Mathematische Probleme der statistischen Hydromechanik:
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| Language: | German |
| Published: |
Leipzig
Akademische Verlagsgesellschaft
1986
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| Edition: | 1. Auflage |
| Series: | Mathematik und ihre Anwendungen in Physik und Technik
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| Item Description: | Aus dem Russischen übersetzt |
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|---|---|
| adam_text | Inhalt
Einleitung 10
1. Funktionalanalytische Entwicklungen der Lösungen von
Evolutionsgleichungen 18
1.1. Analytische Operatoren 18
1.2. Funktionenräume 24
1.3. Funktionalanalytische Entwicklungen der Lösungen
abstrakter Evolutionsgleichungen. 29
1.4. Das System der Navier-Stokes-Gleichungen 38
1.5. Zur Endlichkeit des Konvergenzradius funktional¬
analytischer Entwicklungen 42
1.6. Funktionalanalytische Entwicklungen der Lösungen in
einer Umgebung der ebenparallelen Couette-Strömung 47
1.7. Funktionalanalytische Entwicklungen allgemeiner
parabolischer Gleichungen 49
1.8. Ausnahmen von funktionalanalytischer Abhängigkeit 51
2. Grundbegriffe der Maßtheorie 57
2.1. Grundlegende Definitionen und Sätze 57
2.2. Boreische tf-Algebren, meßbare Abbildungen 60
2.3. Maße auf Funktionenräumen 65
3. Momententheorie für den Fall kleiner Reynolds zahlen 70
. 3.1. Formulierung der Ergebnisse an der Modell¬
gleichung (1-3.1) 70
3.2. Obergang zu einer abstrakten Evolutionsgleichung 76
3.3. Momente von Maßen, die auf Funktionenräumen erklärt sind. . . 81
3.4. Statistische Lösungen einer Evolutionsgleichung und
deren Momente 84
3.5. Die unendliche Kette der Momentengleichungen, die Lösbar¬
keit des Cauchy-Problems für diese Gleichungskette 89
3.6. Das Cauchy-Problem für eine lineare Evolutionsgleichung
in Tensorprodukten von Hilberträumen 92
6 Inhalt
3.7. Entwicklung der Momente der statistischen Lösung in eine .
Reihe nach den Momenten des Anfangsmaßes 96
3.8. Das Abschlußproblem für den Fall kleiner Reynoldszahlen . . .101
3.9. Tensorprodukte von Sobolevräumen 105
3.10. Oberführung der Navier-Stokes-Gleichungen in eine abstrakte
Problemstellung, Lösbarkeit der Kette der Momentengleichun¬
gen, Reihenentwicklung der Momente 108
4. Raum-zeitliche statistische Lösungen der Navier-Stokes-
Gleichungen bei beliebigen Reynoldszahlen 111
4.1. Raum-zeitliche statistische Lösungen einer abstrakten
Evolutionsgleichung 111
4.2. Oberführung der Navier-Stokes-Gleichungen in eine
abstrakte Evolutionsgleichung 116
4.3. Galerkin-Näherungen für die statistische Lösung 119
4.4. Schwache Kompaktheit der Galerkin-Näherungen der
statistischen Lösung 122
4.5. Grenzübergang 125
4.6. Eindeutigkeitssatz für die statistischen Lösungen 132
5. Hopfsehe Gleichung 135
5.1. Hopfsehe Gleichung, Lösbarkeit des Cauchy-Problems 136
5.2. Eindeutigkeitssätze für die Lösungen der Hopfsehen
Gleichung 140
5.3. Mehrzeitige statistische Lösungen 152
5.4. Konstruktion einer räum-zeitlichen statistischen
Lösung aus einer Familie kompatibler mehrzeitiger
statistischer Lösungen .157
5.5. Eindeutigkeitssatz für die mehrzeitige Hopfsehe Gleichung. . .166
6. Momententheorie bei beliebigen Reynoldszahlen 168
6.1. Die Momente der raum-zeitlichen statistischen Lösung 168
6.2. Lösbarkeit des Cauchy-Problems für die Kette der
Momentengleichungen 173
6.3. Ober die näherungsweise Lösung der Kette der Momenten¬
gleichungen, Eindeutigkeitssätze 181
6.4. Asymptotische Entwicklung der Momente der statistischen
Lösung 184
Inhalt 7
6.5.- Konstruktion einer der Bedingung 4.1 genügenden Familie
statistischer Lösungen 189
6.6. Die Kette der Momentengleichungen für die Navier-Stokes-
Gleichungen bei beliebiger Dimension 195.
