21.1.2. Lineare Funktionale 222
21.1.3. Bilinearformen 222
21.1.4. Adjungierte Operatoren 222
21.1.5. Projektionsoperatoren 223
21.1.6. Isometrische und unitäre Operatoren 223
21.1.7. Kompakte und ausgeartete Operatoren 223
21.2. Die Theorie von Biesz und Schauder 224
21.2.1. Problemstellung 224
21.2.2. Zerlegungssätze 224
21.2.3. Das Spektrum kompakter Operatoren 225
21.3. Fredholmsche Integralgleichungen 225
21.3.1. Der adjungierte Integraloperator 225
21.3.2. Die Fredholmschen Alternativsätze 226
22. Distributionen 227
22.1. Grundbegriffe 227
22.1.1. Einleitung 227
22.1.2. Die Räume D(Q) und D'(Q) 228
22.1.3. Beispiele von Distributionen 228
22.1.4. Operationen mit Distributionen 229
22.1.5. Der Raum E'(Q) 231
22.2. Die Fouriertransformation und die Räume S{R„) und S'(R„) 232
22.2.1. Der Raum S(En) und die Fouriertransformation 232
22.2.2. Eigenschaften der Fouriertransformation 232
22.2.3. Der Raum S'(Rn) 233
22.2.4. Die Fouriertransformation in S'(Rn) 234
22.2.5. Weitere P^igenschaften von Fouriertransformationen 234
22.3. Tensorprodukte und Faltungen 235
22.3.1. Tensorprodukte 235
22.3.2. Eigenschaften von Tensorprodukten 23(i
22.3.3. Faltungen 236
22.3.4. Eigenschaften von Faltungen 236
23. Partielle Differentialgleichungen und Distributionen 238
23.1. Fiindanientallösungen 238
23.1.1. Grundeigenschaften ^38
23.1.2. Die Laplace Gleichung 239
16 Inhalt
23.1.3. Die Wärmeleitungsgleichung 239
23.1.4. Die Wellengleichung 240
23.2. Anfangswertprobleme 241
23.2.1. Problemstellung 241
23.2.2. Die Wellengleichung 243
23.2.3. Die Wärmeleitungsgleichung 243
24. Grundbegriffe der klassischen Feldtheorie 244
24.1. Tensoren 244
24.1.1. Vorbemerkung 244
24.1.2. Der Fundamentaltensor 245
24.1.3. Tensoren 247
24.1.4. Eigenschaften von Tensoren 249
24.1.5. Metrische Geodäten 249
24.2. Klassische Feldtheorie 251
24.2.1. Das Modell der Feldtheorie 251
24.2.2. Lagrange Dichten 251
24.2.3. Lagrange Formalismus 253
24.3. Beispiele für Feldtheorien 255
24.3.1. Die kovariante Punktmeehanik 255
24.3.2. Die Maxwell Lorentz Gleichungen der Elektrodynamik 257
24.3.3. Interpretation und Umschrift der Maxwellsehen Gleichungen 258
25. Prinzipien der speziellen Relativitätstheorie und der Elektrodynamik 260
25.1. Die Lorentz Gruppe und die Baum Zeit 260
25.1.1. Der Minkowskiraum und Inertialsysteme 260
25.1.2. Weltlinien 262
25.1.3. Die Lorentz Gruppe 263
25.1.4. Spezielle Transformationen der eigentlichen Lorentz Gruppe 264
25.1.5. Die Raum Zeit (physikalische Aspekte) 265
25.1.6. Die Raum Zeit (mathematische Aspekte) 266
25.2. Effekte der speziellen Relativitätstheorie 268
25.2.1. Die Zeitdilatation und das Zwillingsparadoxon 268
25.2.2. Die Lorentz Kontraktion 270
25.2.3. Das relativistische Additionstheorem der Geschwindigkeiten 271
25.2.4. Das freie relativistische Teilchen 271
25.2.5. Eigenzeit, Masse und Energie 272
25.3. Die Maxwellschen Gleichungen 272
25.3.1. Problemstellung 272
25.3.2. Anfangswertprobleme 273
26. Selbstadjungierte Operatoren im Hilbertraum 274
