Lineare Algebra und analytische Geometrie:
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| Published: |
Berlin [u.a.]
Springer
1985
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| Edition: | 2. Aufl. |
| Series: | Grundwissen Mathematik
2 |
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| Online Access: | Inhaltsverzeichnis |
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Teil A. Lineare Algebra I
Kapitel 1. Vektorräume 1
§ 1. Der Begriff eines Vektorraumes 1
1. Vorbemerkung 2. Vektorräume 3. Unterräume 4. Geraden 5. Das Standard¬
beispiel K 6. Geometrische Deutung 7. Anfänge einer Geometrie im R2
§ 2*. Über den Ursprung der Vektorräume 10
1. Die GRASSMANNSche Ausdehnungslehre 2. Grassmann: Übersicht über die
allgemeine Formenlehre 3. Extensive Größen als Elemente eines Vektorraumes
4. Reaktion der Mathematiker 5. Der moderne Vektorraumbegriff
§ 3. Beispiele von Vektorräumen 15
1. Einleitung 2. Reelle Folgen 3. Vektorräume von Abbildungen 4. Stetige
Funktionen 5. Reelle Polynome 6*. Reell analytische Funktionen 7*. Lineare
Differentialgleichungen H ter Ordnung 8. Die Vektorräume Abb[M, A ]
§ 4. Elementare Theorie der Vektorräume 20
1. Vorbemerkung 2. Homogene Gleichungen 3. Erzeugung von Unterräumen
4. Lineare Abhängigkeit 5. Der Begriff einer Basis 6. Die Dimension eines
Vektorraums 7. Der Dimensions Satz 8*. Der Basis Satz für beliebige Vektor¬
räume 9*. Ein Glasperlen Spiel
§ 5. Anwendungen 30
1. Die reellen Zahlen als Vektorraum über Q 2. Beispiele 3. Der Rang einer
Teilmenge 4. Anwendung auf lineare Gleichungssysteme
§ 6. Homomorphismen von Vektorräumen 35
1. Einleitung 2. Definition und einfachste Eigenschaften 3. Kern und Bild 4. Die
Dimensionsformel für Homomorphismen 5. Äquivalenz Satz für Homomor¬
phismen 6. Der Rang eines Homomorphismus 7. Anwendung auf homogene
lineare Gleichungen 8. Beispiele 9*. Die Funktionalgleichung f(x + v) =
/(¦v)+/( ¦)
§ 7*. Linearformen und der duale Raum 45
1. Vorbemerkungen 2. Definition und Beispiele 3. Existenz von Linearformen
4. Der Dual Raum 5. Linearformen des Vektorraums der stetigen Funktionen
§ 8*. Direkte Summen und Komplemente 48
1. Summe und direkte Summe 2. Komplemente 3. Die Dimensionsformel für
Summen 4. Die Bild Kern Zerlegung
Kapitel 2. Matrizen 52
§ 1. Erste Eigenschaften 52
1. Der Begriff einer Matrix 2. Über den Vorteil von Doppelindizes
3. Mat(/w,H; K) als K Vektorraum 4. Das Transponierte einer Matrix
5. Spalten und Zeilenrang 6. Elementare Umformungen 7. Die Rangglei¬
chung 8. Kästchenschreibweise und Rangberechnung 9. Zur Geschichte des
Rang Begriffes
§ 2. Matrizenrechnung 62
1. Arthur Cayley oder die Erfindung der Matrizenrechnung 2. Produkte von
Matrizen 3. Produkte von Vektoren 4. Homomorphismen zwischen Standard
Räumen 5. Erntezeit 6. Das Skalarprodukt 7*. Rang A ^ r 8. Kästchenrech¬
nung
§ 3. Algebren 70
1. Einleitung 2. Der Begriff einer Algebra 3. Invertierbare Elemente 4. Ringe
5. Beispiele
§ 4. Der Begriff einer Gruppe 73
1. Halbgruppen 2. Gruppen 3. Untergruppen 4. Kommutative Gruppen
5. Homomorphismen 6. Normalteiler 7. Historische Bemerkungen
§ 5. Matrix Algebren 79
1. Mat(n; K) und GL(n ;K)2. Der Äquivalenz Satz für invertierbare Matrizen
3. Die Invarianz des Ranges 4. Spezielle invertierbare Matrizen 5*. Zentrali¬
sator und Zentrum 6. Die Spur einer Matrix 7. Die Algebra Mnt(2;K)
§ 6. Der Normalformen Satz 86
1. Elementar Matrizen 2. Zusammenhang mit elementaren Umformungen
3. Anwendungen 4*. Die WEYR FROBENius Ungleichungen 5. Aufgaben zum
Normalformen Satz 6. Zur Geschichte des Normalformen Satzes
§ 7. Gleichungssysteme 89
1. Erinnerung an lineare Gleichungen 2. Wiederholung von Problemen und
