Einführung in die Funktionentheorie:
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Stuttgart
B. G. Teubner Verlagsgesellschaft
1966
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| adam_text | Inhaltsverzeichnis
§ 1. Komplexe Zahlen 7
1. Einleitendes — 2. Die Zahlenebene — 3. Addition — 4. Subtraktion
— 5. Betrag und Argument — 6. Multiplikation — 7. Division —
8. Konjugiert komplexe Zahlen — 9. Abschätzungen — 10. Beispiele
§ 2. Ganze lineare Funktionen einer komplexen Variablen 13
1. Translation —¦ 2. Drehung — 3. Streckung — 4. Drehstreckung —
5. Abbildungen — 6. Zusatz
§ 3. Die Stürzung w = l/z 16
1. Spiegelungen — 2. Stürzung — 3. Der uneigentliche Punkt der
Zahlenebene — 4. Stereografische Projektion — 5. Kreisverwandt¬
schaft — 6. Spiegelungen —• 7. Winkeltreue — 8. Beispiele
§ 4. Differenzierbare Funktionen 21
1. Funktionsbegriff — 2. Der Bereichbegriff — 3. Grenzwert und
Stetigkeit —• 4. Differenzierbarkeit — 5. Die Cauchy-Riemannschen
Differentialgleichungen —• 6. Bemerkung —• 7. Konforme Abbildung
— 8. Bereichtreue —• 9. Beispiele — 10. Der natürliche Logarithmus
im komplexen Gebiet
§ 5. Lineare Funktionen 33
1. Nähere Betrachtung der in § 3. 6. herangezogenen linearen Funk¬
tion —• 2. Ganze lineare Funktionen — 3. Gebrochene lineare Funk¬
tionen — 4. Beispiele
§ 6. w = z* 39
1. Verlauf der Abbildung — 2. Die Riemannsche Fläche — 3. Analy¬
tischer Charakter von w — 4. Beispiele
| 7.W = 1(Z + 1) 42
1. Einleitung — 2. Die Riemannsche Fläche — 3. Hinweis auf die
Integralrechnung — 4. Einige Bereichabbildungen — 5. Beispiele
§ 8. Reihenlehre im komplexen Gebiet 46
1. Grundbegriffe — 2. Potenzreihen — 3. Gleichmäßige Konvergenz
¦— 4. Beispiele und Zusätze
§ 9. Integralrechnung 60
1. Einleitung — 2. Existenz des Kurvenintegrales —¦ 3. Berechnung
der Kurvenintegrale —• 4. Einige Rechenregeln für Integrale —
5. Integrale von Ableitungen — 6. Approximation des Kurven¬
integrals durch ein Polygonintegral — 7. Die Substitutionsmethode
— 8. Beispiele
§ 10. Der Hauptsatz der Funktionentheorie 73
1. Fragestellung — 2. Der Hauptsatz der Funktionentheorie für
Dreiecke — 3. Der Hauptsatz für konvexe Bereiche — 4. Einfach¬
zusammenhängende Bereiche —• 5. Der Hauptsatz für einfachzu¬
sammenhängende Bereiche — 6. Existenz des Integrals einer jeden
eindeutigen analytischen Funktion — 7. Zusätze und Beispiele
§11. Die Cauchysche Integralformel 86
1. Die Formel im Falle des Kreises — 2. Verallgemeinerung der
Integralformel — 3. Analytischer Charakter der Ableitungen analy-
Inhaltsverzeichnis 5
tischer Funktionen — 4. Entwicklung analytischer Funktionen in
Potenzreihen —• 5. Beispiele und Zusätze
§ 12. Reihen analytischer Funktionen 96
1. Stetigkeit der Summe einer gleichmäßig konvergenten Reihe
stetiger Funktionen —• 2. Integration gleichmäßig konvergenter
Reihen — 3. Gleichmäßig konvergente Reihen analytischer Funk¬
tionen — 4. Integration gleichmäßig konvergenter Reihen analy¬
tischer Funktionen — 5. Weierstraßsche Funktionentheorie —
6. Zusatz
§ 13. Beschränkte Funktionen 102
1. Der Cauchysche Koeffizientensatz — 2. Das Prinzip vom Maximum
—• 3. Das Schwarzsehe Lemma—-4. Mittelbare Funktionen — 5. Beispiel
§ 14. Technik der Potenzreihenentwicklung 108
1. V 3 — 2. Das Produkt zweier Potenzreihen — 3. Der Quotient
zweier Potenzreihen
§ 15. Exponentialfunktion und Logarithmus 113
1. Einführung der Exponentialfunktion — 2. Der Verlauf der Ex¬
