Konstruktive Galoistheorie:
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Berlin [u.a.]
Springer
1987
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Inhaltsverzeichnis
Seite
0. DAS UMKfchKPROBLEM DER GALOISTHEORIE 1
1. Auflösbare Körper und Einbettungsprobleme 1
2. Der hilbertsche Irreduzibilitätssatz und aas Noether
sche Problem 3
3. Folgerungen aus aem Riemannschen Existenzsatz 5
1. FUNDAMENTALGRUPPEN 9
§ 1 Fundamentalgruppen topologischer Räume 1O
1. Definition der Fundamentalgruppe 1O
2. Überlagerungen topologischer Räume 12
3. Das Geschlecht topologischer Flächen 13
4. Fundamentalgruppen topologischer Flächen 15
§ 2 Funaamentalgruppen kompakter Riemannscher Flächen 16
1 . Riemannsche Flächen und meromorphe Funktionen 16
2. Überlagerungen kompakter Riemannscher Flächen 18
3. Das Geschlecht verzweigter Riemannscher Überlagerungs¬
flächen 20
§ 3 Abstrakte Riemannsche Flächen 22
1 . Definition der abstrakten Riemannschen Fläche 22
2. Das Geschlecht abstrakter Riemannscher Flächen 23
3. Überlagerungen abstrakter Riemannscher Flächen 25
4. Konstantenerweiterung 28
5. Körper vom Geschlecht 0 und 1 29
§ 4 Algebraische Fundamentalgruppen 31
1. Algebraische Fundamentalgruppen über C 31
2. Trägheitsgruppen der algebraischen Fundamentalgrup¬
pen 33
3. Algebraische Fundamentalgruppen über algebraisch abge¬
schlossenen Konstantenkörpern der Charakteristik 0 36
§ 5 Arithmetisehe Fundamentalgruppen 40
1. Die Struktur arithmetischer Fundamentalgruppen 40
2. Ein vorläufiges Rationalitätskriterium 43
3. Die Operation auf der Kommutatorfaktorgruppe 46
4. Eigentliche Definitionskörper abelscher Körpererweite¬
rungen 49
§ 6 Darstellungen der Fundamentalgruppe von C 50
1. Ein Satz von Belyi 50
2. Darstellungen von A in 2* 52
3. Darstellungen von A in Out(S ) für r 1 53
II. KLASSENZAHLEN VON ERZEUGENDENSYSTEMEN 57
§ 1 Definitionskörper von Galoiserweiterungen 58
1, Hurwitzklassifikation 58
2. Verzweigungsstrukturen 60
3. Eine Gradabschätzung für Öefinitionskörper 63
4, Eine Charakterisierung der Modulfunktionen p ter Stufe 66
§ 2 Eigentliche Definitionskörper von Galoiserweiterungen 69
1. Die galoissche Hülle von N/K 69
2. Ein Kriterium für eigentliche Definitionskörper 72
3. Anwendung des Kriteriums auf die galoissche Hülle von
W/K 75
4. Eine Gradabschätzung für eigentliche Definitionskörper 77
§ 3 Trinomische Polynome 81
1. Polynome mit der Galoisgruppe S^ 81
2. Polynome mit der Galoisgruppe A 85
3. Polynome mit Frobeniusgruppen vom Grad 5 als Galois
yruppen 88
4. Weitere Resultate über trinomische Polynome 94
§ 4 Einheitswurzeln 96
1. Der Einheitswurzelindex 96
2. Das 1. Rationalitätskriterium 100
3. Ein Kriterium für eigentliche Definitionskörper über
Kreisteilungskörpern 103
ö ü Das Kriterium von Belyi 1O6
1. Die Bedingung von Belyi 106
2. Anwendung auf die Gruppen GL (tF ) 108
3. Realisierung linearer Gruppen als Galoisgruppen
über Kreisteilungskörpern 11O
4. Weitere Resultate über klassische einfache Gruppen 112
S 6 Strukturkonstanten 114
1. Normalisierte Strukturkonstanten 114
2. Die Mathieugruppe M. 117
3. Die Mathieugruppe M. und ihre Automorphismengruppe 118
4. Der freundliche Riese F 121
5. Weitere Resultate über sporadische einfache Gruppen 124
A. Zerlegung von Primdivisoren in Galoiserweiterungen 125
1. Beschreibung durch die Zerlegungs und Trägheits¬
gruppen 125
2, Ein Satz von Dedekind 127
III. TOPOLOGISCHE AUTOMORPHISMEN 131
ä 1 Topologische Automorphismen auf den Fundamentalgruppen 133
1. Zulässige topologische Automorphismen 133
2. Operation auf der algebraischen Fundamentalgruppe 135
