Verfügbarkeit: Mathematik-Fundament für Studierende aller Fachrichtungen

Mathematik-Fundament für Studierende aller Fachrichtungen:

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Bibliographische Detailangaben
1. Verfasser:	Höfner, Gert (VerfasserIn)
Weitere Verfasser:	Skark, Natali (MitwirkendeR)
Format:	Buch
Sprache:	German
Veröffentlicht:	Berlin Springer Spektrum [2018]
Schlagworte:	Mathematik Lehrbuch
Online-Zugang:	Inhaltstext Inhaltsverzeichnis
Beschreibung:	xix, 772 Seiten Illustrationen, Diagramme 23.5 cm x 15.5 cm
ISBN:	9783662565308 3662565307

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Datensatz im Suchindex

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adam_text	INHALTSVERZEICHNIS 1 G RUNDLAGEN DER M A TH E M A TIK ............................................................. 1.1 SPRACHE UND ARBEITSWEISE DER MATHEMATIK .......................................... 1.1.1 VARIABLEN UND VARIABLENBEREICHE .............................................. 1.1.2 AUSSAGEN, AUSSAGEFUNKTIONEN UND QUANTOREN ......................... 1.1.3 AUFBAU DER MATHEMATIK - MATHEMATISCHE SCHLUSSWEISEN .... 1.1.4 RELATIONEN................................................................................... 1.1.5 MODELLBILDUNG............................................................................. 1.2 MENGENLEHRE............................................................................................ 1.2.1 DEFINITION UND DARSTELLUNG VON MENGEN................................... 1.2.2 SPEZIELLE M ENGEN....................................................................... 1.2.3 MENGENRELATIONEN....................................................................... 1.2.4 MENGENOPERATIONEN ................................................................... 1.2.5 ABBILDUNG VON MENGEN ............................................................. 1.2.6 MAECHTIGKEIT VON MENGEN UND GEORDNETEN M ENGEN ................. 2 A RITHM ETIK * R ECHENOPERATIONEN UND ZUGEHOERIGE ZAHLENBE REICHE ............................................................................................................ 2.1 NATUERLICHE ZAHLEN................................................................................... 2.1.1 BEGRIFF DER NATUERLICHEN ZAHLEN.................................................. 2.1.2 ZIFFERNSYSTEME............................................................................. 2.1.3 RECHNEN MIT NATUERLICHEN ZAHLEN (ZAHLENSTRAHL) ..................... 2.1.4 TEILBARKEITSREGEL......................................................................... 2.1.5 BINOMISCHE KOEFFIZIENTEN UND BINOMISCHER S A TZ ..................... 2.1.6 PRINZIP DER VOLLSTAENDIGEN INDUKTION ........................................ 2.2 MENGE DER GANZEN Z AH LEN ..................................................................... 2.2.1 RECHNEN MIT GANZEN ZAHLEN (ZAHLENGERADE) ........................... 2.2.2 RECHNEN MIT K LAM M ERN............................................................ 2.2.3 ABSOLUTE B ETRAEGE....................................................................... 2.2.4 SUMMEN- UND PRODUKTZEICHEN.................................................. 2.3 MENGE DER RATIONALEN ZAHLEN ................................................................. 2.3.1 ZAHLENKOERPER............................................................................... 2.3.2 GLEICHHEIT RATIONALER ZAHLEN (KUERZEN UND ERWEITERN) ........... 2.3.3 RECHNEN MIT RATIONALEN Z AHLEN................................................ 2.3.4 DEZIMALBRUECHE........................................................................... 2.3.5 RUNDUNGSREGELN......................................................................... 2.4 REELLE ZAHLEN.......................................................................................... 2.4.1 BEGRIFF DER REELLEN Z AHLEN.......................................................... 2.4.2 RECHENOPERATIONEN DER DRITTEN S TU FE ...................................... 2.5 KOMPLEXE ZAHLEN ........................... 2.5.1 DEFINITION UND DARSTELLUNG 1 1 1 2 6 9 10 11 11 11 13 13 19 21 23 23 23 24 29 32 34 37 39 39 42 45 46 49 49 51 52 56 59 61 61 64 76 76 2.5.2 GAUSSSCHE ZAHLENEBENE UND TRIGONOMETRISCHE DARSTELLUNG KOMPLEXER ZAHLEN........................................................................... 78 2.5.3 RECHENOPERATIONEN MIT KOMPLEXEN ZAHLEN UND EXPONENTI- ALDARSTELLUNG................................................................................... 80 2.5.4 GRAFISCHES RECHNEN MIT KOMPLEXEN Z AHLEN................................. 