26.1. Unbeschränkte Operatoren 274
26.1.1. Abgeschlossene Operatoren 274
26.1.2. Abschließbare Operatoren 275
26.1.3. Adjungierte Operatoren 275
26.1.4. Symmetrische und selbstadjungierte Operatoren 276
26.1.5. Kriterien für die Selbstadjungiertheit von Operatoren 276
Inhalt 17
26.2. Das Spektrum sclbstadjungierter Operatoren 277
26.2.1. Die Spektren DÄ und CÄ 277
26.2.2. Die Spektren DA und CÄ 278
26.2.3. Kompakte selbatadjungierte Operatoren 279
26.3. Spektralscharen 279
26.3.1. Definitionen 279
26.3.2. Eigenschaften 280
26.4. Spektraloperatoren 280
26.4.1. Riemann Stieltjes Integrale für Funktionen 280
26.4.2. Riemann Stieltjes Integrale für Spektralscharen auf endlichen Intervallen 281
26.4.3. Riemann Stieltjes Integrale für Spektralscharen auf Rl 282
26.4.4. Spektraloperatoren 282
26.4.5. Der Hauptsatz der Spektraltheorie 283
26.4.6. Das Spektrum selbstadjungierter Operatoren 284
26.4.7. Operatoren mit reinem Punktspektrum 284
27. Differentialoperatoren und orthogonale Funktionen 285
27.1. Klassische orthogonale Funktionen 285
27.1.1. Vorbemerkung 285
27.1.2. Trigonometrische Funktionen 285
27.1.3. Hermitesehe Funktionen 286
27.1.4. Legendresche Funktionen 287
27.1.5. Laguerresche Funktionen 288
27.2. Kugelflächenfunktionen 288
27.2.1. Der Beltramische Differentialoperator 288
27.2.2. Kugelflächenfunktionen als Eigenfunktionen 290
27.2.3. Dreidimensionale Kugelflächenfunktionen 290
28. Prinzipien der Quantenmechanik 291
28.1. Axiomatik der Quantenmechanik 291
28.1.1. Das Hilbertraum Modell 291
25.1.2. Die Dynamik quantenmechanischer Systeme 292
28.1.3. Stationäre Zustände 293
28.2. Interpretationen 293
28.2.1. Das Bohrsche Postulat 293
28.2.2. Die statistische Interpretation der Quantenmechanik 294
28.2.3. Die Heisenbergsche Unschärferelation 295
28.3. Quantisierung 296
28.3.1. Die Quantisierungsregel 296
28.3.2. Beispiele zur Quantisierung 297
28.4. Ein Teilchen Probleme 299
28.4.1. Das freie eindimensionale Teilchen 299
28.4.2. Der harmonische Oszillator 299
28.4.3. Das relativistische freie Teilchen im B3 300
28.5. Das Wasserstoffatom 302
28.5.1. Das Wasserstoffatom ohne Spin 302
28.5.2. Der Zeeman Effekt 304
2 Triebel, Math. Physik
18 Inhalt
28.5.3. Das Wasserstoffatom mit Spin 305
28.5.4. Das relativistische Wasserstoffatom 307
2S.6. Atome und das Periodensystem der chemischen Elemente 308
28.6.1. Atome ohne Spin 308
28.6.2. Der Raum L%A{M3n) 309
28.6.3. Atome mit Spin 310
28.6.4. Das Pauli Prinzip 311
28.6.5. Das Periodensystem der chemischen Elemente 313
29. Geometrie auf Mannigfaltigkeiten I (Tensoren) 314
29.1. Mannigfaltigkeiten 314
29.1.1. Der parakompakte Hausdorffraum 314
29.1.2. C~ Mannigfaltigkeiten 315
29.1.3. Funktionen auf C Mannigfaltigkeitep 316
29.2. Geometrische Objekte 317
29.2.1. Faserbündel 317
29.2.2. Tensordichten 318
29.3. Tensoranalysis 319
29.3.1. Grundoperationen für Tensordichten 319
29.3.2. Differentielle Operationen 319
29.3.3. Integrale auf Mannigfaltigkeiten 320
29.4. Affine Bäume 320
