Formelsammlung zur Numerischen Mathematik mit Standard-FORTRAN-77-Programmen:
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| New Title: | Engeln-Müllges, Gisela Numerik-Algorithmen mit FORTRAN-77-Programmen |
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| Main Authors: | , , |
| Format: | Book |
| Language: | German |
| Published: |
Mannheim [u. a.]
BI-Wissenschaftsverl.
1988
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| Edition: | 6., völlig neu bearb. u. erw. Aufl. |
| Subjects: | |
| Online Access: | Inhaltsverzeichnis |
| Item Description: | Spätere Aufl. u.d.T.: Engeln-Müllges, Gisela: Numerik-Algorithmen mit FORTRAN-77-Programmen |
| Physical Description: | 788 S. |
| ISBN: | 3411031859 |
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Seite
1 Darstellung von Zahlen und Fehleranalyse 1
1.1 Definition von Fehlergrößen 1
1.2 Dezimaldarstellung von Zahlen 2
1.3 Fehlerquellen 6
1.3.1 Der Verfahrensfehler 6
1.3.2 Der Eingangsfehler 6
1.3.3 Der Rechnungsfehler 9
2 Numerische Verfahren zur Lösung nichtlinearer Gleichungen 11
2.1 Aufgabenstellung und Anwendungsempfehlungen 11
2.2 Definitionen und Sätze über Nullstellen 12
2.3 Allgemeines Iterationsverfahren 12
2.3.1 Konstruktionsmethode und Definition 12
2.3.2 Existenz von Lösungen und deren Eindeutigkeit 14
2.3.3 Konvergenz eines Iterationsverfahrens, Fehlerab¬
schätzungen, Rechnungsfehler 15
2.3.4 Praktische Durchführung 18
2.4 Konvergenzordnung eines Iterationsverfahrens 20
2.5 Newtonsche Verfahren 22
2.5.1 Das Newtonsche Verfahren für einfache Nullstellen,
gedämpftes Newton Verfahren 22
2.5.2 Das Newtonsche Verfahren fUr mehrfache Nullstellen;
d as modifizierte Newtonsche Verfahren 24
2.6 Regula falsi Z6
2.6.1 Regula falsi für einfache Nullstellen 26
2.6.2 Modifizierte Regula falsi für mehrfache Nullstellen 27
2.6.3 Primitivform der Regula falsi 27
2.7 Verfahren von Steffensen 28
2.7.1 Das Verfahren von Steffensen für einfache Nullstellen 28
2.7.2 Das modifizierte Steffensen Verfahren fUr mehrfache
Nullstellen 28
Seite
2.8 Einschlußverfahren 29
2.8.1 Bisektionsverfahren 29
2.8.2 Das Pegasus Verfahren 31
2.8.3 Verfahren von Anderson Björck 32
2.8.4 Verfahren von King und Anderson Björck King 35
2.9 Effizienz der Verfahren und Entscheidungshilfen 35
3 Verfahren zur Lösung algebraischer Gleichungen 37
3.1 Vorbemerkungen 37
3.2 Das HornerSchema 38
3.2.1 Das einfache Homer Schema fUr reelle Argumentwerte 38
3.2.2 Das einfache Horner Schema für komplexe Argumentwerte 39
3.2.3 Das vollständige Horner Schema für reelle Argument¬
werte 41
3.2.4 Anwendungen 43
3.3 Methoden zur Bestimmung sämtlicher Lösungen algebraischer
Gleichungen 44
3.3.1 Vorbemerkungen, Oberblick und Entscheidungshilfen
für die Wahl der Methode 44
3.3.2 Das Verfahren von Muller 45
3.3.3 Das Verfahren von Bauhuber 48
3.3.4 Das Verfahren von Jenkins und Traub 50
4 Direkte Verfahren zur Losung linearer Gleichungssysteme 51
4.1 Aufgabenstellung 51
4.2 Definitionen und Sätze 52
4.3 Lösbarkeitsbedingungen fllr ein lineares GleichungsSystem 56
4.4 Prinzip der direkten Methoden 57
4.5 Der Gauß Algorithmus 58
4.5.1 Gauß Algorithmus mit Spaltenpivotsuche 58
4.5.2 Pivotsuche 62
4.5.3 Gauß Algorithmus als Dreieckszerlegung 62
4.5.4 Gauß Algorithmus ftir Systeme mit mehreren rechten
Seiten 65
Seite
4.6 Matrizeninversion mit dem Gauß Algorithmus 66
4.7 Verfahren für Systeme mit symmetrischen Matrizen 67
4.7.1 Systeme mit symmetrischer, streng regulärer Matrix 67
4.7.2 Systeme mit symmetrischer, positiv definiter Matrix,
Cholesky Verfahren 68
4.8 Das Gauß Jordan Verfahren 71