3. Die endlichen Automorphismengruppen rationaler
Funktionenkörper 139
4. Explizite Formeln für g = 0, s = 3 141
5. Explizite Formeln für g = O, s = 4 143
§ 2 Operation der topologischen Automorphismen auf den Er
zeugenäensystemklassen 149
1. Die Operation der topologischen Automorphisiuen auf
den Klassenstrukturen 149
2. Klassenzahlen symmetrisierter Klassen und Verzwei¬
gungsstrukturen 151
3. Fixgruppen von Erzeugendensystemklassen 154
4. Spiegelungssätze für Erzeugendensystemklassen mit
nichttrivialer Fixgruppe 156
§ 3 Minimale Definitionskörper Von Galoiserweiterungen 161
1. Fixkörper von Erzeugendensystemklassen 161
2, Minimale Definitionskörper 163
3, Minimale eigentliche Definitionskörper 166
4. Das 2. Rationalitätskriterium 168
§ 4 Realisierung der Gruppen PSL., (F ) als Galoisgruppen 174
1. Erzeugendensysteme der Gruppen SL2 (F ) für q = 1 mod 2 174
2. Realisierung der Gruppen PSL2(F ) als Galoisgruppen
für q ¦ 1 mod 2 177
3. Realisierung der Gruppen SL2(F ) als Galoisgruppen
für q = 2f 181
4. Weitere Resultate über klassische einfache Gruppen 182
§ b Polynome mit den Galoisgruppen PSL ^F.) und SL.,(F,,)
über $ 184
1. Konstruktion eines Polynoms mit der Galoisgruppe
PSL2(F7) über 0(t) 184
2. Konstruktion eines Polynoms mit der Galoisgruppe
IL2(Fß) über ß(u) 189
3. Konstruktion eines Polynoms mit der Galoisgruppe
SL2(Fg) über fi(t) 193
4. Polynome mit den Galoisgruppen PSL.fF.) und PSL2(F1_)
über C(t) 196
§ 6 Realisierung der Gruppen M. und M.^, als Galoisgruppen
über 0 198
1. Der Existenzbeweis 198
2. Konstruktion eines Polynoms mit der Galoisgruppe M.»
über C(t) 200
3. Konstruktion eines Polynoms mit der Galoisgruppe M.
über C(x) 203
4. Polynome mit den Galoisgruppen M 2 und M.^ über Q 204
5. Weitere Resultate über sporadische einfache Gruppen 205
A. Ein Verfahren zur Bestimmung der Galoisgruppe 207
1. Ein invariantentheoretisches Kriterium 207
2. Primitive Invarianten für Permutationsgruppen vom
Grad m . 5 209
3. Polynome mit den Gruppen PSLn (F_) und SL~((FO) über Q 211
IV, EINBETTUNGSPROBLEME ÜBER HILBERTKÜRPERN 215
ä 1 Der Hilbertsche Irreduzibilitätssatz 217
1. Die Aussage des Hilbertschen Irreduzibilitätssatzes 217
2. Die klassischen Hilbertkörper 218
3. Unendliche Galoiserweiterungen von Hilbertkörpern 218
4. Verhalten der Galoisgruppe bei Spezialisierung 219
§ 2 Realisierung abelscher Gruppen als Galoisgruppen 222
1 . G Realisierungen abelscher Gruppen 222
2. Einbettung in direkte Produkte 225
§ 3 Einbettungsprobleme mit abelschem Kern 227
1. Einbettung in Kranzprodukte 227
2. Zerfallende Einbettungsprobleme mit abelschem Kern 229
3. Der Einbettungssatz von Iwasawa 231
§ 4 GAR Realisierungen anabel3Cher Gruppen 234
1. Der Begriff einer GAR Realisierung 234
2. Kriterien für die Rationalitätsbedingung 236
3. GAR Realisierungen für einige einfache Gruppen 239
4. Weitere Resultate über GAR Realisierungen einfacher
Gruppen 240
§ 5 Einbettungsprobleme mit anabelschem Kern 241
1. GA Realisierungen charakteristisch einfacher anabel
scher Gruppen 241
2. Der Einbettungssatz für charakteristisch einfachen
anabeIschen Kern 242
3. Hauptreihen 245
§ 6 Zentrale Einbettungsprobleme 247
1. Der Einbettungssatz von Serre 247
2. Die Darstellungsgruppen von A 249
3. Die Darstellungsgruppe von M, _ 254
A. Der Satz von Weissauer 259
T. TABELLENANHANG 263
1. Die Gruppe PSL2(F?) 263
2. Die Gruppe SL2(Fß) 264
3. Die Gruppe M. 1 265
4. Die Gruppe M^2 266
Literaturverzeichnis 269
Namensverzeichnis 278
Sachverzeichnis 282 |
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