Einführung in die höhere Mathematik: mit besonderer Berücksichtigung ihrer Anwendungen auf Geometrie, Physik, Naturwissenschaften und Technik 4 Grundzüge der linearen Algebra, Differential- und Integralgleichung der Funktionen von mehreren Veränderlichen
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Oldenbourg
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Vorwort XIII
VIERTER ABSCHNITT
Grundzüge der linearen Algebra
A. Vektorrechnung des dreidimensionalen Raumes
1. Vektoren und Parallelkoordinaten des dreidimensionalen
Raumes. Linearer Raum 3
2. Lineare Vektorräume 9?*1 der Dimensionen k = 1,2, 3 11
3. Das Außenprodukt [al5 a2, a3] dreier Vektoren des R3 16
4. Berechnung des Außenprodukts [ih, a2, a3] als Determinante
dritter Ordnung A = aik 22
5. Determinantenregeln 27
6. Das Außenprodukt dreier Vektoren als Spatvolumen 29
7. Zerlegung eines Vektors in Komponenten. Cramersche Regel 36
8. Das Innenprodukt (pq) zweier Vektoren des euklidischen
Raumes R3. Räumliche Metrik (Längen und Winkel) 40
9. Allgemeine (affine) Gestalt des Innenprodukts zweier
Vektoren des reellen euklidischen R3 51
10. Definition und Eigenschaften von metrischen Räumen
nach M. Frechet 58
11. Lineare normierte Räume 64
12. Analytische Geometrie der Ebenen des euklidischen Raumes R3... 66
13. Orientierte Ebenen des euklidischen R3. Ihre Hessesche
Gleichung 73
14. Außenprodukt von zwei Vektoren des R3. Bivektoren 82
15. Vektorprodukt (vektorielles Produkt) von zwei Vektoren
des euklidischen R3 89
16. Produkte von drei Vektoren (Tripelprodukte) 93
17. Produkte von vier Vektoren (Quadrupelprodukte) 97
18. Multiplikation zweier Spatprodukte. Gramsche Determinante 103
19. Sphärische Dreiecke und Kugelgeometrie 107
20. Polare Kugeldreiecke. Sphärische Trigonometrie 111
21. Anwendungen auf die Analytische Geometrie des Raumes R3 120
22. Anwendungen auf Mechanik 127
VIII Inhaltsverzeichnis
23. Anwendung der Vektorrechnung auf die Drehbewegung des R3.
Drehvektor von Euler 134
24. Quaternionen von Hamilton 138
25. Darstellung der Drehungen des R3 durch Hamiltonsche
Quaternionen 144
B. Vektorrechnung des n-dimensionalen Raumes
26. Der n-dimensionale affine Raum R 149
27. Das Außenprodukt von n Vektoren des R und die
Determinante n. Ordnung 155
28. Entwicklung der Determinanten nach P.S. Laplace 158
29. Beispiele (Determinanten, Zerlegungssatz von Laplace) 163
30. Cramersche Regel. Lineare Unabhängigkeit von n Vektorendes R 171
31. Volumen (Rauminhalt) eines n-dimensionalen Spates Sn 178
C. Lineare Gleichungssysteme
32. Homogene lineare Gleichungssysteme 182
33. Einige Beispiele und Anwendungen zur Theorie der Systeme
homogener linearer Gleichungen 192
34. Inhomogene lineare Gleichungssysteme 200
35. Einige Beispiele und Anwendungen linearer inhomogener
Gleichungssysteme 205
36. Das Verfahren von Gauß zur Lösung linearer homogener
Gleichungssysteme 210
D. Matrizenrechnung
37. Multiplikation von Determinanten gleicher Ordnung 218
38. Das Rechnen mit Matrizen 222
39. Anwendung auf lineare Gleichungssysteme. Inverse Matrix 233
40. Der verkettete Gaußsche Algorithmus 240
E. Lineare Transformationen
41. Orthogonale lineare Transformationen 245
42. Eulersche Winkel 251
43. Homogene affine Transformationen des Rn 257
