Funktionentheorie:
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| Published: |
Mannheim [u.a.]
Bibliographisches Institut
1983
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| Edition: | 2., durchgesehene und verbesserte Auflage |
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| Physical Description: | 276 Seiten graph. Darst. |
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| adam_text | Titel: Funktionentheorie
Autor: Peschl, Ernst
Jahr: 1983
Inhaltsverzeichnis Vorwort.......................... 5 Abkürzungen und Bezeichnungen...............12 Kapitel I Algebra und Geometrie der komplexen Zahlen §1. Einführung der komplexen Zahlen als Matrizen...... 13 § 2. Konjugiert komplexe Zahlen..............16 § 3. Bewertung des Körpers der komplexen Zahlen.......16 § 4. Deutung der Grundrechenoperationen in der euklidischen Ebene........................ 18 § 5. Polarkoordinaten...................20 §6. Die binomische Gleichung................21 § 7. Analytische Geometrie mit Hilfe komplexer Zahlen.....22 7.1 Euklidische Bewegungen...............22 7.2 Geradengleichungen in komplexer Schreibweise.....23 7.3 Skalarprodukt und Dreiecksflächc........... 24 7.4 Kreisgleichung...................24 § 8. Kreisverwandtschaften.................24 8.1 Die komplex-projektive Gerade............24 8.2 ..Rechenregeln“ für oo...............27 8.3 Erzeugung und geometrische Grundeigenschaft.....28 8.4 Das Doppelverhältnis................29 8.5 Eixpunkte und Normalformen der Möbius- transformationen..................30 8.6 Winkelt reue der Kreistransformation.........32 §9. Die stereographische Projektion.............33 § 10. Spezielle Kreisverwandtschaften.............35 10.1 Spiegelungen...................35 10.2 Die Diametralpunktbeziehung ...........37 10.3 Bewegungen in der sphärischen Geometrie......37 10.4 Bewegungen in der hyperbolischen Geometrie.....41 Übungsaufgaben......................43
Inhaltsverzeichnis 9 Kapitel II Topologische Grundbegriffe, Mengen und Folgen komplexer Zahlen, unendliche Reihen § 1. Einführung der Topologie in C und C u { 00 } .......50 § 2. HAUSDORFFräume...................53 § 3. Folgen. Vollständigkeit von C und C j { 00 }........54 § 4. Kompaktheit. Kompaktiflzierung lokalkompakter Räume . . 56 § 5. Kennzeichnung kompakter Mengen von C. Die Sätze von Heine-Borel und Bolzano-Weierstrass. Intervall- schachtelung......................58 § 6. Zusammenhängende Mengen. Ebene Gebiete .......60 § 7. Stetige Abbildungen, Kurven..............61 § 8. Zerlegung einer Kurve, Summe zweier Kurven. Die Gruppe der 1-Ketten.....................64 § 9. Unendliche Reihen...................67 Übungsaufgaben......................70 Kapitel III Funktionen, reelle und komplexe Differenzierbarkeit, Holomorphie § 1. Reelle und komplexe Differenzierbarkeit einer komplexwertigen Funktion...................76 § 2. Holomorphe Funktionen................80 § 3. Harmonische Funktionen................81 § 4. Winkeltreue einer durch eine holomorphe Funktion vermittelten Abbildung ................82 Übungsaufgaben......................85 Kapitel IV Integralsätze und Folgerungen, Umlaufzahl und nullhomologe Kurven § 1. Das komplexe Kurvenintegral..............89 § 2. Die Umlaufzahl und nullhomologe Kurven........94 §3. Der Gauch Ysche Integralsatz..............103 §4. Die Gauch Ysche Integralformel.............110 § 5. Folgerungen aus der CAUCHYschen Integralformel. Maximumprinzip ...................115 §6. Die PoissONsche Integralformel.............121 Übungsaufgaben......................123
10 1 nhaltsverzeichnis Kapilel V TAYLORentwicklung holomorpher Funktionen § 1. Reihen komplexer Funktionen..............126 § 2. Gleichmäßig konvergente Reihen holomorpher Funktionen . 129 § 3. Potenzreihen.....................131 Übungsaufgaben......................143 Kapitel VI Elementare transzendente Funktionen § 1. Holomorphe Ergänzung reeller Funktionen........145 § 2. Die elementaren transzendenten Funktionen .......146 § 3. Die Funktion w -= log z ................151 Übungsaufgaben......................158 Kapitel VII LAURENTreihen, isolierte Singularitäten, Residuenkalkül § 1. LAURENTreihen....................159 § 2. Isolierte Singularitäten.................163 § 3. Der Residuensatz...................167 §4. Abbildung durch holomorphe Funktionen. Die Umkehrabbildung und die BÜRMANN-LAGRANGEsche Reihe.....170 § 5. Anwendung des Residuensatzes zur Berechnung bestimmter reeller Integrale....................174 §6. Fourier-E ntwicklungen................181 Übungsaufgaben......................182 Kapitel VIII Erzeugung holomorpher und meromorpher Funktionen durch Grenzprozesse § 1. Die Sätze von Montel und Vitali............186 § 2. Der Satz von Mittag-Lefeler..............190 § 3. Der Produktsatz von Weierstrass ............193 Übungsaufgaben......................197 Kapitel IX Holomorphe Fortsetzung § 1. Die Homotopie in ebenen Gebieten............199 § 2. Holomorphe Fortsetzung................205 §3. Begriff der Ri EMANNsehen Fläche............208 Übungsaufgaben......................211
Inhaltsverzeichnis 11 Kapitel X Konforme Abbildungen § 1. Problemstellung und Überblick.............215 § 2. Automorphismen einfach zusammenhängender Gebiete. ScHWAEZsches Lemma.................217 § 3. Der RiEMANNsche Abbildungssatz ............221 § 4. Die RiEMANNsche Fläche der Logarithmus-Funktion. Die universelle Überlagerungsfläche eines zweifach zusammenhängenden Gebietes..............226 § 5. Die Automorphismen der punktierten Ebene und des Kreisringes......................229 § 6. Die konforme Abbildung zweifach zusammenhängender Gebiete auf Normgebiete................234 § 7. Das ScHWARzsche Spiegelungsprinzip ...........236 § 8. Verallgemeinerungen des ScHWARZschen Spiegelungsprinzips ........................239 § 9. Die Ränderzuordnung bei konformer Abbildung von Polygonbereichen auf die obere Halbebene........241 § 10. Die konforme Abbildung von Polygonbereichen......245 §11. Abbildung spezieller Polygonbereiche. Doppeltperiodische Funktionen......................251 § 12. Die Abbildung von Kreisbogenpolygonen.........256 Übungsaufgaben......................267 Literatur..........................270 Sach-und Namenregister...................272
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