Einführung in die höhere Mathematik: mit besonderer Berücksichtigung ihrer Anwendungen auf Geometrie, Physik, Naturwissenschaften und Technik 1 Grundlagen
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| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
München [u.a.]
Oldenbourg
1966
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| Ausgabe: | 2., verbesserte Auflage |
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Vorwort XI
ERSTER ABSCHNITT: GRUNDLAGEN
I. Zahlen und Zahlenrechnen
A. Reelle Zahlen, ungenaue Zahlcu
1. Reelle Zahlen, Zahlgerade 3
2. Dekadisches Positionssystem. Dezimalbrüche 5
3. Dyadisches Zahlensystem 8
4. Intervallschachtelung. Stetigkeit der Zahlgeraden 11
. S. Die Grundgesetze der Arithmetik 13
6. Absolute Beträge. Ungleichungen 20
B. Das Rechnen mit ungenauen Zahlen
7. Ungenaue Zahlen 24
8. Summe und Differenz ungenauer Zahlen 28
9. Produkt zweier ungenauer Zahlen 29
10. Quotient zweier ungenauer Zahlen 30
11. Abgekürzte Multiplikation 32
12. Abgekürzte Division 34
13. Quadratwurzel aus einer ungenauen Zahl 36
14. Iterationsverfahren zur Berechnung der Quadratwurzel 37
15. Das Verfahren der Wurzelziehung von L. Collatz 39
16. Das Rechnen mit sehr kleinen Größen 41
17. Einige Beispiele zum Rechnen mit sehr kleinen Größen 44
18. Rechenmaschinen 46
C. Elementare Fehlerrechnung
I 19. Mittlerer Fehler der Messungen einer Meßreihe 53
20. Ausgleichung einer Meßreihe nach GAUSsens Methode der kleinen Quadrate . 5.3
1 21. Bestimmung des mittleren Fehlers m der Einzelmessungen einer Meßreihe .. 57
22. Das Additionstheorem der Mittelwerte und der mittleren Fehler. GAUSSsches
! Fehlerfortpflanzungsgesetz 60
I 23. Mittlerer Fehler des Bestwertes einer Meßreihe 64
24. Ausgleichung von Messungen ungleicher Genauigkeit 65
VI Inhaltsverzeichnis
I). Elementare Zahlentheorie
25. Teilbarkeit von ganzen Zahlen. EuKLiDscher Algorithmus (Kettendivision) .. 71
26. DiOPHANTische Gleichungen 1. Ordnung 73
27. Kettenbrüche 77
28. Anwendungen (Zeitrechnung, Saroszyklus, BALMERsche Serienformel) 81
29. Unendliche Kettenbrüche irrationaler Zahlen 85
30. Periodische Kettenbrüche 88
31. Zahlenkongruenzen 92
32. Anwendung auf Teilbarkeitsregeln und Rechenproben 95
33. Restklassen nach einem Primzahlmodul p 99
34. Die multiplikative Gruppe der Restklassen nach einem Primzahlmodul.
Gruppeneigenschaften 100
35. Der Satz von Fbrmat 107
36. Der Satz von Wilson 110
37. Darstellung einer Primzahl der Form p = 4n + 1 als Summe zweier Quadrate 113
38. Zerspaltung großer Zahlen m = 4» + 1 in Primfaktoren 118
39. Elemente der Kombinatorik. Der binomische Satz 120
40. Permutationsgruppen 127
41. Decktransformationen der regulären (PLATONischen) Körper. Raumgruppen . 131
II. Elementare algebraische Funktionen
E. Lineare nnd quadratische Funktion. Komplexe Zahlen
42. Funktionsbegriff. Schaubild einer Funktion 135
