Praxis nichtlinearer Gleichungen: mit zahlr. Anwendungsbeisp. für Ingenieure, Mathematiker u. Naturwiss.
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Vorwort V
Beispiel Verzeichnis XIII
Zitate, Symbole, Vereinbarungen XXI
1. GRUNDLAGEN 1
1.1. Funktionen 1
1. Einleitende Bemerkungen 1
2. Funktionen und ihre Beschreibung 2
3. Algebraische Funktionen und Polynome 3
4. Stetigkeit und Differenzierbarkeit, Kurvendiskussion 4
5. Der Satz von Taylor 6
6. Über das Verhalten reeller Funktionen für x ¦* •* ,
Schranken für die reellen Nullstellen 9
7. Approximation einer Funktion durch ein Polynom 10
1.2. Nullstellen 12
1. Einleitung 12
2. Funktionen und ihre komplexen Nullstellen 12
3. Lage der Nullstellen eines Polynoms mit reellen Koeffizienten ... 15
4. Mehrfache Nullstellen und Nullstellenhaufen 15
5. Her Fundamentalsatz der Algebra Produktdarstellung von
Polynomen 18
6. Stetige Abhängigkeit der Nullstellen eines Polynoms von den
Koeffizienten 19
7. Anzahl der reellen Nullstellen in einem Intervall Grenzen der
reellen Nullstellen einer stetigen Funktion 22
8. Der Satz von Rolle 23
9. Verallgemeinerungen des Satzes von Rolle 24
1.3. Das Schema von Horner 25
1. Berechnung der Funktionswerte eines Polynoms 25
2. Division eines Polynoms durch (x a) 26
3. Lokalisieren und Abspalten von Nullstellen mit Hilfe des
Horner Schemas 27
4. Taylor Entwicklung von Polynomen 32
5. Das Doppelzeilige Horner Schema für komplexes Argument 3 3
6. Zur Bedeutung des Horner Schemas Anwendungsbeispiele 34
1.4. Euklidischer Algorithmus und Routh Schema 37
1. Größter gemeinsamer Teiler zweier Polynome 37
2. Division zweier Polynome 39
3. Das Schema von Routh 41
4. Praktische Berechnung des größten gemeinsamen Teilers 43
1.5. Umformen von Gleichungen 44
1. Befreien einer Gleichung von mehrfachen Wurzeln 44
2. Andern aller Nullstellen einer Funktion 46
1.6. Numerische Rechnung und Fehler 49
2. ALLGEMEINES ÜBER POLYNOME UND IHRE NULLSTELLEN 54
2.1. Beziehungen zwischen den Koeffizienten und den Wurzeln einer
algebraischen Gleichung 54
X Inhaltsverzeichnis
1. Elementarsymmetrische Funktionen und die Wurzelsätze von
Vieta 54
2. Rationalzahlige Nullstellen ganzzahliger Polynome 55
3. Die Newtonschen Formeln für die Potenzsummen der Wurzeln 56
2.2. Anzahl und Lage der reellen Nullstellen eines Polynoms 60
1. Das Verhalten von Polynomen für x ¦ 60
2. Schranken für die reellen Nullstellen eines Polynoms 61
3. Anzahl der Nullstellen in einem Intervall 65
4. Über das Vorhandensein komplexer Nullstellen 72
2.3. Schranken für den Betrag der Nullstellen 72
2.4. Gemeinsame Nullstellen zweier Polynome 77
3. IN GESCHLOSSENER FORM LOSBARE ALGEBRAISCHE GLEICHUNGEN 86
3.1. Nullstellen von Binomen und die Kreisteilungsgleichung 86
3.2. Lineare und quadratische Gleichungen 88
3.3. Kubische Gleichungen 89
1. Cardanosche Formeln 89
2. Casus irreducibilis: Reelle Wurzeln 93
3. Die Methode der Linienkoordinaten 97
3.4. Biquadratische Gleichungen 100
1. Wurzelrealität und vielfachheit 101
2. Die Methoden von Descartes und Ferrari 101
3. Die Methode von Bombelli HO
4. Das Probierverfahren von Collatz 113
5. Die Verfahren von Euler 114
6. Ergänzende Bemerkungen 116
3.5. Gleichungen, deren Grad sich erniedrigen läßt 117
1. Substitution einer Potenz der Variablen 117
2. Reziproke Gleichungen 119
3. Auf reziproke Gleichungen zurückführbare Gleichungen 121
4. Weitere Gleichungen, deren Grad sich erniedrigen läßt 122
4. GLEICHZEITIGE BESTIMMUNG ALLER NULLSTELLEN EINES POLYNOMS 123
4.1. Vorbemerkung 123
4.2. Das Graeffe Verfahren und einige Varianten 124
1. Das Graeffe Verfahren 124
2. Vor und Nachteile des Graeffe Verfahrens Numerische Aspekte ... 130