Ergebnissen 3. Der Fall m = n 4. Anwendung des Normalformen Satzes
5. Lösungsverfahren 6. Basiswechsel in Vektorräumen
§ 8*. Pseudo Inverse 94
1. Motivation 2. Der Begriff des Pseudo Inversen 3. Ein Kriterium für
Gleichungssysteme 4. Zerlegung in eine direkte Summe
Kapitel 3. Determinanten 98
§ 1. Erste Ergebnisse über Determinanten 98
1. Eine Motivation 2. Determinanten Funktionen 3. Existenz 4. Eigenschaften
5. Anwendungen auf die Gruppe GL(n;K) 6. Die CRAMERSche Regel
§ 2. Das Inverse einer Matrix 106
1. Vorbemerkung 2. Die Entwicklungs Sätze 3. Die komplementäre Matrix
4. Beschreibung des Inversen
§ 3. Existenzbeweise 109
1. Durch Induktion 2. Permutationen 3. Die LEiBNizsche Formel 4. Permuta¬
tionsmatrizen 5. Ein weiterer Existenzbeweis
§ 4. Erste Anwendungen 112
1. Lineare Gleichungssysteme 2. Zweidimensionale Geometrie 3. Lineare
Abhängigkeit 4. Rangberechnung 5. Die Determinanten Rekursionsformel
6. Das charakteristische Polynom 7*. Mehrfache Nullstellen von Polynomen
8*. Eine Funktionalgleichung 9. Orientierung von Vektorräumen
§ 5. Symmetrische Matrizen. . . 121
1. Einleitung 2. Der Vektorraum der symmetrischen Matrizen 3. Quadratische
Ergänzung 4. Die JAcoBische Normalform 5. Normalformen Satz 6*. Träg¬
heits Satz
§ 6. Spezielle Matrizen 126
1. Schiefsymmetrische Matrizen 2. Die VANDERMONDESche Determinante
3. Bandmatrizen 4. Aufgaben
§ 7. Zur Geschichte der Determinanten 128
1. Gottfried Wilhelm Leibniz2. Baltzer s Lehrbuch 3. Die weitere Entwicklung
Teil B. Analytische Geometrie
Kapitel 4. Elementar Geometrie in der Ebene 130
Der pythagoreische Lehrsatz 130
§ 1. Grundlagen 131
1. Skalarprodukt, Abstand und Winkel 2. Die Abbildung x x1 3. Geraden
4. Schnittpunkt zwischen zwei Geraden 5. Abstand zwischen Punkt und Gerade
6. Fläche eines Dreiecks 7. Der Höhenschnittpunkt
§ 2. Die Gruppe 0(2) 137
1. Drehungen und Spiegelungen 2. Orthogonale Matrizen 3. Bewegungen 4. Ein
Beispiel 5. Die Hauptachsentransformation für 2 x 2 Matrizen 6. Fix Geraden
7. Die beiden Orientierungen der Ebene
§ 3. Geometrische Sätze 141
1. Der Kreis 2. Tangente 3. Die beiden Sehnensätze 4. Der Umkreis eines
Dreiecks 5. Die EuLER Gerade 6. Der FEUERBACH Kreis 7. Das Mittendreieck
Kapitel 5. Euklidische Vektorräume 148
§ 1. Positiv defmite Bilinearformen 149
1. Symmetrische Bilinearformen 2. Beispiele 3. Positiv definite Bilinearformen
4. Positiv definite Matrizen 5. Die CAucHY ScHWARZSche Ungleichung
6. Normierte Vektorräume
§ 2. Das Skalarprodukt 155
1. Der Begriffeines euklidischen Vektorraumes 2. Winkelmessung 3. Orthonor
malbasen 4. Basisdarstellung 5. Orthogonales Komplement und orthogonale
Summe 6. Linearformen
§ 3. Erste Anwendungen 162
1. Positiv definite Matrizen 2. Die adjungierte Abbildung 3. Systeme linearer
Gleichungen 4. Ein Kriterium für gleiche Orientierung 5*. LEGENDRE Polynome
§4. Geometrie in euklidischen Vektorräumen 165
1. Geraden 2. Hyperebenen 3. Schnittpunkt von Gerade und Hyperebene
4. Abstand von einer Hyperebene 5*. Orthogonale Projektion 6*. Abstand
zweier Unterräume 7*. Volumenberechnung 8*. Duale Basen
§ 5. Die orthogonale Gruppe 172
1. Bewegungen 2. Spiegelungen 3. Die Transitivität von O(V.a) auf Sphären
4*. Die Erzeugung von 0(V,a) durch Spiegelungen 5*. Winkeltreue Ab¬
bildungen
§ 6. Vermischte Aufgaben 177
Kapitel 6. Der IR als Euklidischer Vektorraum 179
§ 1. Der IR und die orthogonale Gruppe O(n) 179
1. Der euklidische Vektorraum IR 2. Orthogonale Matrizen 3. Die Gruppe
O(n) 4. Spiegelungen 5. Erzeugung von O(ri) durch Spiegelungen 6*. Drehungen
7. Anwendung der Determinanten Theorie 8*. Eine Parameterdarstellung
9. Euler, Cauchy, Jacobi und Cayley
§ 2. Die Hauptachsentransformation 187