43. Die lineare Funktion y = ax + 6. Analytische Geometrie der geraden Linie . 142
44. Die quadratische Funktion. Wertevorrat, Nullstellen, Zerspaltung in Linear¬
faktoren 147
45. Einführung der komplexen Zahlen 150
46. Quadratische Gleichungen. Fundamentalsatz der Algebra. Zerlegung reeller
Polynome in lineare und quadratische Faktoren 155
47. Bogenmaß eines Winkels 162
48. GAUSSsche Darstellung der komplexen Zahlen durch die Punkte einer Ebene 164
49. Konstruktion von Summe, Differenz, Produkt und Quotient zweier komplexer
Zahlen in der GATjssschen Zahlenebene. MorvBEsche Formeln 166
¥. Geometrische Anwendungen
50. Die Darstellung der Ähnlichkeiten und Bewegungen der Ebene durch komplexe
lineare Transformationen 179
51. Transformationsgruppen 183
52. Die Gruppe der GALiLEischen Transformationen 184
53. Bemerkung über die axiomatischen Begründungen der Geometrie. EuKLiDische
Geometrie und Nicht EuKLlDische Geometrien 185
54. Felix Kleins gruppentheoretische Auffassung der Geometrie 187
55. Ein Beispiel einer Geometrie im KLEiNschen Sinne. Geometrie der isotropen
Ebene : 189
56. Parabelkonstruktionen 194
G. Ebene Vektorrechnung
57. Vektoren 198
58. Innenprodukt und Außenprodukt zweier Vektoren der Ebene 203
t
Inhaltsverzeichnis VII
59. Anwendung auf die ebene Statik 208
60. Anwendungen der Vektorrechnung auf die ebene analytische Geometrie 211
61. Determinanten 2. Ordnung. CRAMERsche Kegel 219
H. Polynome und algebraische Gleichungen
62. Die ganzen Funktionen (Polynome) n ter Ordnung 222
63. Das HoRNERSche Verfahren und seine Anwendungen 225
64. Die zeichnerische Durchführung des HoRNERsehen Verfahrens 232
65. Die LiLLsche Darstellung von Polynomen und ihrer Division. Die LiLLsche
Bestimmung der Wurzeln algebraischer Gleichungen 233
66. Die Bestimmung rationaler Nullstellen einer ganzzahligen algebraischen Glei¬
chung 237
67. Geometrische Konstruktionen. Winkeldrittelung 238
I 68. Lösung der allgemeinen kubischen Gleichung durch Winkeldrittelung. Car
DANOsche Formel 245
69. Die trigonometrische Lösung von kubischen Gleichungen 252
70. Lösung der biquadratischen Gleichung durch eine kubische Resolvente 284
71. Bemerkung zur allgemeinen Lösung der algebraischen Gleichungen 2., 3. und
, 4. Ordnung durch Wurzelausdrücke 260
72. Das GRAEFFEsche Verfahren der quadrierten Wurzeln 266
73. Das GRAErFEsche Verfahren bei komplexen Wurzeln und bei Wurzeln mit glei¬
chen absoluten Beträgen 271
74. Ausbau des GRAEFFEsehen Verfahrens nach Brodetsky und Smeal 279
75. Satz von Schur über die HtrRwrrzschen Gleichungen mit negativem Realteil
der Wurzeln 283
I. Interpolation
1 76. Die Interpolationsformel von Lagrange 293
77. Die NEWTONsche Interpolationsformel. Steigungen 294
78. Die zeichnerische Durchführung der Interpolation n ter Ordnung 301
79. Interpolation bei äquidistanten Argumenten 304
i 80. Prüfung und Berichtigung einer Funktionstafel mittels des Differenzenspiegels 307
