Elementarmathematik in moderner Darstellung:
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1969
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| adam_text | Inhaltsverzeichnis
Übersicht: Die Mathematik vom Standpunkt der Elementarmathematik . . XIII
Allgemeine Symbole.........................XIV
Erster Teil: Fundamentale Strukturen
I.
Begriffe und Symbole der Mengenlehre. Operationen.......... 3
1. Grunddefinitionen......................... 3
2. Äquivalenzrelationen....................... 6
3. Ordnungsrelationen ........................ 8
4. Operationen ........................... 9
П.
Die Zahlen............................ 15
1. Die natürlichen Zahlen ...................... 15
A. Addition 15, B. Ordnungsrelation 16, C. Wohlordnung 18, D. Multiplikation 22, E. Díe
Menge N der natürlichen Zahlen ist archimedisch 25
2. Relative Zahlen. Symmetrisierung .................. 26
A. Isomorphismus zweier Strukturen 27, B. Erweiterung durch Symmetrisierung 27
3. Brüche und rationale Zahlen ................... 34
A. Die Brüche 35, B. Die rationalen Zahlen 37, C. Die Menge
Z
der ganzen Zahlen 38
4. Begriff der reellen Zahlen ..................... 41
A. Einführung der Quadratwurzel 42, B. Vollständigkeitsaxiom 44, C. Eigenschaften der
Menge
R
der reellen Zahlen 46, D. Die Menge
Q
der rationalen Zahlen als Teilmenge der
Menge
R
der reellen Zahlen 48
Ш.
Vektorräume........................... 49
A. Vektoren. Vektoroperationen 49, B. Vektorräume 52, C. Punktraum als Bild eines
Vektorraumes 58
IV.
Abbildungen von Mengen aufeinander, Punkttransformationen, reelle
Funktionen........................... 62
Erster Abschnitt: Der algebraische Standpunkt............. 62
1. Allgemeines über den Begriff der Abbildung............. 62
A. Definitionen 62, B. Die Gruppe der Abbildungen einer Menge auf sich 65
2. Punkttransformationen (Allgemeines)................. 67
A. Terminologie 67, B. Klassifizierung der Punkttransformationen 69, C. Transmutation
einer Punkttransformation durch eine andere Transformation 69
3. Reelle Funktionen einer Variablen (Allgemeines)........... 70
A. Definitionen 70, B. Änderung einer reellen Funktion 73
Zweiter Abschnitt: Der
topologische
Standpunkt............ 75
1. Allgemeines: Umgebungen, Grenzwerte ............... 75
A. Der Begriff der Umgebung 75, B. Stetigkeit und Grenzwert 78
TX
2. Das Verhalten einer reellen Funktion in der Umgebung eines Punktes. . . 79
3. Erweiterung des Stetigkeitsbegriffs: Gleichmäßige Stetigkeit....... 85
A. Grundlegende Sätze 85, B. Anwendungen auf stetige und differenzierbare Funktionen 89,
C. Erweiterung des Grenzwert- und Umgebungsbegriffs 92, D. Anwendungen des Stetig-
keitsbegriffes 94
V.
Einführung in die metrische Geometrie................. 95
1. Definition des euklidischen metrischen Raumes............ 95
A. Einführung einer Metrik 95, B. Anwendung auf den zweidimensionalen Vektorraum 99,
C. Metrische Geometrie im dreidimensionalen Raum 106, D. Orientierung des zwei- und
dreidimensionalen metrischen Raumes 108
2. Vektorprodukte im dreidimensionalen Raum.......,..... 109
A. Skalares Produkt 110, B. Äußeres oder vektorielles Produkt (in der dreidimensionalen
Geometrie)
ИЗ, С.
Die trigonometrische Darstellungsweise 116
3. Winkel.............................. 117
A, Kosinus und Sinus eines geordneten Paares von Einheitsvektoren 117, B. Kongruenz
von Vektorpaaren. Winkel 119
4. Grenzwerte bei trigonometrischen Funktionen. Bogenmaß. Berechnung
von
π
.............................. 122
Α.