29.4.1. Affinitäten 320
29.4.2. Normale Koordinaten 321
29.4.3. Kovariante Differentiation 321
29.4.4. Parallelverschiebung 322
29.4.5. Affine Geodäten 323
29.4.6. Krümmungstensor 323
29.4.7. Flache affine Räume 324
29.5. Metrische Bäume 324
29.5.1. Fundamentaltensor 324
29.5.2. Indexziehen 326
29.5.3. Charakteristische Flächen 326
29.5.4. Metrische Geodäten 327
29.5.5. Geodätisch konvexe Gebiete 328
29.5.6. Metrische Räume 328
29.5.7. Krümmungstensor und verwandte Tensoren 329
30. Allgemeine Relativitätstheorie I (Grundgleichungen) 330
30.1. Extremalprinzipien 330
30.1.1. Lagrange Formalismus 330
30.1.2. Die Einsteinschen Gleichungen 330
30.1.3. Die Einstein Maxwell Gleichungen 331
30.1.4. Äußerungen Einsteins zur Relativitätstheorie und zur Quantentheorie 333
30.2. Der Energie Impuls Tensor 335
30.2.1. Killingvektoren und Erhaltungssätze 335
30.2.2. Das Kovarianzprinzip 336
30.2.3. Energie Impuls Tensor für ideale Flüssigkeiten 337
30.2.4. Vergleich mit der Newtonschen Gravitationstheorie 337
Inhalt 19
30.3. Bewegungsgleichungen 338
30.3.1. Testteilchen und elektromagnetische Wellen 338
30.3.2. Eigenzeit und Zwillingsparadoxon 339
30.4. Die Schwarzschild Lösung 339
30.4.1. Das Birkhoff Theorem 339
30.4.2. Die Eddington Form der Schwarzsehild Lösung 341
30.5. Die klassischen Effekte der allgemeinen Relativitätstheorie 342
30.5.1. Planetenbewegung 342
30.5.2. Ablenkung von Lichtstrahlen 344
30.5.3. Rotverschiebung im Gravitationsfeld 344
31. Allgemeine Relativitätstheorie II (Singularitäten, schwarze Löcher,
Kosmologie) 346
31.1. Singuläre Mannigfaltigkeiten 346
31.1.1. Kriterien 346
31.1.2. Die Schwarzschild Eddington Kruskal Metrik 347
31.1.3. Einschlußflächen 349
31.1.4. Singularitäten 350
31.1.5. Schwarze Löcher 350
31.2. Die Theorie der schwarzen Löcher, Sternentwicklung 352
31.2.1. Die Eddington Metrik 352
31.2.2. Sterne 353
31.2.3. Das Hertzsprung Russell Diagramm und die himmlische Skala 355
31.2.4. Die Kerr Metrik 356
31.2.5. Energiebilanz schwarzer Löcher 358
31.3. Kosmologie 359
31.3.1. Prinzipien 359
31.3.2. Die Robertson Walker Metrik 360
31.3.3. Der Staubkosmos 360
31.3.4. Das Hubblesche Gesetz 361
31.3.5. Lösungen der Friedmanschen Differentialgleichung 362
31.3.6. Die Friedmanschen Modelle 362
31.3.7. Der Urknall 363
31.3.8. Die Entstehung des Lebens im Weltall 363
32. Geometrie auf Mannigfaltigkeiten II (Formen) 365
32.1. Tensoren und Differentialformen 365
32.1.1. Die Vektoren —r und dx*. Tensorprodukte 365
32.1.2. Das alternierende Produkt und das Keilprodukt 366
32.1.3. Die äußere Ableitung 368
32.1.4. n Formen 368
32.1.5. Der Satz von Poincare 368
32.2. Integralrechnung auf Mannigfaltigkeiten 369
32.2.1. Integrale über n Formen 369
32.2.2. Der de Rham Operator 370
32.2.3. Der Satz von Stokes 370
32.2.4. Leray Formen 371
2*
20 Inhalt
32.3. Distributionen aul Mannigfaltigkeiten 372
32.3.1. Skalare Distributionen 372
32.3.2. Tensordistributionen 374
32.3.3. Kovariante Ableitung und Koableitung von Distributionen 374