ponentialfunktion im komplexen Gebiet — 3. Der Logarithmus —
4. Die Umlaufszahl — 5. Der Logarithmus als analytische Funktion
— 6. Beispiel und Zusatz
§ 16. Die trigonometrischen Funktionen 122
1. Verlauf von cosinus und sinus im komplexen Gebiet ¦—¦ 2. Der
Arcuscosinus — 3. Beispiele und Zusätze
§ 17. Singuläre Stellen 126
1. Hebbare Singularitäten — 2. Verallgemeinerung der Cauchyschen
Integralformel —¦ 3. Beweis des Satzes von der hebbaren Singularität
— 4. Isolierte singuläre Stellen — 5. Der uneigentliche Punkt als
hebbare singuläre Stelle —• 6. Der Satz von Liotjville —¦ 7. Der
Fundamentalsatz der Theorie der algebraischen Gleichungen —
8. Pole —• 9. Wesentlich singuläre Stellen — 10. Rationale Funk¬
tionen —¦ 11. Laurentreihen —12. Beispiele
§ 18. Residuen 141
1. Definition — 2. Summe der Residuen — 3. Residuum von /(z)
am unendlichfernen Punkt — 4. Beispiele
§ 19. Einiges über Reihen- und Produktdarstellungen periodischer Funk¬
tionen 146
1. Die Partialbruchreihe des cotgz — 2. Die Laurentreihe des cotgz
— 3. Die Produktdarstellung des sinz — 4. Zusätze und Beispiele
§ 20. Das logarithmische Residuum 152
1. Definition — 2. Der Identitätssatz — 3. Bestimmung des logarith¬
mischen Residuums — 4. Rationale Funktionen —• 5. Der Satz von
Rotjche —- 6. Beispiele und Zusätze
§ 21. Die Umkehrungsfunktion 157
1. Anwendung des Satzes von Rotjche — 2. Die Umkehrungsfunktion
im Fall f (a) 4= 0 — 3. Die Umkehrungsfunktion im Fall f(a) = 0
— 4. Der Satz von der Bereichtreue — 5. Beispiele und Zusätze
§ 22. Analytische Fortsetzung 163
1. Funktionselemente — 2. Singuläre Stellen auf der Peripherie des
Konvergenzkreises — 3. Das Spiegelungsprinzip — 4. Beispiele und
Zusätze
§ 23. Der Vitalische Reihensatz 170
1. Formulierung des Satzes —¦ 2. Ein Hilfssatz über gleichgradige
Stetigkeit — 3. Beweis des Osgoodschen Reihensatzes — 4. Beweis
des Vitalischen Reihensatzes —• 5. Beispiele und Zusätze
6 Inhaltsverzeichnis
§ 24. Der Fundamentalsatz der konformen Abbildung 176
1. Fragestellung — 2. Beispiele zum Riemannschen Abbildungssatz
— 3. Konforme Abbildungen des Einheitskreises auf sich selbst —
4. Formulierung des Riemannschen Abbildungssatzes — 5. Beispiele
§ 25. Beweis des Riemannschen Abbildungssatzes 180
1. Ansatz zum Beweis — 2. Ein Limessatz für schlichte Abbildungen
— 3. Konstruktion der Abbildungsfunktion des Riemannschen Ab¬
bildungssatzes — 4. Beweis der Abbildungseigenschaft — 5. Zusätze
und Beispiele
§ 26. Aus der Praxis der konformen Abbildung 186
1. Das Schmiegungsverfahren — 2. Heinholds Stacheln — 3. Ringlebs
Möndchen — 4. Ein Flächensatz —• 5. Das Flächeninhaltsverfahren
— 6. Zusatz zum Flächeninhaltsverfahren — 7. Zusatz betreffend
Umfangsverfahren — 8. Zusatz betreffend Verfahren von TheODOBsen
§ 27. Konforme Abbildung von Polygonen auf eine Kreisfläche 198
1. Analytischer Charakter am Rande — 2. Das Schwarz-Christo flei¬
sche Integral — 3. Reguläre Polygone —• 4. Dreiecke — 5. Rechtecke
— 6. Doppelperiodische Funktionen
§ 28. Beziehungen zur Potentialtheorie 208
1. Allgemeiner Hinweis — 2. Die Greensche Funktion — 3. Das
Poissonsche Integral — 4. Schlußbemerkung
§ 29. Einiges aus der Hydrodynamik 212
1. Die Grundbegriffe — 2. Der Ausfluß aus einem Kasten — 3. Durch¬
führung der Abbildung
Register mit historischen Notizen 217
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