Winket und Sehnen 122, B. Grenzwert des Verhältnisses 125, C. Näherungsweise Berech¬
nung der Zahl
π,
126
VI. Boole-
Algebra auf Mengen. Maße. Wahrscheinlichkeiten........ 129
1. Mengenalgebra.......................... 129
2. Maße............................... 135
A. Definitionen 135, B. Das natürliche Maß auf der reellen Geraden 136, C. Maße im zwei¬
dimensionalen Raum 138, D. Maße im dreidimensionalen Raum 144, E. Bogenlängen
und Flächeninhalte gekrümmter Flächen 145
3. Einführung in die Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung .... 147
A. Maße über einer Menge von Ereignissen 147, B. Wahrscheinlichkeiten (für endliche
Mengen) 150, C. Stetige Wahrscheinlichkeiten für unendliche Mengen 154
Zweiter Teil: Arithmetik und Algebra
Erster Abschnitt : Zahlentheorie.................... 157
I.
Die ganzen Zahlen......................... 159
1. Zählverfahren (Kombinatorik) ................... 159
2. Die Euklid-Division........................ 163
3. Teilbarkeit. Kongruenzen von ganzen Zahlen............. 166
4. Vielfache und Teiler. Primzahlen .................. 170
A. Vielfache und Teiler einer ganzen Zahl 170, B. Fundamentalsatz der Zahlentheorie 173,
C. Anwendungen. Gemeinsame Vielfache und Teiler 174
5. Primzahlen............................ 177
6. Zahlensysteme .......................... 179
A. Das Prinzip des Stellenwertsystems 179, B. Praktische Rechenregeln 180,
С
Teilbarkeits¬
gesetze 184
7. Der Euklid-Algorithmus. Verhältnisse von Größen........... 187
A. Der Euklid-Algorithmus in der Menge der ganzen Zahlen 187, B. Der Euklid-Algo¬
rithmus bei Größen 191
X
II.
Brüche. Rationale Zahlen. Dezimalzahlen............... 198
A. Brüche 198, B. Dezimalbrüche 199, C. Der Ring der Dezimalbrüche im Körper der
rationalen Zahlen 201
III.
Reelle Zahlen.......................... 208
1. Die Mächtigkeit von Teilmengen der Menge der reellen Zahlen..... 208
A. Abzählbare Teilmengen 208, B. Die Mächtigkeit des Kontinuums 210, C. Ergänzende
Bemerkung über Kardinalzahlen 213
2. Logarithmen. Verallgemeinerte Exponenten.............. 214
Zweiter Abschnitt: Algebraische Ausdrücke. Die Auflösung von Gleichungen 221
I.
Polynome. Gebrochene rationale Funktionen.............. 221
A. Definition des Polynoms 221,
В
. Zahlenwerte eines Polynoms. Teilbarkeit durch
χ
—
а
227,
С.
Division im Polynomring 232, D. Gebrochene rationale Funktionen in einer Unbe¬
stimmten 241, E. Polynome und gebrochene rationale Funktionen mit mehreren Unbe¬
stimmten 242, F. Anmerkung über die Einführung trigonometrischer Begriffe in algebraische
Probleme 245
II.
Die Auflösung von Gleichungen.................... 249
A. Definitionen 249, B. Äquivalenz von Gleichungen 250, C. Gleichungen und klassiche
Systeme 254
Dritter Teil:
Analysis
I.
Verhalten der reellen Funktionen im Großen.............. 260
A. Wiederholung der Definitionen 260, B. Zusammensetzung (Komposition) in der Menge
der Funktionen 260, C. Die Grundfunktionen 262, D. Zusammengesetzte Funktionen 266,
E. Einführung einer Körper-Struktur 268
II.
Lokales Verhalten der Funktionen.................. 270
A. Wiederholung der Definitionen 270, B. Stetigkeit und Grenzwert 27!, C. Ableitung 274,
D. Erweiterung der Begriffe Grenzwert und Ableitung 281
III.
Vom lokalen zum globalen Verhalten der Funktionen.......... 285
A. Wiederholung der Sätze über stetig differenzierbare Funktionen 285, B. Über das Wachsen
der differenzierbaren Funktionen 286
IV.
Graphen............................. 288
A. Verlauf im Großen 288, B. Verhalten in einem Punkt 289, C. Untersuchung von unend¬
lichen Ästen 294, D. Grundbegriffe der Differentialgeometrie ebener Kurven, Tangente-
Krümmung 298
V.
Anwendungen der allgemeinen Sätze.................. 304
A. Spezielle Funktionen 304, B. Anwendung auf die Lösung von Gleichungen 311
VI.
