Numerische Mathematik für Ingenieure:
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München u.a.
Oldenbourg
1982
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Vorwort 9
Kapitel 1
Methode der kleinsten Quadrate 11
1.1 Einführung 11
1.1.1 Beispiel: Rollende Kugel 14
1.1.2 Beispiel: Navigationsproblem 14
1.1.3 Beispiel: Bahn eines Flugzeuges 16
1.2 Allgemeine Methode 16
1.2.1 Beispiel: Plan eines Geländes 18
1.3 Kleinste Quadrate mit Gewichten 19
1.4 Methode der kleinsten Quadrate für nichtlineare Gleichungen 19
1.4.1 Beispiel: Hyperbolisches Navigationsverfahren 20
1.5 Übungsaufgaben 23
Kapitel 2
Auflösung von Gleichungen durch iterative Methoden 25
2.1 Einführung 25
2.2 Methode von Newton Raphson 26
2.2.1 Beispiel: Iterative Berechnung des reziproken Wertes 28
2.2.2 Beispiel: Vergleich verschiedener Rekursionsformeln 28
2.3 Methode von Newton Raphson für zwei Unbekannte 29
2.3.1 Beispiel: Transformation auf zwei Unbekannte 31
2.3.2 Beispiel: Extrema einer Funktion zweier Variablen 32
2.4 Methode der Fixpunkte 34
2.4.1 Fixpunktsatz 34
2.4.2 Beweis des Fixpunktsatzes 35
2.4.3 Geometrische Interpretation des Fixpunktsatzes 36
2.4.4 Beispiel: Iterative Lösung der quadratischen Gleichung 37
2.4.5 Beispiel: Konvergenz der Methode von Newton Raphson 38
2.4.6 Beispiel: Methode von Picard zur Lösung von Differentialgleichungen . 39
6 Inhaltsverzeichnis
2.5 Algorithmus von Jacobi 41
2.5.1 Beispiel: Iterative Lösung eines linearen Gleichungssystems 43
2.5.2 Beispiel: Numerische Inverse einer Matrix 43
2.6 Übungsaufgaben 44
Kapitel 3
Differenzengleichungen 47
3.1 Einführung 47
3.2 Lineare Differenzengleichungen mit konstanten Koeffizienten 47
3.2.1 Definitionen 47
3.2.2 Allgemeine Lösung der homogenen Gleichung •. . . . 48
3.2.3 Allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung 49
3.2.4 Graphische Darstellung einer linearen Differenzengleichung
mit konstanten Koeffizienten 49
3.2.5 Beispiel: Schematische Darstellung 50
3.2.6 Beispiel: Elektrisches Netzwerk 50
3.3 Numerische Lösung der algebraischen Gleichung 52
3.3.1 Beispiel: Einfache Wurzeln 55
3.3.2 Beispiel: Konjugiert komplexe Wurzeln 56
3.4 Übungsaufgaben 57
Kapitel 4
Eigenwerte und Eigenvektoren 59
4.1 Einfuhrung 59
4.2 Vorbereitende Bemerkungen 61
4.3 Potenzmethode 62
4.3.1 Beispiel: Iterative Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren .. 64
4.4 Übungsaufgaben 66
Kapitel 5
Polynominterpolation 69
5.1 Einführung 69
5.2 Lineare Interpolation 70
5.3 Quadratische Interpolation 71
5.4 Interpolationsformel von Lagrange 72
5.4.1 Beispiel: Kubische Interpolation 73
5.5 Numerische Integration 74
5.5.1 Trapezformel 74
5.5.2 Formel von Simpson 75
5.5.3 Bemerkung zum Fehler 77
5.5.4 Beispiel: Vergleich der beiden numerischen Integrationsmethoden ... 77
Inhaltsverzeichnis 7
5.6 Numerische Differentiation 78
5.6.1 Anwendung auf die Lösung der Laplace Gleichung 79
5.7 Übungsaufgaben 81
Kapitel 6
Numerische und graphische Methoden zur Lösung von
Differentialgleichungen 83
6.1 Graphische Methoden der Isoklinen angewandt auf Gleichungen
erster Ordnung 83
6.1.1 Beispiel: Lösung einer Gleichung erster Ordnung 83
6.2 Graphische Methode der Isoklinen angewandt auf autonome
Gleichungen zweiter Ordnung 84
6.2.1 Beispiel: Lösung einer autonomen Gleichung zweiter Ordnung 86
6.2.2 Beispiel Bewegung eines Pendels 86
6.3 Numerische Methoden für die Gleichung erster Ordnung 89
6.3.1 Methode von Euler 90
6.3.2 Beispiel: Lösung einer Gleichung nach der Methode von Euler 90
6.3.3 Auf der Taylorschen Formel basierende Methode 91
6.3.4 Beispiel: Lösung einer Gleichung nach der Methode von Taylor 92
6.3.5 Methoden von Runge Kutta 92
6.3.6 Beispiel: Lösung einer Gleichung nach den Methoden von
Runge Kutta 94
6.4 Numerische Methoden für ein System von zwei Gleichungen
erster Ordnung 95
6.4.1 Auf der Taylorschen Formel basierende Methode 95
6.4.2 Beispiel: Lösung eines Systems von Gleichungen nach der
Methode von Taylor 95
6.4.3 Methode von Runge Kutta 96
6.4.4 Beispiel: Lösung eines Systems von Gleichungen nach der
Methode von Runge Kutta 97
6.4.5 Beispiel: Ballistisches Problem 98
6.5 Übungsaufgaben 99
Literaturverzeichnis 103
Sachwortverzeichnis 105
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