7. Homogene raum-zeitliche statistische Lösungen des Systems
der Navier-Stokes-Gleichungen 202
7.1. Homogene Maße auf Funktionenräumen 202
7.2. Galerkin-Näherungen der statistischen Lösung 211
7.3. Abschätzung der Zeitableitung 217
7.4. Ein Einbettungssatz 227
7.5. Einige Folgerungen aus dem Einbettungssatz 231
7.6. Schwache Kompaktheit der Galerkin-Näherungen für die
statistische Lösung 233
7.7. Die statistische Lösung ist auf den Lösungen der Navier-
Stokes-Gleichungen konzentriert 234
7.8. Zur Glattheit der Lösungsfunktion bezüglich t 237
7.9. Energetische Abschätzungen 241
7.10. Der Anfangswert der statistischen Lösung 244
7.11. Definition der raum-zeitlichen translationshomogenen
statistischen Lösung 248
8.. Individuelle Lösungen der Navier-Stokes-Gleichungen
mit unbeschränkter Energie und andere Fragen 250
8.1. Zur Lösbarkeit des Cauchv-Problems für das System
der Navier-Stokes-Gleichungen bei Anfangsbedingungen
mit unbeschränkter Energie 250
8.2. Lösbarkeit des Cauchy-«Problems bei quasiperiodischen
Anfangsbedingungen, die Methode der statistischen Ein¬
führung von Parametern 252
8.3. Zu einer von A. N. Kolmogorov aufgeworfenen Frage 254 .
8.4. Das Cauchy-Problem für die Hopfsehe Gleichung in der
Klasse der translationshomogenen räumlichen statisti¬
schen Lösungen 259
8.5. Die Methode der Einführung eines kleinen Parameters zur
Konstruktion einer homogenen statistischen Lösung für
ein nichtlineares parabolisches Gleichungssystem 262
8 Inhalt
9. Analytische erste Integrale und asymptotisches Verhalten
der Fourierkoeffizienten der Lösungen der zweidimensionalen
Navier-Stokes-Gleichungen bei t-»-oo 266
¦9.1. Problemstellung und Hauptsatz über das asymptotische
Verhalten der Fourierkoeffizienten bei t-»- co 266
9.2. Analytische erste Integrale 271
9.3. Eindeutige Lösbarkeit des Cauchy-Problems für die Glei¬
chung der ersten Integrale 274
9.4. Erste Integrale und Charakteristiken 280
9.5. Eine Abschätzung für die Fourierkoeffizienten der
Lösungen der Navier-Stokes-Gleichungen bei t-»- °o 286
9.6. Asymptotik der Fourierkoeffizienten der Lösungen der
zweidimensionalen Navier-Stokes-Gleichungen bei t-»-eo . . . .294
9.7. Ober die Asymptotik der Fourierkoeffizienten der Momente
der statistischen Lösung bei t-»-°° 300
10. Einige Probleme, die mit der funktionalanalytischen
Abhängigkeit der Lösungen von den Anfangsbedingungen
und rechten Seiten zusammenhängen 302
10.1. Funktionenräume 302
10.2. Lösbarkeit nichtlinearer elliptischer Gleichungen
A
in den Räumen VK 306
10.3. Instationäre nichtlineare parabolische Gleichungen 311
10.4. Beweis des Satzes über die funktionalanalytische Entwick¬
lung der Lösung in einer Umgebung der Couette-Strömung. . . .314
Anhang 1. Vollständige und teilweise Integrierbarkeit von quasi¬
linearen Gleichungen erster Ordnung und quasilinearen
Gleichungssystemen (A. V. Fursikov) 319
A1.1. Problemstellung und Formulierung der Ergebnisse 319
A1.2. Herleitung der Formeln bei einer Gleichung 321
A1.3. Einige Hilfssätze 324
A1.4. Erste Integrale und Integrabilitätsbedingungen für quasi¬
lineare Gleichungssysteme 326
AI.5. Beispiele integrierbarer Systeme 330
Inhalt 9
Anhang 2. In x homogene Lösungen der stochastischen Navier-
Stokes-Gleichungen mit weißem Rauschen (M. I. Visik,
A. I. Komec) 338
A2.1. Der Raum der Funktionen beschränkter Variation vom
Grad p und ihre Eigenschaften 340
A2.2. Problemstellung und Formulierung der Ergebnisse 346
kl. S. Ober Korrelationsfunktionen homogener Maße 356
A2.4. Periodische Approximationen homogener Maße 361
A2.5. Periodische Approximationen in x homogener Wiener¬
