Vorlesungen über allgemeine Funktionentheorie und elliptische Funktionen: ergänzt durch einen Abschnitt über geometrische Funktionentheorie
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| Published: |
Berlin [u.a.]
Springer-Verlag
1964
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| Edition: | Vierte vermehrte und verbesserte Auflage |
| Series: | Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften
3 |
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|---|---|
| adam_text | Inhaltsverzeichnis.
Erster Abschnitt.
Allgemeine Theorie der Funktionen einer komplexen
Veränderlichen.
Erstes Kapitel.
Die komplexen Zahlen.
§ 1. Begriff der komplexen Zahl.................... 1
§ 2. Geometrische Darstellung der komplexen Zahlen. Sätze über den abso¬
luten Betrag.......................... 4
§ 3. Konvergente Zahlenfolgen. Die Zahlenkugel............ 8
§ 4. Häufungswerte unendlicher Zahlenmengen............. 11
§ 5. Konvergenz der Reihen mit komplexen Gliedern........... 14
§ 6. Komplexe Variable und Funktionen derselben............ 17
§ 7. Gleichmäßige Konvergenz.................... 19
Zweites Kapitel.
Die Potenzreihen.
§ 1. Konvergenzgebiet einer Potenzreihe................ 22
§ 2. Bestimmung des Konvergenzradius................ 24
§ 3. Das Rechnen mit Potenzreihen.................. 26
§ 4. Prinzip der Koeffizientenvergleichung............... 30
§ 5. Ausdehnung der erhaltenen Sätze................. 31
§ 6. Die Umbildungen einer Potenzreihe............... 32
§ 7. Die Ableitungen einer Potenzreihe................. 34
§ 8. Unmittelbare Fortsetzungen einer Potenzreihe............ 36
§ 9. Laurentsche Reihen. Ein Hilfssatz über Potenzreihen........ 38
Drittes Kapitel.
Der Begriff der analytischen Funktion.
§ 1.
Monogene
Systeme von Potenzreihen................ 42
§ 2. Definition der analytischen Funktion................ 43
§ 3. Eindeutige Zweige einer analytischen Funktion........... 44
§ 4. Beispiele............................ 47
§ 5. Die Elementarzweige und ihre singulären Punkte.......... 51
§ 6. Der Fundamentalsatz der Algebra................. 54
§ 7.
Singulare
Punkte einer analytischen Funktion............ 55
§ 8. Die singulären Stellen der ganzen und der rationalen Funktionen ... 58
§ 9. Einige allgemeine Sätze über analytische Funktionen......... 60
§ 10. Der Weierstraßsche Summensatz................. 63
VIII Inhaltsverzeichnis.
Viertes Kapitel.
Untersuchung einiger spezieller analytischer Funktionen.
§ 1. Die Exponentialfunktion.................... 67
§ 2. Die trigonometrischen Funktionen................. 69
§ 3. Der Logarithmus........................ 73
§ 4. Die allgemeine Potenz...................... 78
Fünftes Kapitel.
Die Integration analytischer Funktionen.
§ 1. Gleichmäßige Stetigkeit und Differenzierbarkeit analytischer Funktionen 80
§ 2. Integration der Potenzreihen................... 83
§ 3. Integration der Ableitung einer regulären Funktion......... 83
§ 4. Beispiele............................ 86
§ 5. Integration regulärer Funktionen................. 89
§ 6. Der Satz von Cauchy...................... 93
§ 7. Folgerungen aus dem Satz von Cauchy. Der Satz von Laurent ... 95
§ 8. Die Resuiden der analytischen Funktionen............. 101
§ 9. Bestimmung der Null- und Unendlichkeitsstellen einer Funktion. . . . 104
Sechstes Kapitel.
Die meromorphen Funktionen.
§ 1. Begriff der meromorphen Funktion................ 108
§ 2. Die meromorphen Funktionen mit endlich vielen Polen........ 109
§ 3. Die meromorphen Funktionen mit unendlich vielen Polen. Der Mittag-
Lefflersche Satz......................... 109
§ 4. Allgemeiner Ausdruck einer meromorphen Funktion mit unendlich
vielen Polen.......................... 112
§ 5. Der Fall einfacher Pole...................... 113
§ 6. Beispiele............................ 115
§ 7. Cauchys Methode der Partialbruchzerlegung............ 118
§ 8. Beispiele............................ 120
§ 9. Ganze Funktionen mit vorgeschriebenen Nullstellen......... 123
§ 10. Darstellung der meromorphen Funktionen durch ganze Funktionen . 127
§ 11. Die Produktdarstellung der Gammafunktion............ 128
§ 12. Die Integraldarstellung der Gammafunktion............ 131
Siebentes Kapitel.