4.9 Bestimmung der zu einer Matrix inversen Matrix mit dem
Austauschverfahren 72
4.10 Gleichungssysteme mit tridiagonalen Matrizen 75
4.10.1 Systeme mit tridiagonaler Matrix 75
4.10.2 Systeme mit symmetrischer, tridiagonaler, positiv
definiter Matrix 77
4.11 GleichungsSysteme mit zyklisch tridiagonalen Matrizen 79
4.11.1 Systeme mit zyklisch tridiagonaler Matrix 79
4.11.2 Systeme mit symmetrischer, zyklisch tridiagonaler
Matrix 81
4.12 GleichungsSysteme mit fUnfdiagonalen Matrizen 83
4.12.1 Systeme mit fünfdiagonalen Matrizen 83
4.12.2 Systeme mit symmetrischer, fünfdiagonaler, positiv
definiter Matrix 85
4.13 GleichungsSysteme mit Bandmatrizen 87
4.14 Lösung Uberbestimmter linearer Gleichungssysteme mit
Householdertransformation 93
4.15 Fehler, Kondition und Nachiteration 97
4.15.1 Fehler und Kondition 97
4.15.2 Möglichkeiten zur Konditionsverbesserung 99
4.15.3 Nachiteration 100
4.16 Gleichungssysteme mit Blockmatrizen 102
4.16.1 Vorbemerkungen 102
4.16.2 Gauß Algorithmus für Blocksysteme 103
4.16.3 Gauß Algorithmus für tridiagonale Blocksysteme 104
4.16.4 Weitere Block Verfahren 105
4.17 Entscheidungshilfen für die Auswahl des Verfahrens 106
Seite
5 Iterationsverfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme 108
5.1 Vorbemerkungen 108
5.2 Vektor und Matrixnormen 108
5.3 Das Iterationsverfahren in Gesamtschritten 110
5.4 Das Iterationsverfahren in Einzelschritten oder das
Gauß Seidelsche Iterationsverfahren 114
5.5 Relaxation beim Gesamtschrittverfahren 115
5.6 Relaxation beim Einzelschrittverfahren 116
6 Systeme nichtlinearer Gleichungen 118
6.1 Allgemeines Iterationsverfahren 118
6.2 Spezielle Iterationsverfahren 123
6.2.1 Newtonsche Verfahren für nichtlineare Systeme 123
6.2.1.1 Das quadratisch konvergente Newton Verfahren 123
6.2.1.2 Gedämpftes Newton Verfahren 124
6.2.2 Regula falsi für nichtlineare Systeme 126
6.2.3 Das Verfahren des stärksten Abstiegs
(Gradientenverfahren) 127
6.2.4 Das Verfahren von Brown 129
6.3 Entscheidungshilfen für die Auswahl der Methode 129
7 Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen 130
7.1 Definitionen und Aufgabenstellungen 130
7.2 Diagonalähnliche Matrizen 132
7.3 Das Iterationsverfahren nach v. Mises 133
7.3.1 Bestimmung des betragsgrößten Eigenwertes und des
zugehörigen Eigenvektors 133
7.3.2 Bestimmung des betragskleinsten Eigenwertes 138
7.3.3 Bestimmung weiterer Eigenwerte und Eigenvektoren 139
7.4 Konvergenzverbesserung mit Hilfe des Rayleigh Quotienten
im Falle Hermetischer Matrizen 139
7.5 Das Verfahren von Krylov 140
7.5.1 Bestimmung der Eigenwerte 141
7.5.2 Bestimmung der Eigenvektoren 143
Seite
7.6 Bestimmung der Eigenwerte positiv definiter, symmetrischer,
tridiagonaler Matrizen mit Hilfe des QD Algorithmus 143
7.7 Transformation auf Hessenbergform, LR und QR Verfahren 145
7.7.1 Transformation einer Matrix auf obere Hessenbergform 145
7.?.2 LR Verfahr en 147
7.7.3 QR Verfahren 148
7.8 Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix nach dem Verfahren
von Martin, Parlett, Peters, Reinsch und Wilkinson 149
7.9 Entscheidungshilfen 151
8 Lineare und nichtlineare Approximation 152
8.1 Lineare Approximation 153
8.1.1 Approximationsaufgabe und beste Approximation 153
8.1.2 Kontinuierliche lineare Approximation im quadra¬
tischen Mittel 156
8.1.3 Diskrete lineare Approximation im quadratischen
Mittel 160
8.1.3.1 Normalgleichungen für den diskreten linearen
Ausgleich 160
8.1.3.2 Diskreter Ausgleich durch algebraische Poly¬
nome unter Verwendung orthogonaler Polynome 163
8.1.3.3 Lineare Regression, Ausgleich durch lineare
