Klassische Mathematik in zeitgemäßer Darstellung: 1 Grundlagen, Mengenlehre und Arithmetik
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I nhaltsverzeichnis
Einleitung. 9
1. Entstehungsweise und Zweck dieses Buches . 9
2. Die Art der Darstellung . 11
3. Spiraliger Weg contra Pedanterie: Bezeichnungsschwierigkeiten. 12
4. Einheitlichkeit in der Mathematik . 15
5. Gliederung des Textes . 16
6. Die Übungen . 20
7. Danksagungen. 21
Einige Vorschläge zum gezielten Lesen . 22
Bezeichnungshinweise . 23
Teil
I
Die Sprache der Mathematik
Kapitel 1. Mengenlehre als Beschreibungshilfsmittel. 27
1.1 Der Mengenbegriff. 27
1.2 Inklusion. 29
1.3 Venn-Diagramme. 30
1.4 Gleichheit von Mengen . 30
1.5 Die Potenzmengenbildung. 32
1.6 Vereinigung und Durchschnitt . 33
1.7 Die Komplementbildung. 37
1.8
Quantoren
. 39
Kapitel 2. Funktionen als Beschreibungshilfsmittel .'. . 43
2.1 Der Funktionsbegriff. 43
2.2 Gleichheit von Funktionen . 45
2.3 Das Bild. 46
2.4 Injektionen, Surjektionen und Bijektionen. 46
2.5 Beispiele. 47
2.6 Bezeichnungen und sprachliche Ungenauigkeiten . 50
2.7 Zusammensetzung von Funktionen . 52
2.8 Zusammensetzung von Injektionen usw. 54
2.9 Der Satz von der Umkehrfunktion . 54
2.10 Äquivalente Mengen . 59
2.11 Das Zählen . 59
6 Inhaltsverzeichnis
Kapitel 3. Das Cartesische Produkt . 64
3.1 Paare und Produkte . 64
3.2 Algebraische Eigenschaften . 66
3.3 Der Graph einer Funktion . 68
3.4 Nochmals: Der Funktionsbegriff. 69
3.5 Nochmals: Geordnete Paare . 71
3.6 Multiplikative Systeme. 72
Kapitel 4. Relationen . 77
4.1 Was ist eine Relation?. 77
4.2 Die Bedingungen RST. 78
4.3 Lineare Graphen . 78
4.4 Ordnungen . 80
4.5 Äquivalenzrelationen . 83
4.6 Klasseneinteilungen. 87
4.7 Die Quotientenabbildung. 88
Kapitel 5. Vollständige Induktion . 91
5.1 Unvollständige und vollständige Induktion . 91
5.2 Eine Unsitte. 93
5.3 Das Verfahren der Induktiven Definition. 93
Teü
II
Weiteres über Mengen
Kapitel 6. Funktionenmengen . 102
6.1 Die Menge BA . 102
6.2 Abbildungen von BA . 104
6.3 Der Fall #S = 2 . 107
6.4 Variationen, Permutationen und die Menge
I
(А, В)
. 109
6.5 Kombinationen. 112
6.6 Die Menge S(A,B). 114
Kapitel 7. Zählen und
Transfinite
Arithmetik. 117
7.1 Das Zählen. 117
7.2
Transfinite
Arithmetik. 119
7.3 Die Ordnungsrelation in der transfiniten Arithmetik. 122
7.4 Das Auswahlaxiom. 126
Kapitel 8. Mengenalgebra und Aussagenalgebra . 133
8.1 Mengenalgebra . 133
8.2 B-Algebren . 138
8.3 Der Aussagenkalkül. 142
8.4 Erweiterung auf allgemeinere Formeln . 144
8.5 Implikation und Folgerung. 147
Inhaltsverzeichnis 7
Teil
III
Arithmetik
Kapitel 9. Kommutative Ringe und Körper . 152
9.1 Die ganzen Zahlen als algebraisches System . 152
9.2 Ringe. 153
9.3 Folgerungen. 156
9.4 Unterringe . 157
9.5 Kommutative Gruppen . 158
9.6 Körper . 161
Kapitel 10. Arithmetik
modulo
m.
167
10.1 Restklassen und die Ringe Zm . 167
10.2 Eigenschaften von Zm. 170
10.3 Die Eutersche ^-Funktion. 173
10.4 Das Lösen von Kongruenzen. 174
Kapitel 11. Ringe mit ganzzahliger Norm . 178
11.1 Ganzzahlige Normen . 178
11.2 Beispiele. 179
11.3 Faktorzerlegung in euklidischen Ringen. 182
11.4 Ideale. 184
11.5 Größte gemeinsame Teiler. 187
11.6 Der euklidische Algorithmus. 190
11.7 Kleinste gemeinsame Vielfache . 193
Kapitel 12. Zerlegung in Primfaktoren . 196
12.1 Primzahlen . 196
12.2 Unzerlegbare Elemente und Primelemente. 197
12.3 Existenz und Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung. 199
12.4 Faktorzerlegung in T{x\ . 202
Kapitel 13. Anwendungen des größten gemeinsamen Teilers . 206
13-1 Partialbruchzerlegung . 206
13.2 Kettenbrüche . 210
Literaturhinweise . 214
Verzeichnis besonderer Symbole. 216
Stichwortverzeichnis . 220 |
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