85 3 A NALYSIS F U N K TIO N E N ......................................................................... 89 3.1 DEFINITION DER FUNKTION............................................................................. 89 3.2 DARSTELLUNGEN VON FUNKTIONEN.................................................................. 90 3.3 EINTEILUNG DER FUNKTIONEN......................................................................... 96 3.4 BESONDERE EIGENSCHAFTEN VON FUNKTIONEN ................................................ 98 3.5 SPEZIELLE FUNKTIONEN................................................................................... 101 3.5.1 LINEARE FUNKTIONEN ....................................................................... 101 3.5.2 QUADRATISCHE FUNKTIONEN.............................................................. 104 3.5.3 POTENZFUNKTIONEN........................................................................... 107 3.5.4 GANZE RATIONALE FUNKTIONEN (HORNERSCHEMA, POLYNOMDIVISION). 109 3.5.5 GEBROCHENRATIONALE FUNKTIONEN .................................................... 110 3.5.6 UMKEHRFUNKTIONEN......................................................................... 111 3.5.7 WURZELFUNKTIONEN........................................................................... 112 3.5.8 EXPONENTIALFUNKTIONEN ................................................................. 114 3.5.9 LOGARITHMENFUNKTIONEN.................................................................. 115 3.5.10 TRIGONOMETRISCHE FUNKTIONEN........................................................ 117 3.5.11 ARCUSFUNKTIONEN............................................................................. 118 3.6 FUNKTIONEN MIT MEHREREN UNABHAENGIGEN VERAENDERLICHEN ....................... 121 4 A LGEBRA * G LEICHUNGEN UND U NG LEICH U N G EN ................................... 125 4.1 TERME UND BEGRIFFE BEI GLEICHUNGEN UND UNGLEICHUNGEN ....................... 125 4.2 EINTEILUNG DER GLEICHUNGEN UND UNGLEICHUNGEN......................... 129 4.3 LOESUNG VON SPEZIELLEN GLEICHUNGEN UND UNGLEICHUNGEN ......................... 130 4.3.1 LINEARE GLEICHUNGEN UND UNGLEICHUNGEN..................................... 130 4.3.2 SYSTEME VON LINEAREN GLEICHUNGEN UND UNGLEICHUNGEN ............. 147 4.3.3 QUADRATISCHE GLEICHUNGEN UND UNGLEICHUNGEN ........................... 161 4.3.4 POLYNOMGLEICHUNGEN ..................................................................... 169 4.3.5 WURZELGLEICHUNGEN ......................................................................... 177 4.3.6 TRANSZENDENTE GLEICHUNGEN.......................................................... 179 5 G E O M E TR IE ................................................................................................ 187 5.1 PLANIMETRIE................................................................................................... 187 5.1.1 BEGRIFFE UND GEOMETRISCHE GRUNDELEMENTE................................... 187 5.1.2 GERADEN, STRECKEN UND WINKEL .................................................... 189 5.1.3 SYMMETRIE....................................................................................... 198 5.1.4 GEOMETRISCHE GRUNDKONSTRUKTIONEN ............................................ 201 5.1.5 VIELECKE........................................................................................... 204 5.1.6 KREISE............................................................................................... 220 INHALTSVERZEICHNIS VII 5.1.7 PROJEKTIONEN................................................................................... 226 5.1.8 PLANIMETRISCHE BERECHNUNGEN........................................................ 227 5.2 STEREOMETRIE...................................................................................................234 5.2.1 GRUNDBEGRIFFE UND VOLUMENMESSUNG .......................................... 234 5.2.2 EINTEILUNG DER K OERPER ................................................................... 236 5.2.3 BERECHNUNG VON PRISMATISCHEN KOERPERN ...................................... 237 5.2.4 BERECHNUNG VON PYRAMIDENFOERMIGEN KOERPERN ............................. 243 5.2.5 POLYEDER.......................................................................................... 253 5.2.6 KUGEL UND KUGELTEILE..................................................................... 256 5.3 TRIGONOMETRIE ...............................................................................................260 5.3.1 WINKELMESSUNG............................................................................... 260 5.3.2 POLARKOORDINATEN........................................................................... 