Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen:
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Springer-Verlag
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Inhaltsverzeichnis.
Seite
Einleitung.
ι
Erster Teil.
Reelle Zahlen und Zahlenfolgen.
I.
Kapitel.
Grundsätzliches aus der Lehre von den reellen Zahlen.
§ i. Das System der rationalen Zahlen und seine Lücken. 3
§ 2. Rationale Zahlenfolgen. 14
§ 3. Die irrationalen Zahlen. 24
§ 4. Vollständigkeit und Einzigkeit des Systems der reellen Zahlen . 34
§ 5. Die Systembrüche und der DEDEKiNDsche Schnitt. 38
Aufgaben zum I.Kapitel (1—8). . . ,. 43
II.
Kapitel.
Reelle Zahlenfolgen.
§ 6. Beliebige reelle Zahlenfolgen und Nullfolgen. 44
§ 7. Potenz, Wurzel und Logarithmus. Spezielle Nullfolgen. 49
§ 8. Konvergente Zahlenfolgen. Der CAUCHYsche Grenzwertsatz und seine
Verallgemeinerungen. 64
§ 9. Die beiden Hauptkriterien. 79
§ 10. Häufungswerte und Häufungsgrenzen. 90
§ 11. Unendliche Reihen, Produkte und Kettenbrüche. 100
Aufgaben zum
II.
Kapitel (9—33). 108
Zweiter Teil.
Grundlagen der Theorie der unendlichen Reihen.
III.
Kapitel.
Reihen mit positiven Gliedern.
§ 12. Das erste Hauptkriterium und die beiden Vergleichskriterien . . . . 112
§ 13. Das Wurzel- und das Quotientenkriterium. 118
§ 14. Reihen mit positiven monoton abnehmenden Gliedern. 121
Aufgaben zum
III.
Kapitel (34—44). 126
IV.
Kapitel.
Reihen mit beliebigen Gliedern.
§ 15. Das zweite Hauptkriterium und das Rechnen mit konvergenten Reihen 127
§ 16. Absolute Konvergenz. Umordnung von Reihen. 137
§ 17. Multiplikation unendlicher Reihen. 146
Aufgaben zum
IV.
Kapitel (45—63). 149
χ
Inhaltsverzeichnis.
V.
Kapitel.
Potenzreihen.
§ 18. Der Konvergenzradius.151
§ 19. Funktionen einer reellen Veränderlichen.158
§ 20. Haupteigenschaften der durch Potenzreihen dargestellten Funktionen 172
§ 21. Das Rechnen mit Potenzreihen.181
Aufgaben zum
V.
Kapitel (64—73).191
VI.
Kapitel.
Die Entwicklungen der sog. elementaren Funktionen.
§ 22. Die rationalen Funktionen. 192
§ 23. Die Exponentialfunktion. 194
§ 24. Die trigonometrischen Funktionen. 202
§ 25. Die binomische Reihe. 213
§ 26. Die logarithmische Reihe. 217
§ 27. Die zyklometrischen Funktionen. 219
Aufgaben zum
VI.
Kapitel (74—84). 221
VII.
Kapitel.
Unendliche Produkte.
§ 28. Produkte mit positiven Gliedern.224
§ 29. Produkte mit beliebigen Gliedern. Absolute Konvergenz.228
§ 30. Zusammenhang zwischen Reihen und Produkten. Bedingte und un¬
bedingte Konvergenz.233
Aufgaben zum
VII.
Kapitel (85—99).235
VIII. Kapitel.
Geschlossene und numerische Auswertung der Reihensumme.
§ 3T. Problemstellung. 237
§ 3z. Geschlossene Auswertung der Reihensumme. 240
§ 33. Reihentransformationen. 249
§ 34. Numerische Berechnungen. 256
§ 35. Anwendung der Reihentransformationen bei numerischen Berech¬
nungen. 269
Aufgaben zum VIII. Kapitel (100—132). 276
Dritter Teil.
Ausbau der Theorie.
IX.
Kapitel.
Reihen mit positiven Gliedern.
§ 36. Genauere Untersuchung der beiden Vergleichskriterien.283
§ 37. Die logarithmischen Vergleichsskalen.287
§ 38. Spezielle Vergleichskriterien
II.