Die Umkehrung der analytischen Funktionen.
§ 1. Umkehrung der Potenzreihen................... 135
§ 2. Beispiele............................ 141
Zweiter Abschnitt.
Elliptische Funktionen.
Erstes Kapitel.
Die doppeltperiodischen meromorphen Funktionen.
§ 1. Zur geometrischen Darstellung der komplexen Zahlen........ 147
§ 2. Sätze über die Perioden einer meromorphen Funktion........ 148
§ 3. Das Periodenparallelogramm................... 152
Inhaltsverzeichnis.
IX
§ 4. Definition der elliptischen Funktionen. Der Körper
К
........ 154
§ 5. Allgemeine Sätze über die Funktionen ƒ («)............. 156
§ 6. Die Funktion
p (u).......................
161
§ 7. Die Differentialgleichung von
g)
(w)
................
165
§ 8. Das Additionstheorem von
ţp
(u)..................
169
§ 9. Darstellung der elliptischen Funktionen durch die p-Funktion .... 171
§ 10. Weitere Eigenschaften der Funktionen ƒ (u) ............ 174
§11. Die Funktion
ζ
(и) .......................
175
§ 12. Darstellung der elliptischen Funktionen durch
ζ
(и).........
177
§ 13. Die Funktion
σ(ύ)
....................... 179
§ 14. Darstellung der elliptischen Funktionen durch die Funktion o(u) ... 182
§ 15. Die Funktionen p(u), £(«), a(u) als Funktionen von u, wlt ca2..... 184
Tabellarische Übersicht zum 1. Kapitel............... 187
Zweites Kapitel.
Die Theta-Funktionen.
§ 1. Darstellung ganzer Funktionen mit einer gegebenen Periode...... 188
§ 2. Bezeichnungen......................... 190
§ 3. Die Funktion &t(v)........................ 190
§ 4. Die Funktionen
σΊ(«), σΖ(ύ),
а3(и)
................ 193
§ 5. Die Funktionen &2{v), &3(v), &0{v)................. 194
§ 6. Zusammenstellung....................... 195
§ 7. Zusammenfassende Darstellung der ¿^-Funktionen. Die ¿¿-Funktionen
als Funktionen von
ν
und
τ
................... 196
§ 8. Verwandlungsformeln und Nullstellen der vier ¿^-Funktionen..... 199
§ 9. Darstellung von
ег,
e2, ea und
Δ
durch die Nullwerte der &...... 200
§ 10. Darstellung der ¿*-Funktionen durch unendliche Produkte....... 202
§11. Einige zahlentheoretische Anwendungen der erhaltenen Resultate . . . 205
§ 12. Partialbruchzerlegungen von £{w) und
p (u)
als Funktionen von
г2.
Darstellungen von
η,
g2, ga.................... 207
§ 13. Entwicklung von ]/p («) —~ek................... 210
Drittes Kapitel.
Die elliptischen Funktionen Jacobis.
§ 1. Definition der Funktionen s(u), c(u),
Δ
{и).............
212
§ 2. Die Funktionen s(u), c(u),
Δ
(и)
als elliptische Funktionen...... 215
§ 3. Die Differentialgleichungen von s(u), c(u),
Δ
(и)...........
216
§ 4. Die Additionstheoreme von s(u), c(u),
Δ
(«) ............216
§ 5. Die trigonometrischen Funktionen als Grenzfälle der Funktionen s(u),
c{u), zl(«)........................... 218
Viertes Kapitel.
Die elliptischen Modulfunktionen.
§ 1. Äquivalenz der Größenpaare und der Größen............ 219
§ 2. Die elementaren Modulformen.................. 222
§ 3. Die absolute Invariante
J
(τ) ..................
223
§ 4. Auflösung der Gleichungen gu
(ω^ α>2)
= a2,
^з(ш1г
co2) = «3 ..... 227
§ 5. Die Funktion
κ3 (τ)........................
228
X
Inhaltsverzeichnis.
Fünftes Kapitel.
Elliptische Gebilde.
§ 1. Das Weierstraßsche Gebilde .................. 229
§ 2. Das Gebilde y2 = G3{x)...................... 230
§ 3. Das Gebilde y* = G4(x)...................... 231
§ 4. Das Legendresche Gebilde.................... 232
§ 5. Die Hauptform der Riemannschen Fläche des Gebildes y2 = Gt(x) . 232
§ 6. Die zweiblättrige Form der Riemannschen Fläche von ys = G4 (x) . . . 234
Sechstes Kapitel.