44. Die geometrischen Eigenschaften der reellen affinen Abbildungen.. 264
45. Eigenvektoren und Normalformen von linearen homogenen
Transformationen. Beispiele 268
46. Kongruente Transformationen (Bewegungen und Umlegungen
des euklidischen R ) 276
47. Die Drehungen der euklidischen Räume R2, R3 und RA
um den Nullpunkt O 280
Inhaltsverzeichnis IX
F. Quadratische Formen. Quadriken
48. Quadratische Formen 286
49. Hauptachsentransformation der quadratischen Formen 291
50. Quadriken (Flächen 2. Ordnung) des euklidischen R3.
Ihre Invarianten bei Bewegungen des R3 296
51. Quadriken mit Mittelpunkt 301
52. Paraboloide als Quadriken ohne Mittelpunkt 310
53. Quadratische Zylinder und Ebenenpaare als singuläre
Quadriken Q(x, i) 316
54. Einige Beispiele 325
FÜNFTER ABSCHNITT
Differentialrechnung mehrerer Veränderlicher
G. Mengen. Verbände. Metrische Räume. Fixpunktsatz von Banach
55. Punktmengen SR des «-dimensionalen Raumes R 333
56. Mengenalgebra. Verbände. Algebraische Strukturen 336
57. Der Boolesche Verband der klassischen Aussagenlogik 340
58. Offene und abgeschlossene Mengen eines metrischen Raumes.
Innere Punkte, Berührungspunkte und Randpunkte einer Menge .. 346
59. Häufungspunkte und Grenzpunkte einer Menge SW.
Der Satz von Bolzano-Weierstraß 553
60. Cauchyfolgen. Vollständige metrische Räume.
Fixpunktsatz von Banach 358
61. Kompakte Punktmengen SW in metrischen Räumen R
(insbesondere in euklidischen Räumen R ) 364
H. Funktionen mehrerer Veränderlicher. Nomographie
62. Funktionen von mehreren Veränderlichen 369
63. Flächen zweiter Ordnung (Quadriken) 376
64. Drehflächen, Schraubflächen, Konoide 383
65. Nomographie, Netztafeln 390
66. Fluchttafeln 395
67. Fluchttafeln mit krummen Leitern 405
68. Fluchttafeln für Gleichungen mit vier, fünf und
sechs Veränderlichen 412
I. Stetigkeit der Funktionen von mehreren Veränderlichen
69. Die Funktionen von zwei Veränderlichen 421
X Inhaltsverzeichnis
70. Stetigkeit der Funktionen von zwei und mehr Veränderlichen 424
71. Einige Grundeigenschaften der stetigen Funktionen mehrerer
Veränderlichen 428
72. Weitere Eigenschaften stetiger Funktionen von mehreren
Veränderlichen 430
73. Einige Beispiele von stetigen Abbildungen 434
J. Differentialrechnung in n Veränderlichen
74. Partielle Ableitungen 439
75. Vollständige Differenzierbarkeit und vollständige
Differentiale 442
76. Ableitung der mittelbaren Funktionen 450
77. Satz von Euler über homogene Funktionen 455
78. Richtungsableitung und Gradient einer skalaren Ortsfunktion.
Berührungsebenen 457
79. Einige Anwendungen und Beispiele 464
80. Weitere Beispiele und Anwendungen 468
81. Partielle Ableitungen höherer Ordnung.
Der Satz von H.A. Schwarz 473
82. Differentiale höherer Ordnung 480
83. Der Mittelwertsatz für Funktionen von mehreren Veränderlichen.. 484
84. Die Taylorsche Formel 486
85. Singuläre Punkte von ebenen Kurven 493
86. Das Newtonsche Näherungsverfahren zur Lösung von
Gleichungen 500
87. Das Iterationsverfahren zur Lösung von Gleichungssystemen
von n Gleichungen mit n Unbekannten 502
88. Das Gaußsche Fehlerfortpflanzungsgesetz 508
K. Theorie der Extrema bei Funktionen von n Veränderlichen
89. Relative oder lokale Extrema (Maxima und Minima)
der Funktion z = z(x, y) 512
90. Anwendungen und Beispiele 518