Art.293
§ 39. Die Sätze von Abel,
Dini
und Pringsheim und neue Herleitung der
logarithmischen Vergleichsskalen aus ihnen.299
§ 40. Reihen mit positiven monoton abnehmenden Gliedern.303
§ 41. Allgemeine Bemerkungen zur Konvergenztheorie der Reihen mit
positiven Gliedern.307
§ 42. Systematisierung der allgemeinen Konvergenztheorie.314
Aufgaben zum
IX.
Kapitel {133—141).320
Inhaltsverzeichnis.
XI
X.
Kapitel.
Reihen mit beliebigen Gliedern. Seite
§ 43. Konvergenzkriterien für Reihen mit beliebigen Gliedern.322
§ 44. Umordnung nur bedingt konvergenter Reihen.327
§ 45. Multiplikation nur bedingt konvergenter Reihen.330
Aufgaben zum
X.
Kapitel (142—153).334
XI.
Kapitel.
Reihen mit veränderlichen Gliedern (Funktionenfolgen).
§ 46. Gleichmäßige Konvergenz. 336
§ 47. Gliedweise Grenzübergänge. 348
§ 48. Kriterien für gleichmaßige Konvergenz. 355
§ 49. Fouriersche Reihen. 360
A. Die Eulerschen Formeln. 360
B. Das Dirichletsche Integral. 367
C. Konvergenzbedingungen. 376
§ 50. Anwendungen der Theorie der FouKiEKschen Reihen. 384
§51. Produkte mit veränderlichen Gliedern. 393
Aufgaben zum
XI.
Kapitel (154—173).398
XII. Kapitel.
Reihen mit komplexen Gliedern.
§ 52. Komplexe Zahlen und Zahlenfolgen. 401
§ 53. Reihen mit komplexen Gliedern. 409
§ 54. Potenzreihen. Analytische Funktionen. 415
§ 55. Die elementaren analytischen Funktionen. 424
I.
Die rationalen Funktionen. 424
II.
Die Exponentialfunktion. 425
III.
cos
ζ
und sin
ζ
. 428
IV.
ctg
г
und
tg
ζ
. 431
V.
Die logarithmische Reihe. 433
VI.
Die
arc sin-Reihe
. 435
VII. Die
arctg-Reihe. 436
VIII. Die Binomialreihe. 437
§ 56. Reihen mit veränderlichen Gliedern. Gleichmäßige Konvergenz.
WEiERSTRASSscher Doppelreihensatz. 442
§ 57. Produkte mit komplexen Gliedern. 448
§ 58. Spezielle Klassen von Reihen analytischer Funktionen. 456
A. DiRiCHLETsche Reihen. 456
B. Fakultätenreihen. 462
С
LAMBERTsche Reihen. 464
Aufgaben zum XII. Kapitel (174—199).468
XIII. Kapitel.
Divergente Reihen.
§ 59. Allgemeine Bemerkungen über divergente Zahlenfolgen und die Ver¬
fahren zu ihrer Limitierung.473
§ 60. Das C- und H-Verfahren.495
§ 61. Anwendung der C^-Summierung auf die Theorie der FouRiERschen
Reihen.510
§
Ь2.
Das .¿-Verfahren.516
§ 63. Das JE-Verfahren.525
Aufgaben zum XIII. Kapitel {200—216).534
XI
J Tnhaltsverzeichnis.
XIV. Kapitel.
Die EuLERSche Summenformel. Asymptotische
Entwi ckl
ungen
. Se
і
te
§ 64. Die EuLERsche Summenformel. 536
A. Die Summenformcl. 536
B. Anwendungen. 544
C. Restabschätzungen. 550
§ 65. Asymptotische Reihen. 554
§ 66. Spezielle asymptotische Entwicklungen. 561
A. Beispiele zum Entwicklungsproblem. 561
B. Beispiele für das Summierungsproblem. 567
Aufgaben zum XIV. Kapitel (217^-225). 572
Literatur. 575
Namen- und Sachverzeichnis. 576 |
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THWS Schweinfurt Magazin
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