scher Maße 376
A2.6. Periodische endlichdimensionale Approximationen des
stochastischen Cauchy-Problems (1), (2) 385
A2.7. Kompaktheit der Familie der periodischen Approxi¬
mationen . . .391
A2.8. Grenzübergang 394
A2.9. Stationäre Lösungen der stochastischen Navier-Stokes-
Gleichungen; zu einer von A. N. Kolmogorov aufge¬
worfenen Frage 398
Kommentare 415
Literatur 419
Register 427
Inhalt
Einleitung 10
1. Funktionalanalytische Entwicklungen der Lösungen von
Evolutionsgleichungen 18
1.1. Analytische Operatoren 18
1.2. Funktionenräume 24
1.3. Funktionalanalytische Entwicklungen der Lösungen
abstrakter Evolutionsgleichungen. 29
1.4. Das System der Navier Stokes Gleichungen 38
1.5. Zur Endlichkeit des Konvergenzradius funktional¬
analytischer Entwicklungen 42
1.6. Funktionalanalytische Entwicklungen der Lösungen in
einer Umgebung der ebenparallelen Couette Strömung 47
1.7. Funktionalanalytische Entwicklungen allgemeiner
parabolischer Gleichungen 49
1.8. Ausnahmen von funktionalanalytischer Abhängigkeit 51
2. Grundbegriffe der Maßtheorie 57
2.1. Grundlegende Definitionen und Sätze 57
2.2. Boreische tf Algebren, meßbare Abbildungen 60
2.3. Maße auf Funktionenräumen 65
3. Momententheorie für den Fall kleiner Reynolds zahlen 70
. 3.1. Formulierung der Ergebnisse an der Modell¬
gleichung (1 3.1) 70
3.2. Obergang zu einer abstrakten Evolutionsgleichung 76
3.3. Momente von Maßen, die auf Funktionenräumen erklärt sind. . . 81
3.4. Statistische Lösungen einer Evolutionsgleichung und
deren Momente 84
3.5. Die unendliche Kette der Momentengleichungen, die Lösbar¬
keit des Cauchy Problems für diese Gleichungskette 89
3.6. Das Cauchy Problem für eine lineare Evolutionsgleichung
in Tensorprodukten von Hilberträumen 92
6 Inhalt
3.7. Entwicklung der Momente der statistischen Lösung in eine .
Reihe nach den Momenten des Anfangsmaßes 96
3.8. Das Abschlußproblem für den Fall kleiner Reynoldszahlen . . .101
3.9. Tensorprodukte von Sobolevräumen 105
3.10. Oberführung der Navier Stokes Gleichungen in eine abstrakte
Problemstellung, Lösbarkeit der Kette der Momentengleichun¬
gen, Reihenentwicklung der Momente 108
4. Raum zeitliche statistische Lösungen der Navier Stokes
Gleichungen bei beliebigen Reynoldszahlen 111
4.1. Raum zeitliche statistische Lösungen einer abstrakten
Evolutionsgleichung 111
4.2. Oberführung der Navier Stokes Gleichungen in eine
abstrakte Evolutionsgleichung 116
4.3. Galerkin Näherungen für die statistische Lösung 119
4.4. Schwache Kompaktheit der Galerkin Näherungen der
statistischen Lösung 122
4.5. Grenzübergang 125
4.6. Eindeutigkeitssatz für die statistischen Lösungen 132
5. Hopfsehe Gleichung 135
5.1. Hopfsehe Gleichung, Lösbarkeit des Cauchy Problems 136
5.2. Eindeutigkeitssätze für die Lösungen der Hopfsehen
Gleichung 140
5.3. Mehrzeitige statistische Lösungen 152
5.4. Konstruktion einer räum zeitlichen statistischen
Lösung aus einer Familie kompatibler mehrzeitiger
statistischer Lösungen .157
5.5. Eindeutigkeitssatz für die mehrzeitige Hopfsehe Gleichung. . .166
6. Momententheorie bei beliebigen Reynoldszahlen 168
6.1. Die Momente der raum zeitlichen statistischen Lösung 168
6.2. Lösbarkeit des Cauchy Problems für die Kette der
Momentengleichungen 173
6.3. Ober die näherungsweise Lösung der Kette der Momenten¬
gleichungen, Eindeutigkeitssätze 181
6.4. Asymptotische Entwicklung der Momente der statistischen
Lösung 184
Inhalt 7
6.5. Konstruktion einer der Bedingung 4.1 genügenden Familie
statistischer Lösungen 189
6.6. Die Kette der Momentengleichungen für die Navier Stokes
Gleichungen bei beliebiger Dimension 195.