Elliptische Integrale.
§ 1. Definitionen........................ . . 237
§ 2. Die unbestimmten elliptischen Integrale..............238
§ 3. Die bestimmten elliptischen Integrale...............241
Siebentes Kapitel.
Die Transformation der elliptischen Funktionen.
§ 1. Lineare Transformation der Weierstraßschen Funktionen.......245
§ 2. Lineare Transformation der ^-Funktionen .............246
§ 3. Transformation zweiter Ordnung.................249
§ 4. Zusammenhang zwischen den Weierstraßschen und den Jacobischen
elliptischen Funktionen..................... . 251
§ 5. Die Landensche Transformation .................252
§ 6. Das arithmetisch-geometrische Mittel...............254
Dritter Abschnitt.
Geometrische Funktionentheorie.
Erstes Kapitel
Vorbereitende
Betrachtingen.
§ 1. Komplexe Zahlen........................257
§ 2. Geometrische Grundbegriffe....................261
§ 3. Kurvenintegrale ........................272
Zweites Kapitel.
Die Grundlagen der Theorie der meromorphen Funktionen.
§ 1. Die Forderung der Differenzierbarkeit............... 279
§ 2. Die
inverse
Funktion....................... 283
§ 3. Das bestimmte Integral einer holomorphen Funktion und seine Grenz¬
eigenschaften .......................... 284
§ 4. Der Cauchysche Integralsatz................... 286
§ 5. Integrale in mehrfach zusammenhängenden Bereichen. Der Cauchysche
Residuensatz.......................... 292
§ 6. Beispiele.
Elementare
Funktionen................. 294
§ 7. Die Cauchysche Integralformel.................. 297
§ 8. Konforme Abbildung...................... 301
Inhaltsverzeichnis.
XI
Drittes Kapitel.
Folgerungen aus der Cauchyschen Integralformel.
§ 1. Die Taylorsche und Laurentsche Reihe .............. 304
§ 2. Anwendungen des Cauchyschen Integralsatzes und Residuensatzes . . 308
§ 3. Der Satz vom arithmetischen Mittel. Prinzip vom Maximum und Sclrwarz-
sches Lemma.......................... 316
§ 4. Abschätzungsformeln. Satz von Liouville............. 319
§ 5. Gleichmäßige Konvergenz. Ein Konvergenzsatz von
Weierstrass
. .319
§ 6. Das Häufungsstellenprinzip für holomorphe Funktionen....... 322
§ 7. Zusammenhang mit der Potentialtheorie ............. 325
§ 8. Darstellung der holomorphen Funktionen und der Potentialfunktionen
durch das Poissonsche Integral ................. 326
§ 9. Folgerungen.......................... 329
§ 10. Lösung der Randwertaufgabe der Potentialtheorie für den Kreis . . . 333
§11. Die Randwerte einer holomorphen Funktion............ 336
§ 12. Strömungen........................... 343
Viertes Kapitel.
Spezielle Funktionen und ihre Singularitäten.
§ 1. Singularitäten und Kreuzungspunkte............... 346
§ 2. Veranschaulichung der einfachsten Singularitäten und Kreuzungspunkte 350
§ 3. Lineare Funktionen....................... 354
§ 4. Die Funktion
ζ
= sr1....................... 362
5. Die
Funktion
ζ
= —
íz
+ — .................. 365
§ 6. Logarithmus und Exponentialfunktion............... 366
§ 7. Die trigonometrischen Funktionen ................ 367
§ 8. Potenzen mit beliebigem Exponenten. Kreisbogenzweiecke...... 368
§ 9. Anhang. Raumgeometrische Deutung der linearen Substitutionen . . . 370
Fünftes Kapitel.
Analytische Fortsetzung und Riemannsche Flächen.
§ 1. Allgemeines über analytische Fortsetzung............. 376
§ 2. Das Prinzip der Stetigkeit und das Spiegelungsprinzip........ 379
§ 3. Der Gesamtverlauf der meromorphen Funktionen und ihre Riemannschen
Flächen............................ 383
§ 4. Die algebraischen Funktionen .................. 391
Sechstes Kapitel.
Die konforme Abbildung einfach zusammenhängender schlichter Gebiete.
§ 1. Vorbemerkungen und Hilfssätze ................. 397
§ 2. Beweis des Riemannschen Abbildungssatzes............ 401
§ 3. Der Eindeutigkeitssatz...................... 405
§ 4. Ränderzuordnung bei konformer Abbildung............ 407
§ 5. Die Greensche Funktion und die Randwertaufgabe der Potentialtheorie 412
§ 6. Das alternierende Verfahren. Stetigkeitseigenschaften der Abbildungs¬
funktionen ........................... 414
§ 7. Verzerrungssätze........................ 421
§ 8. Anwendungen des Prinzips vom Maximum............. 427
XII Inhaltsverzeichnis.