algebraische Polynome 165
8.1.3.4 Householdertransformation zur Lösung des
linearen Ausgleichsproblems 166
8.1.4 Approximation von Polynomen durch Tschebyscheff
Polynome 168
8.1.4.1 Beste gleichmäßige Approximation, Definition 169
8.1.4.2 Approximation durch Tschebyscheff Polynome 170
8.1.5 Approximation periodischer Funktionen 176
8.1.5.1 Approximation periodischer Funktionen
im quadratischen Mittel 177
8.1.5.2 Trigonometrische Interpolation 177
8.1.5.3 Komplexe diskrete Fourier Transformation
(FFT) 180
Seite
8.2 Nichtlineare Approximation 182
8.2.1 Transformationsmethode beim nichtlinearen Ausgleich 182
8.2.2 Nichtlinearer Ausgleich im quadratischen Mittel 184
8.3 Entscheidungshilfen 185
9 Polynomiale und rationale Interpolation 186
9.1 Aufgabenstellung 186
9.2 Interpolationsformeln von Lagrange 187
9.2.1 Lagrangesche Formel für beliebige Stutzstellen 187
9.2.2 Lagrangesche Formel für äquidistante Stutzstellen 188
9.3 Das Interpolationsschema von Aitken fUr beliebige Stütz
stellen 189
9.4 Inverse Interpolation nach Aitken 191
9.5 Interpolationsformeln von Newton 192
9.5.1 Newtonsche Formel für beliebige Stutzstellen 192
9.5.2 Newtonsche Formel für äquidistante Stützstellen 194
9.6 Restglied der Interpolation und Aussagen zur Abschätzung
und Schätzung des Interpolationsfehlers 195
9.7 Interpolationsformeln von Lagrange bei Funktionen mehrerer
Veränderlichen 197
9.8 Rationale Interpolation 199
9.9 Entscheidungshilfen für die Auswahl des zweckmäßigen
Interpolationsverfahrens 203
10 Interpolierende Polynomsplines zur Konstruktion glatter Kurven 204
10.1 Polynomsplines dritten Grades 204
10.1.1 Definition der Splinefunktionen 205
10.1.2 Berechnung der nichtparametrischen kubischen Splines 207
10.1.3 Berechnung der parametrischen kubischen Splines 212
10.1.4 Kombinierte interpolierende Splines 214
10.1.5 Konvergenz und Fehlerabschätzung interpolierender
kubischer Splines 220
Seite
10.2 Hennite Splines fünften Grades 221
10.2.1 Definition der Hermite Splines 221
10.2.2 Berechnung der nichtparametrischen Hermite Splines 223
10.2.3 Berechnung der parametrischen Hermite Splines 227
10.3 Entscheidungshilfen zur Auswahl der geeigneten Spline
methode zur Konstruktion glatter Kurven bzw. Flächen 230
11 Polynomiale Ausgleichssplines dritten Grades zur Konstruktion
glatter Kurven 234
11.1 Problemstellung 234
11.2 Definition der Splinefunktlonen 235
11.3 Berechnung der nichtparametrischen kubischen Ausgleichs¬
splines 236
11.4 Berechnung der parametrischen kubischen Ausgleichssplines 244
12 Zweidimensionale Splines, Bezier Splines, Oberflächensplines 245
12.1 Interpolierende zweidimensionale Polynom Splines dritten
Grades zur Konstruktion glatter Flächen 245
12.2 Kubische und bikubische interpolierende und approximierende
Bezier Splines 255
12.2.1 Kubische Bezier Splines zur Konstruktion glatter
Kurven und Kurven mit Knick 256
12.2.2 Approximierende bikubische Bezier Splines zur
Konstruktion glatter Flächen 259
12.2.3 Modifizierte (interpolierende) kubische Bezier
Splines 266
12.3 Zweidimensionale interpolierende Oberflächensplines 267
13 Numerische Differentiation 270
13.1 Aufgabenstellung 270
13.2 Differentiation mit Hilfe eines Interpolationspolynoms 270
13.3 Differentiation mit Hilfe interpolierender kubischer
Polynom Splines 275
13.4 Differentiation nach dem Romberg Verfahren 275
13.5 Entscheidungshilfen 277
Seite
14 Numerische Quadratur 278
14.1 Vorbemerkungen 278
14.2 Konstruktion von Interpolationsquadraturformeln 280
14.3 Newton Cotes Formeln 282
14.3.1 Die Sehnentrapezformel 283
14.3.2 Die Simpsonsche Formel 285
