Darstellungen von Gruppen: mit besonderer Berücksichtigung der Bedürfnisse der modernen Physik
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Inhaltsverzeichnis
I. Kapitel
Matrizen
§ 1. Vektoren 1
§ 2. Lineare Abbildungen. Matrizen 4
§ 3. Algebren 7
§ 4. Quadratische und hermitesche Formen, orthogonale und unitäre Matrizen . . 9
§5. Eigenwerte und Transformation auf Diagonalgestalt 12
§6. Zwei weitere Verknüpfungen für Matrizen; das Kronecker-Produkt 16
§ 7. Äquivalenz und Reduzibilität von Matrixsystemen. Das Lemma von Schur . . 19
§ 8. Vertauschbarkeit von Matrixsystemen 22
§ 9. Beispiele irreduzibler Systeme. Eine Anwendung des Schurschen Lemmas ... 24
II. Kapitel
Gruppen
§ 1. Elementare Gruppentheorie 25
§ 2. Die symmetrische und die alternierende Gruppe 27
§ 3. Kontinuierliche Gruppen 31
§ 4. Die Matrix-Exponentialfunktion 33
§ 5. Der Infinitesimalring einer linearen Gruppe 35
§ 6. Integration in Lieschen Gruppen 41
III. Kapitel
Allgemeine Darstellungstheorie
§ 1. Begriff der Darstellung. Die vollständige Reduzibilität der Darstellungen end¬
licher Gruppen. Eindeutigkeit der Zerlegung 44
§ 2. Der Gruppenring und die reguläre Darstellung 50
§ 3. Struktur des Gruppenrings. Vorbereitende Sätze 55
§ 4. Die Struktur des Gruppenrings und das System der Klassen irreduzibler Dar¬
stellungen 60
§ 5. Zur Darstellungstheorie der halbeinfachen Algebren 67
§ 6. Normale Darstellungen 69
§7. Die Charaktere 70
§ 8. a) Charaktere und Gruppenring 76
b) Darstellungen und Charaktere eines direkten Produkts 78
c) Algebraische Eigenschaften der Charaktere 79
§9. Die infinitesimalen Transformationen der Darstellungen kontinuierlicher
Gruppen 82
§ 10. Die adjungierte Darstellung 83
§ 11. Die Charaktere der kontinuierlichen Gruppen 85
§ 12. Strahldarstellungen 87
§ 13. Gruppe und Untergruppe 90
a) Induzierte Darstellungen 90
b) Der Fall eines Normalteilers 92
XII Inhaltsverzeichnis
IV. Kapitel
Die Darstellungen der symmetrischen Gruppe
§1. DieTableaux 102
§2. Hilfssätze über die Tableaux 104
§ 3. Die irreduziblen Darstellungen 107
§4. Die Standard-Tableaux. Volle Reduktion des Gruppenrings 109
§5. Youngs seminormale Darstellung 112
§ 6. Youngs orthogonale Darstellung 124
§ 7. Beweis der Sätze 4.2 und 4.3 125
V. Kapitel
Die Darstellungen der vollen linearen, unimodularen und unitären Gruppen
§ 1. Vorbemerkungen 129
§ 2. Das Kronecker-Quadrat und die symmetrischen und schiefsymmetrischen Ten¬
soren zweiter Stufe 130
§ 3. Der Raum der Tensoren v-ter Stufe und die Darstellungen der Gruppe (5„ vom
Polynomgrad v 132
§ 4. Die Symmetrieklassen im Tensorraum 141
§ 5. Die Tableaux und die ganzrationalen Darstellungen der vollen linearen Gruppe 147
§ 6. Der Verzweigungssatz 160
§ 7. Ganzrationale Darstellungen der reellen linearen, unimodularen und unitären
Gruppen 164
§8. Rationale und semirationale Darstellungen 167
§ 9. Die unzerfällbaren Darstellungen der additiven Gruppe der reellen Zahlen . . 172
§ 10. Die stetigen Darstellungen der vollen und reellen linearen, der unimodularen
und unitären Gruppen 175
VI. Kapitel
Charaktere der linearen und der Permutationsgruppen. Die alternierende Gruppe
§ 1. Die Charakteristiken und die Darstellungsgrade der ganzrationalen Darstel¬
lungen der vollen linearen Gruppe 183
§ 2. Zusammenhang zwischen den Charakteren der symmetrischen Gruppe und den
Charakteristiken der vollen linearen Gruppe 186
§ 3. Zur Berechnung der Charaktere der symmetrischen Gruppe. Übersicht über die
Darstellungen der alternierenden Gruppe 190
§ 4. Noch eine Formel zur Berechnung der Charaktere von £v 196
§ 5. Analyse von Kronecker-Produkten bei der symmetrischen und bei der vollen
linearen Gruppe 199
§ 6. Die Charaktere der alternierenden Gruppe 204
VII. Kapitel
Charaktere und eindeutige Darstellungen der Drehgruppe
§1. Zusammenhangsverhältnisse der Drehgruppe 211
§2. Das Toroid £, 218
§ 3. Das Stiefeische Diagramm 220
§ 4. Die Gruppe P 223
§ 5. Die Fundamentalbereiche der Gruppe V 226
Inhaltsverzeichnis XIII
§ 6. Die Eigenwerte der Darstellungen 229
§7. Die Eigenwerte der adjungierten Darstellung 231
§ 8. Das Integral über eine Klassenfunktion 233
§ 9. Invariante und alternierende Polynome und Elementarsummen 237
§ 10. Das System der einfachen Charaktere 241
§11. Der Darstellungsgrad 246
§ 12. Der Verzweigungssatz 248
§ 13. Anwendung auf die niedersten Dimensionszahlen 251
§ 14. Die Fundamentaldarstellungen 252
§ 15. Die volle orthogonale Gruppe 258
VIII. Kapitel
Spindarstellungen, Infinitesimalring, gewöhnliche Drehgruppe
§ 1. Der Infinitesimalring der Drehgruppe 260
§ 2. Cliffords Algebra und ihr Zusammenhang mit den infinitesimalen Drehungen 262
§ 3. Darstellungstheorie der Cliffordschen Algebra 264
§ 4. Die Spindeldarstellungen des Infinitesimalrings der Drehgruppe 268
§ 5. Die Spindeldarstellungen der Drehgruppe 269
a) Nach Brauer und Weyl 269
b) Nach Freudenthal 277
§ 6. Die gewöhnliche Drehgruppe t 3 280
§ 7. Die Formel von Clebsch-Gordan 282
§ 8. Struktur des Infinitesimalrings und Gewichte der Darstellungen 283
§ 9. Weitere Kronecker-Produkte. Algebra von Kemmer und de Broglie 288
IX. Kapitel
Die Lorentz-Gruppe
§1. Die vier Stücke der Lorentz-Gruppe 292
§ 2. Die Fundamentaldarstellungen der Lorentz-Gruppe £„_, 298
§3. Die gewöhnliche eigentliche Lorentz-Gruppe 14 , und ihr Zusammenhang mit
der unimodularen Gruppe g2 301
§ 4. Die Darstellungen der vollen Lorentz-Gruppe fi4 t 304
Literaturverzeichnis 307
Namen- und Sachverzeichnis 313
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