1. Problemstellung 2. Der Vektorraum der symmetrischen Matrizen 3. Positiv
semi definite Matrizen 4. Das Minimum einer quadratischen Form 5. Satz über
die Hauptachsentransformation 6. Eigenwerte 7. Eigenräume
§ 3. Anwendungen 195
1. Vorbemerkung 2. Positiv definite Matrizen 3. Hyperflächen 2. Grades
4*. Der Quadratwurzel Satz 5*. Polar Zerlegung 6*. Orthogonale Normalform
7*. Das MooRE PENROSE Inverse
§ 4*. Topologische Eigenschaften 201
1. Zusammenhang 2. Kompaktheit 3. Hauptachsentransformation
Kapitel 7. Geometrie im dreidimensionalen Raum 204
§ 1. Das Vektorprodukt 204
1. Definition und erste Eigenschaften 2. Zusammenhang mit Determinanten
3. Geometrische Deutung 4. Ebenen 5. Parallelotope 6. Vektorrechnung im
Anschauungsraum
§ 2*. Sphärische Geometrie 210
1. Über den Ursprung der Sphärik 2. Das sphärische Dreieck 3. Das
Polardreieck 4. Entfernung auf der Erde
§ 3. Die Gruppe 0(3) 214
1. Beschreibung durch das Vektorprodukt 2. Erzeugung durch Drehungen
3. Spiegelungen 4. Fix Geraden 5. Die Normalform 6. Die Drehachse
7*. Die EuLERSche Formel 8*. Drehungen um eine Achse
§ 4. Bewegungen 222
1. Fixpunkte 2. Bewegungen mit Fixpunkt 3. Schraubungen
Teil C. Lineare Algebra II
Kapitel 8. Polynome und Matrizen 225
§ 1. Polynome 225
1. Der Vektorraum Pol K2. Pol K als Ring 3. Zerfallende Polynome 4. Pol K als
Hauptidealring 5*. Unbestimmte
§ 2. Die komplexen Zahlen 230
1. Der Körper C der komplexen Zahlen 2. Konjugation und Betrag 3. Der
Fundamentalsatz der Algebra
§ 3. Struktursatz für zerfallende Matrizen 232
1. Der Begriff der Diagonalisierbarkeit 2. Das charakteristische Polynom
3. Äquivalenz Satz für Eigenwerte 4. Nilpotente Matrizen 5. Idempotente
Matrizen 6. Zerfallende Matrizen 7. Diagonalisierbarkeits Kriterium 8*. Ein
Beispiel zum Struktur Satz 9*. Elementarsymmetrische Funktionen und Po¬
tenzsummen
§ 4. Die Algebra K[A] 242
1. Eine Warnung 2. Matrix Polynome 3. Das Minimalpolynom 4. Eigenwerte
5. Das Rechnen mit Kästchen Diagonalmatrizen 6. Satz von Cayley 7. Äqui¬
valenz Satz für Diagonalisierbarkeit 8. Spektralscharen 9. Eigenräume
§ 5. Die JoRDAN CHEVALLEY Zerlegung 251
1. Existenz Satz 2. Summen von diagonalisierbaren Matrizen 3. Die Ein¬
deutigkeit 4. Anwendungen
§ 6. Normalformen reeller und komplexer Matrizen 254
1. Normalformen komplexer Matrizen 2. Reelle und komplexe Matrizen
3*. Hermitesche Matrizen 4. Invariante Unterräume 5. Die Stufenform 6. Der
Satz über die Stufenform 7. Orthogonale Matrizen 8. Schiefsymmetrische
Matrizen 9*. Normale Matrizen
§ 7*. Der höhere Standpunkt 261
1. Einfache und halbeinfache Algebren 2. Kommutative Algebren 3. Die
Struktursätze 4. Die weitere Entwicklung 5. Der generische Standpunkt
Kapitel 9. Homomorphismen von Vektorräumen 264
§ 1. Der Vektorraum Hom(F, V) 264
1. Der Vektorraum Abb(M, V )2. Hom( V, V) als Unterraum von Abb( V, V)
3. Mä.t(m,n;K) als Beispiel 4. Verknüpfungen von Homfl7, V) und
Hom(K , V )
§ 2. Beschreibung der Homomorphismen im endlich dimensionalen Fall. 266
1. Isomorphie mit Standard Räumen 2. Darstellung der Homomorphismen
3. Basiswechsel 4. Die Algebra End V 5. Diagonalisierbarkeit
§ 3. Anwendungen 269
1. Spiegelungen in euklidischen Vektorräumen 2. Die Linksmultiplikation in
Mat(n;/O 3. Polynome
§ 4. Der Quotientenraum 271
1. Einleitung 2. Nebenklassen 3. Der Satz über den Quotientenraum 4. Der Satz
über den kanonischen Epimorphismus 5. Kanonische Faktorisierung
6. Anwendungen 7. Beispiele
§ 5*. Nilpotente Endomorphismen 274
1. Problemstellung 2. Zyklische Unterräume 3. Der Struktur Satz 4. Nilzykli¬
sche Matrizen 5. Die Normalform
Literatur 277
Namenverzeichnis 278
Sachverzeichnis 280
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