91. Lokale (relative) Extrema einer Funktion/ = /(*) =f(x1,x2, ¦¦•,x„)
von n Veränderlichen 527
92. Extrema mit Nebenbedingungen 532
93. Weitere Extrema mit Nebenbedingungen 541
94. Verschiedene Beispiele 547
L. Fouriersche Reihen
95. Die Approximation einer Funktion/(x) im Intervall [a, b]
durch eine Funktion j {x) einfacherer Gestalt 552
96. Fouriersche Reihe einer 2?t-periodischen Funktion/(x) 560
Inhaltsverzeichnis XI
97. Beispiele von Fourierreihen 565
M. Implizite Funktionen
98. Der Hauptsatz über implizite Funktionen 573
99. Allgemeine Form des Hauptsatzes über implizite Funktionen
bei mehreren Veränderlichen 577
N. Koordinatentransformation. Abbildungen
100. Der Übergang zu neuen Koordinaten 587
101. Ebene Abbildungen (Transformationen der Ebene) 596
102. Inversion (Spiegelung) am Kreis 602
103. Die allgemeine gleichsinnige Kreisverwandtschaft 608
104. Stetigkeit und Differenzierbarkeit einer Funktion/(z)
einer komplexen Veränderlichen z. Cauchy-Riemannsche
Differentialgleichungen. Konforme Abbildungen 613
O. Kurvenintegrale. Vektoranalysis
105. Kurvenintegrale 622
106. Der Hauptsatz über Kurvenintegrale 628
107. Stationäre ebene Strömungen 638
108. Verhalten eines Teilchens im Strömungsfeld.
Divergenz eines Vektorfeldes 643
109. Rotor und Divergenz als Wirbeldichte und Quelldichte 647
110. Stromfunktion und Potentialfunktion. Quell- und
wirbelfreie Strömungen 652
111. Räumliche Vektoranalysis 655
112. Operatoren zweiter Ordnung der Vektoranalysis 663
113. Produktformeln der Vektoranalysis 668
SECHSTER ABSCHNITT
Integralrechnung mehrerer Veränderlicher
P. Doppelintegrale und mehrfache Integrale. Integralsätze
von Gauß und Stokes
114. Doppelintegrale über Rechtecksbereichen 677
115. Berechnung des Doppelintegrals. Zerlegung der doppelten
Integration in zwei einfache Integrationen 680
116. Doppelintegrale mit beliebigen (normalen) Integrations¬
bereichen 686
XII Inhaltsverzeichnis
117. Berechnung des Doppelintegrals für Normalbereiche
durch Zerlegung der doppelten Integration in zwei einfache
Integrationen 690
118. Inhalt der Oberfläche eines krummen Flächenstücks z =f(x,y) ... 698
119. Mittelwertsatz für Doppelintegrale. Gebietsdifferentiation
und Dichten 701
120. Der Gaußsche Integralsatz in der Ebene 703
121. Einführung neuer Veränderlicher in ein Doppelintegral 710
122. Einige Anwendungen und Beispiele 715
123. Gaußsche Darstellung einer Fläche. Flächenmetrik 723
124. Einige Beispiele 728
125. Der Begriff des dreifachen Integrals 736
126. Die praktische Berechnung der dreifachen Integrale
über Normalbereiche 91 737
127. Die Einführung neuer Veränderlicher 743
128. Mehrfache («-fache) Integrale mit n 3 750
129. Einige Anwendungen auf mechanische Fragen 754
130. Der Gaußsche Integralsatz im Raum 760
131. Der Integralsatz von Stokes im Raum 768
132. Einige Anwendungen der Integralformeln 772
133. Verschiedene weitere Anwendungen der Vektoranalysis 780
134. Einige Anwendungen der Integralsätze von Gauß und Stokes 785
135. Das Newtonsche Gravitationspotential 788
136. Die Newtonschen Potentiale der einfach belegten Kugelfläche,
der Hohlkugel und der Vollkugel 794
137. Die Poissonsche Gleichung des Körperpotentials 802
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