81. Einige Anwendungen der NEWTONschen Interpolationsformel 310
82. Die Interpolationsformeln von Gattss und Stirlinq 315
83. Die BESSELsche Interpolationsformel 321
J. Rationale nnd algebraische Funktionen
84. Allgemeines über rationale Funktionen 324
85. Teilbruchzerlegung rationaler Funktionen 330
86. Allgemeines über algebraische Funktionen. Algebraische Kurven 336
87. Parameterdarstellung einer Funktion oder Kurve 343
88. Kegelschnitte. Elementare Definitionen und Eigenschaften 347
89. Die Kurven 2. Ordnung, ihre metrische Klassifikation und Hauptachsentrans¬
formation 361
90. Beispiele algebraischer Kurven 3. und 4. Ordnung 373
I 91. Schleifkurbelgetriebe 381
92. Kurbelgetriebe. WATTsche Kurven 383
K. Affine nnd projekttve Geometrie der Ebene
93. Metrische Eigenschaften ebener Kurven 390
94. Parallel und Zentralprojektion als geometrische Verwandtschaften 391
VIII Inhaltsverzeichnis
95. Parallelprojektion und Perspektive Affinität 393
96. Allgemeine ebene Affinitäten 397
97. Die affine Gruppe der Ebene 401
98. Besondere Affinitäten ... 402
99. Affine Geometrie der Ebene. Affine Einteilung der Kegelschnitte nach ,
Lagrange 405
100. Affine Eigenschaften der Ellipse, Hyperbel und Parabel 410
101. Zentralprojektion. Perspektive Kollineation 419
102. Projektive Transformationen (Koliineationen) der Ebene 427
103. Ebene projektive Geometrie 430
104. Projektive Invarianten. Doppelverhältnis. Fundamentalsatz der projektiven
Geometrie ¦ 433
105. Charakteristisches Doppelverhältnis einer Projektivität der Geraden.
Involutorische Projektivitäten (Involutionen) 439
106. Vollständiges Viereck und Vierseit 443
107. Dualitätsprinzip 444
108. Projektive Erzeugung der Kegelschnitte nach Jacob Steiner. Die Sätze von
Pascal und Brianohon 448
109. Das Polarsystem der Kurven 2. Ordnung 454
III. Grenzwerte. Unendliche Reihen
L. Grenzwerte
110. Grenzwertbegriffund höhere Mathematik 465
111. Unendliche Zahlenfolgen ; 467
112. Häufungswerte 470
113. Untere und obere Grenze 473
114. Zahlenmengen 476
115. Punktmengen 478
116. Konvergente Zahlenfolgen. Grenzwert einer konvergenten Zahlenfolge 482
117. Konvergenz und Summenformel der unendlichen.geometrischen Reihe 488 i
118. Das Bechnen mit Grenzwerten 402 t
119. Konvergenz beschränkter monotoner Folgen (Monotoniesatz) 493
120. Die Zahl e 494
121. Eine weitere Definition der Zahl e 497
122. Drittes Konvergenzkriterium (Satz von der Intervallschachtelung) 498
123. Das allgemeine CAUCHYsche Konvergenzkriterium 505
M. Unendliche Beinen
124. Konvergente unendliche Reihen 508
125. Summenproblem. Reihenrest 51J
126. Summe und Differenz zweier konvergenter unendlicher Reihen 514
127. Konvergenzkriterien für unendliche Reihen 516
128. Alternierende Reihen : 519 I
129. Reihen mit positiven Gliedern 521
130. ABBLSche Summierung. Konyergenzsätze von Abel und Diriohlet 524
131. Absolute, unbedingte und bedingte Konvergenz von unendlichen Reihen ... 527
132. Multiplikation von absolut konvergenten Reihen 534
133. Großer Umordnungssatz (OAUOHYscher Doppelreihensatz) 538
134. Hinreichende Kriterien für absolute Konvergenz von Reihen 542
135. Die Kriterien von Kummer und Dini, von Raabe und Gaüss 549
Inhaltsverzeichnis IX
136. Potenzreihen 552
137. Das Rechnen mit Potenzreihen • 556
138. Dreiecksungleichung. Folgen komplexer Zahlen 561
139. Häufungspunkte und Grenzwerte beschränkter Folgen komplexer Zahlen.
Konvergenzkriterien 564
140. Unendliche Reihen mit komplexen Gliedern. Komplexe Potenzreihen 572
IT. Elementare transzendente Funktionen.
Stetige Funktionen. Umkehrfunktionen
N. Exponentialfunktion, Kreisfunktionen und Hyperbelfunktionen
141. Definition der Exponentialfunktion für irrationale Exponenten 577
142. Zeichnerische Darstellung der Exponentialfunktion y = ax 579
143. Trigonometrische Funktionen oder Kreisfunktionen 582
144. Hyperbelfunktionen oder hyperbolische Funktionen 590
145. Anwendungen der Kreisfunktionen auf ebene Trigonometrie 595
146. Hannonische Sinusschwingungen 605
147. Überlagerung harmonischer Schwingungen verschiedener Frequenzen 609
148. Elliptische Schwingungen, LissAjOTJSsche Kurven 615
149. Radlinien auf gerader Bahn. Zykloiden 618