7. Homogene raum zeitliche statistische Lösungen des Systems
der Navier Stokes Gleichungen 202
7.1. Homogene Maße auf Funktionenräumen 202
7.2. Galerkin Näherungen der statistischen Lösung 211
7.3. Abschätzung der Zeitableitung 217
7.4. Ein Einbettungssatz 227
7.5. Einige Folgerungen aus dem Einbettungssatz 231
7.6. Schwache Kompaktheit der Galerkin Näherungen für die
statistische Lösung 233
7.7. Die statistische Lösung ist auf den Lösungen der Navier
Stokes Gleichungen konzentriert 234
7.8. Zur Glattheit der Lösungsfunktion bezüglich t 237
7.9. Energetische Abschätzungen 241
7.10. Der Anfangswert der statistischen Lösung 244
7.11. Definition der raum zeitlichen translationshomogenen
statistischen Lösung 248
8.. Individuelle Lösungen der Navier Stokes Gleichungen
mit unbeschränkter Energie und andere Fragen 250
8.1. Zur Lösbarkeit des Cauchv Problems für das System
der Navier Stokes Gleichungen bei Anfangsbedingungen
mit unbeschränkter Energie 250
8.2. Lösbarkeit des Cauchy «Problems bei quasiperiodischen
Anfangsbedingungen, die Methode der statistischen Ein¬
führung von Parametern 252
8.3. Zu einer von A. N. Kolmogorov aufgeworfenen Frage 254 .
8.4. Das Cauchy Problem für die Hopfsehe Gleichung in der
Klasse der translationshomogenen räumlichen statisti¬
schen Lösungen 259
8.5. Die Methode der Einführung eines kleinen Parameters zur
Konstruktion einer homogenen statistischen Lösung für
ein nichtlineares parabolisches Gleichungssystem 262
8 Inhalt
9. Analytische erste Integrale und asymptotisches Verhalten
der Fourierkoeffizienten der Lösungen der zweidimensionalen
Navier Stokes Gleichungen bei t » oo 266
¦9.1. Problemstellung und Hauptsatz über das asymptotische
Verhalten der Fourierkoeffizienten bei t » co 266
9.2. Analytische erste Integrale 271
9.3. Eindeutige Lösbarkeit des Cauchy Problems für die Glei¬
chung der ersten Integrale 274
9.4. Erste Integrale und Charakteristiken 280
9.5. Eine Abschätzung für die Fourierkoeffizienten der
Lösungen der Navier Stokes Gleichungen bei t » °o 286
9.6. Asymptotik der Fourierkoeffizienten der Lösungen der
zweidimensionalen Navier Stokes Gleichungen bei t » eo . . . .294
9.7. Ober die Asymptotik der Fourierkoeffizienten der Momente
der statistischen Lösung bei t » °° 300
10. Einige Probleme, die mit der funktionalanalytischen
Abhängigkeit der Lösungen von den Anfangsbedingungen
und rechten Seiten zusammenhängen 302
10.1. Funktionenräume 302
10.2. Lösbarkeit nichtlinearer elliptischer Gleichungen
A
in den Räumen VK 306
10.3. Instationäre nichtlineare parabolische Gleichungen 311
10.4. Beweis des Satzes über die funktionalanalytische Entwick¬
lung der Lösung in einer Umgebung der Couette Strömung. . . .314
Anhang 1. Vollständige und teilweise Integrierbarkeit von quasi¬
linearen Gleichungen erster Ordnung und quasilinearen
Gleichungssystemen (A. V. Fursikov) 319
A1.1. Problemstellung und Formulierung der Ergebnisse 319
A1.2. Herleitung der Formeln bei einer Gleichung 321
A1.3. Einige Hilfssätze 324
A1.4. Erste Integrale und Integrabilitätsbedingungen für quasi¬
lineare Gleichungssysteme 326
AI.5. Beispiele integrierbarer Systeme 330
Inhalt 9
Anhang 2. In x homogene Lösungen der stochastischen Navier
Stokes Gleichungen mit weißem Rauschen (M. I. Visik,
A. I. Komec) 338
A2.1. Der Raum der Funktionen beschränkter Variation vom
Grad p und ihre Eigenschaften 340
A2.2. Problemstellung und Formulierung der Ergebnisse 346
kl. S. Ober Korrelationsfunktionen homogener Maße 356
A2.4. Periodische Approximationen homogener Maße 361
A2.5. Periodische Approximationen in x homogener Wiener¬
scher Maße 376
A2.6. Periodische endlichdimensionale Approximationen des
stochastischen Cauchy Problems (1), (2) 385
A2.7. Kompaktheit der Familie der periodischen Approxi¬
mationen . . .391
A2.8. Grenzübergang 394
A2.9. Stationäre Lösungen der stochastischen Navier Stokes
Gleichungen; zu einer von A. N. Kolmogorov aufge¬
worfenen Frage 398
Kommentare 415
Literatur 419
Register 427
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| author | Višik, Marko I. 1921-2012 Fursikov, Andrej V. |
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