Integralfunktionen ........................ 316
A. Das unbestimmte Integral einer Funktion 316, B. Geometrische Interpretation der
Integralfunktion 320, C. Logarithmusfunktion und Exponentfunktion 324, D. Differential¬
gleichungen 330, E. Differentiale 336
VII. Die
komplexen Zahlen...................... 340
A. Historische Einführung 340, B. Der Körper der komplexen Zahlen 345, C. Funktionen¬
theorie: Funktionen einer komplexen Variablen 352, D. Hinweise auf Anwendungen 358
XI
Vierter Teil: Die Geometrien
Erster Abschnitt: Affine und
projektive
Geometrie............ 365
I.
Affine Geometrie.......................... 365
1. Die Grundelemente........................ 365
A. Ebene Geometrie (zwei Dimensionen) 365, B. Geometrie im dreidimensionalen Raum
R3 370, C. Die baryzentrische Theorie (Schwerpunktstheorie) 371
2. Affine Punkttransformationen.................... 375
A. Allgemeine affine Transformationen 375, B. Besondere affine Transformationen 377
3. Lineare Transformationen. Grundbegriffe der Matrizenrechnung..... 392
II.
Grundbegriffe der
projektíven
Geometrie................ 403
A. Perspektivität zwischen zwei Ebenen 403, B. Invarianzeigenschaften kollinearer Punkte
407, C.
Projektive
Koordinaten 411, D. Ebene
projektive
Transformationen 413, E. Har¬
monische Teilung. Harmonische Büschel 415, F. Versuch eines direkten axiomatischen
Aufbaus der
projektíven
Geometrie 420
Zweiter Abschnitt: Metrische Geometrien................ 427
I.
Euklidische metrische Geometrie................... 427
1. Metrische Relationen ....................... 427
A. Längenrelationen 427, B. Analytische metrische Geometrie der Ebene 431, C. Metrische
Beziehungen zur Einführung der trigonometrischen Funktionen 433
2. Kreis und Kugel ......................... 436
A. Kreis und Winkel 436, B. Potenz eines Punktes bezüglich eines Kreises 443, C. Kreis¬
scharen 447,
D. Uber
die Zuordnung mittels Polarität 452
3. Punkttransformationen der metrischen Geometrie........... 454
A. Affine Transformation in der metrischen Geometrie 454, B. Eigentliche und uneigent¬
liche Bewegungen 456, C. Die Ähnlichkeit 476
II.
Die Inversion. Elemente der kreistreuen Geometrie........... 482
A. Die Inversion als Transformation der metrischen Geometrie 482, B. Grundbegriffe der
Geometrie der Kreise und Kugeln 492
III.
Grundbegriffe der nichteuklidischen metrischen Geometrien....... 499
A. Vorbemerkungen 499, B. Die Geometrie von Lobatschewski) 506, C. Das Poincare-
Modell für die Geometrie von Lobatschewskij 515, D. Die sphärische Geometrie als Modell
einer Riemann-Geometrie 519
Dritter Abschnitt : Die Kegelschnitte.................. 526
A. Definition am Drehkegel 526, B. Die Kegelschnitte in analytischer Behandlung. Der
Grad 532, C. Affine Eigenschaften der Mittelpunktskegelschnitte 539, D. Die Kegelschnitte
in der
projektíven
Geometrie 541, E. Tangenten an die Kegelschnitte 543
ANHANG ............................. 547
Syntax: die Ordnung der
Quantoren
549, Allgemeines über Mengen 549, Über die Menge
der natürlichen Zahlen 553, Über Quadratwurzeln 555, Beispiel einer endlichen Gruppe 557,
Beispiele von Ringen 558, Polynome und Polynomfunktionen 560, Der Begriff der Kon¬
vexität einer Teilmenge 562, Systeme numerischer Ungleichungen: Lineare Programmie¬
rung 564, Mengen, die von einem Parameter abhängen 565, Übungen zur affinen und
pro¬
jektíven
Geometrìe
567, Bemerkungen über den Begriff der Umkehrung (des Kehrsatzes)
568, Anmerkung über die Lösung von Problemen 570, Wiederholung der Kinematik und
Übungen dazu 574, Mathematische Prinzipien der Zweitafelprojektion 577
Sachregister............................. 579
XII
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