Wahrscheinlichkeitsrechnung: mit einem Anhang über Informationstheorie
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| Format: | Book |
| Language: | German |
| Published: |
Berlin
Dt. Verl. der Wiss.
1973
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| Edition: | 4. Aufl. |
| Series: | Hochschulbücher für Mathematik
54 |
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|---|---|
| adam_text | INHALTSVERZEICHNIS
I. Algebra der Ereignisse
§ 1. Die grundlegenden Beziehungen der Ereignisalgebren 1
§ 2. Weitere Operationen und Beziehungen 5
§ 3. Axiomatischer Aufbau der Ereignisalgebra 7
§ 4. Über die Struktur endlicher Ereignisalgebren 9
§ 5. Darstellung von Ereignisalgebren durch Mengenalgebren 13
§ 6. Aufgaben 15
II. Die Wahrscheinlichkeit
§ 1. Die Aufgabe der Wahrscheinlichkeitsrechnung 20
§ 2. Der Begriff der Wahrscheinlichkeit 21
§ 3. Wahrscheinlichkeitsalgebren 24
§ 4. Endliche Wahrscheinlichkeitsalgebren 30
§ 5. Berechnung von Wahrscheinlichkeiten durch kombinatorische Über¬
legungen 31
§ 6. Wahrscheinlichkeitsalgebren von Kolmoqoroff 35
§ 7. Über die Erweiterung von Mengenringen, Mengenalgebren und Maßen 37
§ 8. Bedingte Wahrscheinlichkeiten 42
§ 9. Die Unabhängigkeit von Ereignissen 45
§ 10. Geometrische Wahrscheinlichkeiten 50
§ 11. Bedingte Wahrscheinlichkeitsalgebren 56
§ 12. Aufgaben 59
III. Diskrete Zufallsveränderliche
§ 1. Vollständige Ereignissysteme und Wahrscheinlichkeitsverteilungen.... 69
§ 2. Der Satz über die vollständige Wahrscheinlichkeit und der Satz von
Bayes 69
§ 3. Klassische Wahrscheinlichkeitsverteilungen 71
§ 4. Der Begriff der Zufallsveränderlichen 78
§ 5. Unabhängigkeit von Zufallsveränderlichen 82
§ 6. Faltung diskreter Wahrscheinlichkeitsverteilungen ,.... 84
§ 7. Der Begriff des Erwartungswertes einer diskreten Verteilung 86
§ 8. Einige Sätze über den Erwartungswert 88
§ 9. Die Streuung 92
§ 10. Einige Sätze über die Streuung 95
§ 11. Der Korrelationskoeffizient 97
§ 12. Die Poissonsche Verteilung 101
§ 13. Einige Anwendungen der Poissonschen Verteilung 104
§ 14. Algebra der Wahrscheinlichkeitsverteilungen 109
§ 15. Erzeugende Funktionen 113
§ 16. Approximation der BinomialVerteilung durch die Normalverteilung .. 125
§ 17. Das Bernoullische Gesetz der großen Zahlen 131
§ 18. Aufgaben 133
X Inhaltsverzeichnis
IV, Allgemeine Zufallsveränderliche
§ 1. Der allgemeine Begriff einer Zufallsveränderlichen 144
§ 2. Verteilungsfunktion und Dichtefunktion 144
§ 3. Mehrdimensionale Wahrscheinlichkeitsverteilungen 148
§ 4. Bedingte Verteilungsfunktionen und bedingte Dichtefunktionen 151
§ 5. Unabhängigkeit von Zufallsveränderlichen 152
§ 6. Die Gleichverteilung 154
§ 7. Die Normalverteilung 155
§ 8. Die Verteilung einer Punktion einer Zufallsveränderlichen 161
§ 9. Die Faltung von Wahrscheinlichkeitsverteilungen 162
§ 10. Die Verteilung von Funktionen mehrerer Zufallsveränderlicher 170
§ 11. Der allgemeine Begriff des Erwartungswerts 174
§ 12. Der Erwartungsvektor mehrdimensionaler Wahrscheinlichkeitsver¬
teilungen 181
§ 13. Mediane und Quantile 182
§ 14. Der allgemeine Begriff der Streuung 183
§ 15. Über einige andere Maßzahlen für die Schwankung 186
§ 16. Die Streuung im mehrdimensionalen Fall 188
§ 17. Aufgaben 194
V. Weiteres über Zufallsveränderliche
§ 1. Zufallsveränderliche auf bedingten Wahrscheinlichkeitsalgebren 206
§ 2. Verallgemeinerung des Begriffs der bedingten Wahrscheinlichkeit in