3. Das Verfahren von Brodetsky und Smeal 132
4. Beschränkung des Zahlenbereiches nach A. Grau 136
4.3. Das Resultanten Verfahren 138
4.4. Quotientenverfahren 145
1. Die Methode von Bernoulli 145
2. Das Verfahren von Aitken 149
3. Der Rhomben Algorithmus von Rutishauser 150
4.5. Vergleichende Betrachtungen 154
5. ITERATIVE METHODEN ZUR BESTIMMUNG EINER WURZEL EINER GLEICHUNG 161
5.1. Lokalisieren von Wurzeln 161
Inhaltsverzeichnis XI
5.2. Fixpunktverfahren 162
1. Das allgemeine Iterationsverfahren (Picard Iteration) 163
2. Konvergenzeigenschaften und Fehlerabschätzunq 169
3. Konvergenzbeschleunigung nach Aitken und Steffensen Verfahren ... 169
4. Erweiterung auf Gleichungssysteme 170
5. Sekanten und Interpolationsverfahren 172
6. Das Newton Verfahren: Einfache Wurzeln 175
7. Das Newton Verfahren: Mehrfache Wurzeln 179
8. Das vereinfachte Newton Verfahren 181
9. Das Newton Verfahren für komplexe Wurzeln Abstiegsverfahren ... 182
10. Das Bairstow Verfahren für Polynome 187
11. Das Verfahren von Laguerre 190
12. Einbettungsverfahren 191
5.3. Intervall Verfahren 191
1. Regula Falsi 192
2. Kombination von Regula Falsi und Newton Verfahren 194
3. Intervallschachtelung (Bisektion) 196
4. Die Methode von Dekker 197
5. Die Regula Falsi für komplexe Wurzeln, bzw.für Gleichungs¬
systeme 201
5.4. Bestimmung aller Nunstellen von Polynomen ohne Startwerte 202
1. Das Parabelverfahren von Muller 202
2. Das Verfahren von Nickel 204
3. Das Verfahren von Bauhuber 207
4. Die Methode von Lehmer 208
5. Ergänzungen 210
5.5. Einige Bemerkungen zur Wahl des Verfahrens 211
6. LAGE DER NULLSTELLEN IN EINEM VORGEGEBENEN GEBIET 214
6.1. Einführung 214
1. Regelungssysteme und ihre mathematische Beschreibung 214
2. Stabilität und Dämpfung 217
3. Zwei Anwendungsbeispiele 221
4. Zeitdiskrete Systeme 223
6.2. Geometrische Kriterien 227
1. Das Ortskurvenkriterium: Lage der Nullstellen in der linken
Halbebene 227
2. Lücken und Lagenkriterium als algebraische Formulierung des
Ortskurvenkriteriums 234
3. Bestimmung von absoluter und relativer Dämpfung mit Hilfe der
Ortskurve: Nullstellen in einer Halbebene oder in einem Sektor .. 240
4. Näherungsweise Bestimmung eines Wurzelpaares und der Stabili¬
tätsabszisse mit Hilfe der Ortskurve 246
5. Zahl der Wurzeln algebraischer und transzendenter Gleichungen
in einem beschränkten Gebiet 248
6. Ergänzungen und Ausblick 253
6.3. Algebraische Kriterien für die Lage aller Nullstellen in einer Halb¬
ebene oder in einem Sektor 253
1. Eine notwendige Bedingung 254
2. Die Kriterien von Hurwitz und Routh 255
3. Spezialfälle und Anwendungsbeispiele 264
4. Lage der Nullstellen in einem Sektor 269
Xjj Inhaltsverzeichnis
5. Polynome mit komplexen Koeffizienten 272
6. Reduktion der Zahl der Bedingungen: Kriterium von Lienard und
Chipart 279
7. Ergänzende Bemerkungen 280
6.4. Die Zahl der Nullstellen in einer Halbebene 281
1. Aussagen über die Zahl der Nullstellen in einer Halbebene, in
einem Sektor oder auf der imaginären Achse 281
2. Berechnung und Abschätzung der Stabilitätsabszisse 284
3. Lage der Nullstellen bezüglich der reellen Achse 288
6.5. Parameterabhängige Polynome 291
1. Zur Wahl des Kriteriums 291
2. Stabilitätsgrenzen 294
3. Die Methode der D Zerlegung 296
6.6. Lage der Nullstellen bezüglich Kreisen und Kreisringen 305
1. Vorbemerkung 305
2. Zahl der Nullstellen innerhalb und außerhalb des Einheitskreises
sowie in Kreisringen: Kriterien von Schur und Cohn 306
3. Lage aller Nullstellen im Einheitskreis: Kriterien von Cohn und
Jury 311
4. Wahl des Kriteriums numerische Aspekte 315
6.7. Ausblick 316
Anhang 318
Literaturverzeichnis 339
Namen und Stichwortverzeichnis 354
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