32.3.4. Der Wellenoperator 375
32.3.5. Distributionen vom Typ f(S) 376
33. Die Wellengleichung in gekrümmten Raum Zeiten 377
33.1. Charakteristische Flächen und Singularitäten 377
33.1.1. Charakteristische Flächen 377
33.1.2. Anfangswertprobleme für charakteristische Flächen und Nullfelder 378
33.1.3. Kaustik 379
33.1.4. Die Kaustik im Minkowskiraum 380
33.1.5. Unstetigkeiten von Lösungen der Wellengleichung und Katastrophen 381
33._. Fundamentallösungen 382
33.2.1. Problemstellung 382
33.2.2. Kausalgebiete 383
33.2.3. Die Distribution öq+(D 384
33.2.4. Fundamentallösungen 385
33.3. Lösungen von Pu =/, Cauchyprobleme 385
33.3.1. Vergangenheits kompakte Mengen und Distributionen 385
33.3.2. Bin Existenz und Unitätssatz 386
33.3.3. Das Cauchyproblem: Existenz und Unität 387
33.3.4. Das Cauchyproblem: Darstellung 388
33.4. Tensor Wellengleichungen 389
33.4.1. Definitionen 389
33.4.2. Fundamentallösungen 390
33.4.3. Lösungen von pu=f 391
33.5. Die Maxwellscnen Gleichungen 392
33.5.1. Definition 392
33.5.2. Kontinuitätsgleichung und Cauchy Daten 392
33.5.3. Eichbedingung und Viererpotential 394
33.5.4. Das Cauchyproblem für die Maxwellsehen Gleichungen 395
34. Singularitätentheorie 396
34.1. Lokale Abbildungen 396
34.1.1. Abbildungskeime, das Ideal m(n) 396
34.1.2. Endlich determinierte Keime 397
34.1.3. Kriterien für endlieh determinierte Keime 397
34.2. Stabilität 398
34.2.1. Definitionen 398
34.2.2. Immersionen und Submersionen 400
34.2.3. Globale Sätze 401
34.3. Singularitäten und Morse Funktionen 402
34.3.1. Singularitäten 402
34.3.2. Morse Funktionen 403
Inhalt 21
34.4. Abbildungen in der Ebene 404
34.4.1. Gute und exzellente Abbildungen 404
34.4.2. Normalformen von Faltpunkten und Spitzenpunkten 405
34.4.3. Die VVhitneysche Theorie 405
34.5. Entfaltungen 400
34.5.1. Definition 406
34.5.2. Assoziierte und äquivalente Entfaltungen 406
34.5.3. Stabile und universelle Entfaltungen (Definition und Beispiele) 407
34.5.4. Stabile und universelle Entfaltungen (Kriterien) 408
34.5.5. Reduktion von Entfaltungen 408
34.5.6. Minima 409
34.5.7. Der Satz von Thom 410
35. Katastrophen: Theorie und Anwendung 411
35.1. Prinzipien und Modelle 411
35.1.1. Allgemeine Prinzipien und Grundgedanken 411
35.1.2. Das lokale Regime 414
35.1.3. Anwendungsbeispiele 415
35.1.4. Die drei Interpretationen der Katastrophentheorie 417
35.2. Elementare Katastrophen 417
35.2.1. Der generische Aspekt 417
35.2.2. Bilder elementarer Katastrophen 418
35.3. Anwendungen in der Physik 421
35.3.1. Die van der Waalssche Gleichung 421
35.3.2. Eulersche Deformationen 423
35.3.3. Brechung von Wasserwellen 425
35.3.4. Katastrophenmaschinen 425
35.4. Weitere Anwendungen 427
35.4.1. Taylorreihen und Zellen 427
35.4.2. Anwendungen in der Biologie 428
35.4.3. Hunde und Mathematiker 428
Anhang: Über das Verhältnis von Geometrie und Realität im Wandel der Zeiten 429
Ergänzungen 436
Literatur 442
Literaturhinweise 444
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