Kolmogoroffschen Wahrscheinlichkeitsalgebren 214
§ 3. Verallgemeinerung des Begriffs der bedingten Wahrscheinlichkeit in
bedingten Wahrscheinlichkeitsalgebren 222
§ 4. Verallgemeinerung des Begriffs des bedingten Erwartungswerts in
Kolmogoroffschen Wahrscheinlichkeitsalgebren 228
§ 5. Verallgemeinerung des Bayesschen Satzes 231
§ 6. Der Korrelationsquotient 232
§ 7. Über einige andere Maßzahlen für die Abhängigkeit zweier Zufalls¬
veränderlicher 236
§ 8. Der Kolmogoroffsche Hauptsatz 242
§ 9. Aufgaben 245
VI. Charakteristische Funktionen
§ 1. Komplexwertige Zufallsveränderliche 254
§ 2. Charakteristische Funktionen und ihre Eigenschaften 255
§ 3. Charakteristische Funktionen von einigen wichtigen Verteilungen ... 261
§ 4. Einige grundlegende Sätze über charakteristische Funktionen 263
§ 5. Charakteristische Eigenschaften der Normalverteilung 272
§ 6. Charakteristische Funktionen mehrdimensionaler Verteilungen 286
§ 7. Unbeschränkt teilbare Verteilungen 291
§ 8. Stabile Verteilungen 293
§ 9. Charakteristische Funktionen bedingter Wahrscheinlichkeitsverteilungen 296
§ 10. Aufgaben 308
VII. Die Gesetze der großen Zahlen
§ 1. Die Tschebyscheffsche Ungleichung und verwandte Ungleichungen .. 313
§ 2. Die stochastische Konvergenz 314
§ 3. Verallgemeinerung des Bemoullischen Gesetzes der großen Zahlen ... 316
Inhaltsverzeichnis XI
§ 4. Die Bernsteinsche Verschärfung der Tschebyscheffschen Ungleiclnmn:.. 322
§ 5. Das Lemma von Boeel Cantelli 326
§ 6. Die Kolmogoroffsche Ungleichung 328
§ 7. Das starke Gesetz der großen Zahlen 330
§ 8. Der Hauptsatz der mathematischen Statistik 335
§ 9. Der Satz vom iterierten Logarithmus 337
§ 10. Mischende Mengenfolgen 340
§ 11. Das „Null oder Eins Gesetz 342
§ 12. Der Kolmogoroffsche Dreireihensalz 344
§ 13. Die Gesetze der, großen Zahlen auf bedingten Wahrscheinlichkeitsalgebren 318
§ 14. Aufgaben 352
VIII. Die Grenz Verteilungssätze der Wahrscheinlichkeitsrechnung
§ 1. Die zentralen Grenzverteüungssätze 3C2
§ 2. Die lokale Gestalt des zentralen Grenzverteilungssatzes 309
§ 3. Das Anziehungsgebiet der Normalverteilung 373
§ 4. Konvergenz gegen die Poissonsche Verteilung 377
§ 5. Der zentrale Grenzverteilungssatz für Stichproben aus einer endlichen
Gesamtheit 379
§ 6. Anwendung der Mischungssätze zur Verallgemeinerung der Grenz
verteilungssätze 384
§ 7. Der zentrale Grenzverteilungssatz, wenn die Anzahl der Summanden vom
Zufall abhängt 388
§ 8. Grenzverteilungssätze für Markoffsche Ketten 392
§ 9. Grenzverteilungssätze bei geordneten Stichproben 401
§ 10. Grenzverteilungssätze über die empirischen Verteilungsfunktionen ... 406
§ 11. Grenzverteilungssätze über Irrfahrtprobleme 412
§ 12. Aufgaben 424
Anhang. Einführung in die Informationstheorie
§ 1. Die Hartleysche Formel 435
§ 2. Die Shannonsche Formel 440
§ 3. Die bedingte und die relative Information 447
§ 4. Der Infonnationsgewinn 451
§ 5. Statistische Deutung der Information 455
§ 6. Weitere Maßzahlen für die Information 459
§ 7. Statistische Interpretation der Information a ter Ordnung 471
§ 8. Definition der Information für allgemeine Verteilungen 474
§ 9. Anwendung der Informationsgrößen beim Beweis von GrenzverteUungs
sätzen 482
§ 10. Verallgemeinerung der Informationstheorie auf bedingte Wahrscheinlieh
keitsalgebren. 487
§ 11. Aufgaben 489
Tabellen 499
Anmerkungen und Literaturhinweise 520
Literaturverzeichnis 526
Namen und Sachverzeichnis 540
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