14.3.3 Die 3/8 Formel 287
14.3.4 Weitere Newton Cotes Formeln 289
14.3.5 Zusammenfassung zur Fehlersuche von Newton Cotes
Formeln 291
14.4 Quadraturformeln von Maclaurin 292
14.4.1 Die Tangententrapezfonnel 292
14.4.2 Weitere Maclaurin Formeln 294
14.5 Die Euler Maclaurin Formeln 296
14.6 Tschebyscheffsche Quadraturformeln 298
14.7 Quadraturformeln von Gauß 301
14.8 Einfache Berechnung von Gewichten und Stutzstellen ver¬
allgemeinerter Gauß Quadraturformeln 305
14.9 Quadraturformeln von Clenshaw Curtis 308
14.10 Das Verfahren von Romberg 310
14.11 Fehlerschätzung und Rechnungsfehler 312
14.12 Adaptive Quadraturverfahren 315
14.13 Konvergenz der Quadraturformeln 316
14.14 Berechnung des Riemannschen Flächenintegrals mit bi¬
kubischen Splines 316
14.15 Entscheidungshilfen für die Auswahl der geeigneten Methode 317
15 Anfangswertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen 319
15.1 Problemstellung 319
15.2 Prinzip der numerischen Verfahren 320
Seite
15.3 Einschrittverfahren 322
15.3.1 Das Polygonzugverfahren von Euler Cauchy 322
15.3.2 Das verbesserte Euler Cauchy Verfahren 323
15.3.3 Praediktor Korrektor Verfahren von Heun 323
15.3.4 Explizite Runge Kutta Verfahren 325
15.3.4.1 Konstruktion von Runge Kutta Verfahren 325
15.3.4.2 Klassisches Runge Kutta Verfahren 326
15.3.4.3 Zusammenstellung expliziter Runge Kutta
Formeln 328
15.3.4.4 Einbettungsformeln 333
15.3.5 Implizite Runge Kutta Verfahren 336
15.3.6 Gemeinsame Darstellung aller Einschrittverfahren 339
15.3.7 Fehlerschätzung und Schrittweitensteuerung 340
15.3.7.1 Fehlerschätzung 340
15.3.7.2 Methoden zur automatischen Schrittweiten¬
steuerung, adaptive Anfangswertproblemlöser 342
15.4 Mehrschrittverfahren 344
15.4.1 Prinzip der Mehrschrittverfahren 344
15.4.2 Das explizite Verfahren von Adams Bashforth 346
15.4.3 Das Praediktor Korrektor Verfahren von
Adams Moulton 348
15.4.4 Verfahren von Adams Stornier 353
15.4.5 Fehlerschätzungsformeln für Mehrschrittverfahren 354
15.4.6 Rechnungsfehler für Ein und Mehrschrittverfahren 356
15.5 Extrapolationsverfahren von Bulirsch Stoer Gragg 357
15.6 Stabilität 360
15.6.1 Vorbemerkungen 360
15.6.2 Stabilität der Differentialgleichungen 361
15.6.3 Stabilität des numerischen Verfahrens 361
15.7 Steife DifferentialgleichungsSysteme 366
15.7.1 Problemstellung 366
Seite
15.7.2 Kriterien für Steifheit eines Systems 366
15.7.3 Das Verfahren von Gear zur Integration
steifer Systeme 367
15.8 Entscheidungshilfen bei der Wahl des Verfahrens 373
16 Randwertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen 378
16.1 Problemstellung 378
16.2 ZurUckführung des Randwertproblems auf ein Anfangswert¬
problem 379
16.2.1 Randwertprobleme für nichtlineare Differential¬
gleichungen zweiter Ordnung 379
16.2.2 Randwertprobleme für Systeme von Differential
gleichngen erster Ordnung 382
16.2.3 Mehrzielverfahren 383
16.3 Differenzenverfahren 387
16.3.1 Das gewöhnliche Differenzenverfahren 387
16.3.2 Differenzenverfahren höherer Näherung 393
16.3.3 Iterative Auflösung der linearen Gleichungssysteme
zu speziellen Randwertproblemen 396
16.3.4 Lineare Eigenwertprobleme 396
Anhang: FORTRAN 77 Programme 399
Verzeichnis der Programme 400
Vorwort zum Anhang 405
Programme 408
Literaturverzeichnis 760
Literatur zu weiteren Themengebieten 774
Numerische Behandlung partieller Differentialgleichungen 774
Methode der Finiten Elemente 775
Sachregister 777
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| author | Engeln-Müllges, Gisela 1940- Reutter, Fritz 1911-1990 Dietel, Jürgen |
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