Siebentes Kapitel.
Spezielle Abbildungsfunktionen.
§ 1. Die allgemeine Potenzabbildung ................. 431
§ 2. Die Funktionen des geradlinigen Dreiecks.............. 434
§ 3. Abbildung des Rechteckes. Elliptische Funktionen ......... 436
§ 4. Modulfunktionen und automorphe Funktionen........... 439
§ 5. Der Picardsche Satz....................... 445
§ 6. Anderer Beweis des Picardschen Satzes. Die Sätze von Schottkv und
Landau............................ 446
§ 7. Die Abbildungsfunktionen von Kreisbogenpolygonen als Lösungen von
Differentialgleichungen ..................... 448
Achtes Kapitel.
Die Verallgemeinerung des Riemannschen Abbildungssatzes.
Das Dirichletsche Prinzip.
§ 1. Heuristische Betrachtungen................... 454
§ 2. Das Dirichletsche Integral und die Greensche Formel......... 456
§ 3. Das Dirichletsche Prinzip..................... 459
§ 4. Erweiterte Fassung des Problems................. 461
§ 5. Randwertaufgabe und Minimumprinzip für den Kreis........ 464
§ 6. Hilfssätze............................ 467
§ 7. Lösung des Minimumproblems.................. 472
§ 8. Harmonische Funktionen mit gegebenen Singularitäten....... 481
§ 9. Die konforme Abbildung auf Schlitzbereiche............ 484
§ 10. Die eindeutige Bestimmtheit der Schlitzabbildung.......... 496
Neuntes Kapitel.
Weitere Existenztheoreme der Funktionentheorie.
§ 1. Die
Topologie
der kompakten Riemannschen Flächen........ 497
Anhang zu § 1. Die Möglichkeit der kanonischen Zerschneidung . . . .501
§ 2. Abelsche Integrale und meromorphe Funktionen auf einer gegebenen
Riemannschen Fläche...................... 504
§ 3. Die Existenz automorpher Funktionen mit gegebenem Fundamental¬
bereich ............................ 514
§ 4. Die Uniformisierung der algebraischen und meromorphen Funktionen
durch automorphe Funktionen mit Grenzkreis........... 523
§ 5. Die konforme Abbildung schlichtartiger Bereiche auf Kreisbereiche.
Das Rückkehrschnitt-Theorem.................. 531
§ 6. Die Moduln eines schlichtartigen Bereiches............. 539
§ 7. Riemannsche Flächen und Flächen im dreidimensionalen Zahlenraum . 540
§ 8. Historische Angaben zu den letzten Kapiteln............ 548
Anhang.
Einleitende Bemerkungen.......................551
Erstes Kapitel.
Weitere Abbildungstheoreme der Funktionentheorie.
§ 1. Primenden und konforme Abbildung................ 558
§ 2. Randkomponenten und Schlitzabbildung..............567
Inhaltsverzeichnis. XIII
§ 3. Konforme Selbstabbildungen Riemannscher Flächen......... 574
§ 4. Fuchssche Gruppen ...................... 583
§ 5. Moduln von Vierecken und Ringgebieten.............. 604
§ 6. Quasikonforme Abbildungen................... 612
§ 7. Extremale quasikonforme Abbildungen.............. 624
Zweites Kapitel.
Holomorphe und meromorphe Funktionen auf Riemannschen Flächen.
§ 1. Partialbruchzerlegung auf kompakten Riemannschen Flächen..... 637
§ 2. Der Riemann-Rochsche Satz................... 643
§ 3. Die Cauchyschen Integralformeln auf kompakten Riemannschen Flächen 649
§ 4. Holomorphe Vektorraumbündel und C-Prinzipalbündel........ 652
§ 5. Meromorphe Schnitte in holomorphen Geradenbündeln und C-Prinzipal-
bündeln über kompakten Riemannschen Flächen .......... 658
§ 6.
Topologische
Eigenschaften nicht kompakter Riemannscher Flächen . . 666
§ 7. Der Rungesche Approximationssatz................ 672
§ 8. Holomorphe Geradenbündel und C-Prinzipalbündel über nicht kom¬
pakten Riemannschen Flächen.................. 677
§ 9. Automorphe Funktionen..................... 684
Namen- und Sachverzeichnis..................... 697
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