150. Radlinien auf kreisförmiger Bahn. Epizykloiden und Hypozykloiden 622
151. Kegelschnitte in Polarkoordinaten 630
152. Die Gruppe der LOEBNTZ Transformationen. Das relativistische Additions
gesetz der Geschwindigkeiten 634
153. Die Relativität der Raum und Zeitmessung 630
154. Potenzreihenentwicklung der natürlichen Exponentialfunktion 641
155. Exponentialfunktion für komplexe Argumente. Potenzreihen von cosy und
sinp. EuLKEsche Formel. MorvsKsche Formel 645
156. Potenzreihe für QtOfz und @in z. Zusammenhang der Kreis und Hyperbelfunk¬
tionen • 651
0. Stetige Funktionen
157. Grenzwert einer Funktion y = J(x) an der Stelle xB. Konvergenzkriterien .. 654
158. Die Grenzwertformel lim = 1 661
x 0 x
159. Das Rechnen mit Grenzwerten von Funktionen 664
160. Links und rechtsseitiger. Grenzwert. Uneigentliche Grenzwerte einer Funk¬
tion 668
161. Grenzwert der Funktion y =f(x) für unbeschränkt wachsendes oder abneh¬
mendes x 675
162. Stetigkeit und Unstetigkeit einer Funktion y =f(x) 682
163. BoLZANOsches Stetigkeitskriterium. Eigenschaften und Beispiele stetiger
Funktionen 687
164. Sätze über stetige Funktionen. Zusammengesetzte Funktionen 695
165. Weitere Eigenschaften stetiger Funktionen 699
166. Anwendungen auf Gleichungen 704
167. Näherungsweise Lösung von Gleichungen. Regula falsi 707
168. Gleichmäßige Stetigkeit einer stetigen Funktion 710
169. Gleichmäßige Konvergenz einer unendlichen Reihe mit veränderlichen
Gliedern 713
170. Kriterien von Wbibbstbass, Abel und Dirichlkt für gleichmäßige Konver¬
genz von Reihen 20
X Inhaltsverzeichnis
171. Eigenschaf ten gleichmäßig konvergenter Reihen E «¦» (ü), deren Glieder «„ (x) :
stetige Funktionen sind. Gleichmäßig konvergente Funktionenfolgen 723
P. Umkehrfunktionen
172. Allgemeines 728
173. Die Kreisbogen und Arcusfunktionen (zyklometrischen Funktionen) 732
174. Logarithmen 740
175. Natürlicher Logarithmus (Logarithmus naturalis). Additions und Subtrak¬
tionslogarithmen 747
176. Die Areafunktionen 752
177. Die Logarithmen negativer und komplexer Zahlen 757
178. Zusammenhang der Arcusfunktionen mit dem Logarithmus 761
179. Die allgemeine Potenz zc = (x + iy)f + ir 762
Q. Der logarithmische Bechenstab. Logarithmische Fnnktionspaplere
180. Funktionsleitern. Quadratische und projektive Leiter. Volumenskalibrierung
(Faßmessung mit der Rute) 766
181. Lineare Interpolation in Funktionsleitern 771
182. Die logarithmische Leiter. Logarithmischer Rechenstab 773
183. Die quadratische und kubische Leiter des logarithmischen Rechenstabs .... 774
184. Lineare Interpolation und Ablesegenauigkeit 776
185. Multiplikation und Division, Sondermarken 778
186. Proportionen. Regeldetri 781
187. Die gegenläufige oder reziproke Leiter R 783
188. Die logarithmische Sinusleiter 786
189. Die pythagoreische oder log cos Leiter 788
190. Die logarithmische Tangensleiter 790
191. Die gleichförmige Leiter 791
192. Die log log Leiter oder Exponentialleiter 791
193. Verschiedene weitere Anwendungen des logarithmischen Rechenstabes 794
194. Anwendungen des Rechenschiebers auf verschiedene Probleme, insbesondere
auf die Lösung quadratischer und kubischer Gleichungen 797
19ö. Funktionspapiere 800
196. Doppeltlogarithmisches Papier (Potenzpapier) 801
197. Einfachlogarithmisches oder Exponentialpapier 807
Namen und Sachverzeichnis 815
Verweise: 24. verweist auf die Nummer 24 und (24.12) bedeutet Formel 12 in
Nummer 24 des Buches. (73. Beispiel 2) verweist auf Beispiel 2 in Nummer 73. Eben¬
so bezeichnet (11. Bemerkung 3) die Bemerkung 3 in Nummer 11, ähnlich (31. Regel C)
diö Regel C in Nummer 31. Schließlich weist (Tafel 196.2) auf die Zahlentafel 2 in
Nummer 196 hin.
Die Nummern und ihre Überschriften rindet man am Kopf der ungeraden Seiten
wiederholt.
Die wichtigsten Stichwörter und alle genannten Namen (mit Seitenzahlen) enthält
der Namen und Sachweiser auf Seite 812 ff.
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Inhaltsverzeichnis
THWS Schweinfurt Zentralbibliothek Lesesaal
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2000 SK 399 S927 |
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| Exemplar 1 | ausleihbar Verfügbar Bestellen |