262 5.3.3 WINKELFUNKTIONEN........................................................................... 267 5.3.4 ZUSAMMENHAENGE ZWISCHEN DEN W INKELFUNKTIONEN........................270 5.3.5 WERTE DER WINKELFUNKTIONEN FUER WINKEL KLEINER NULL UND GROESSER ALS 2 TT .................................................................................................272 5.3.6 TRIGONOMETRISCHE BERECHNUNGSFORMELN ........................................ 273 5.3.7 BERECHNUNGEN AM RECHTWINKLIGEN D REIECK................................... 275 5.3.8 BERECHNUNGEN AM SCHIEFWINKLIGEN DREIECK................................... 280 5.4 ANALYTISCHE GEOMETRIE DER EBENE (KOORDINATENGEOMETRIE, KEGELSCHNITTE) 289 5.4.1 GRUNDLAGEN DER ANALYTISCHEN GEOMETRIE UND KOORDINATENSYSTEME289 5.4.2 STRECKEN UND GERADEN................................................................... 294 5.4.3 KREIS.................................................................................................. 306 5.4.4 KEGELSCHNITTE .................................................................................. 312 5.5 DARSTELLENDE GEOM ETRIE............................................................................... 318 5.5.1 PROJEKTIONSVERFAHREN..................................................................... 318 5.5.2 SENKRECHTE PARALLELPROJEKTION........................................................ 319 5.5.3 SCHRAEGE PARALLELPROJEKTION ........................................................... 330 5.5.4 AXONOMETRIE..................................................................................... 332 6 FOLGEN UND ENDLICHE R E IH E N ..................................................................335 6.1 GRUNDBEGRIFFE.................................................................................................335 6.2 ARITHMETISCHE UND GEOMETRISCHE ZAHLENFOLGEN ........................................ 338 6.3 ENDLICHE ARITHMETISCHE UND GEOMETRISCHE PARTIALSUMMENFOLGEN............340 6.4 ZINSESZINSRECHNUNG, WACHSTUMSGESCHWINDIGKEIT UND RENTENRECHNUNG.. 345 7 IN FIN ITE SIM ALREC H N U N G ........................................................................... 353 7.1 GRENZWERT UND STETIGKEIT ............................................................................. 353 7.1.1 GRENZWERT VON ZAHLENFOLGEN............................................................ 353 7.1.2 GRENZWERT VON FUNKTIONEN.............................................................. 359 7.1.3 STETIGKEIT VON FUNKTIONEN ............................................................. 365 7.2 DIFFERENZIALRECHNUNG..................................................................................... 366 7.2.1 DIFFERENZENQUOTIENT..........................................................................366 7.2.2 ABLEITUNGSREGELN FUER ELEMENTARE FUNKTIONEN ................................. 372 7.2.3 HOEHERE ABLEITUNGEN ....................................................................... 376 7.2.4 BESTIMMUNG DER ABLEITUNGEN GANZRATIONALER FUNKTIONEN NACH DEM HORNERSCHEMA......................................................................... 377 7.2.5 DIFFERENZIAL UND DIFFERENZIALQUOTIENT (FEHLERRECHNUNG) ................ 378 7.2.6 WEITERE ABLEITUNGSREGELN.............................................................. 381 7.2.7 ZUSAMMENFASSUNG DER ABLEITUNGSREGELN ......................................... 387 7.2.8 GRAFISCHE DIFFERENZIATION................................................................ 391 7.2.9 SAETZE ZUR DIFFERENZIALRECHNUNG...................................................... 392 7.2.10 ANWENDUNG DER DIFFERENZIALRECHNUNG.............................................393 7.2.11 ITERATIONEN....................................................................................... 405 7.2.12 FUNKTIONEN MIT MEHREREN UNABHAENGIGEN VARIABLEN ...................... 408 7.3 INTEGRALRECHNUNG......................................................................................... 414 7.3.1 UNBESTIMMTE INTEGRALE UND GRUNDINTEGRALE ................................. 414 7.3.2 INTEGRATIONSREGELN..............................................................................415 7.3.3 INTEGRATIONSVERFAHREN........................................................................418 7.3.4 BESTIMMTE INTEGRALE..........................................................................425 7.3.5 ANWENDUNG DER INTEGRALRECHNUNG...................................................427 7.3.6 NUMERISCHE INTEGRATION....................................................................456 7.3.7 GRAFISCHE INTEGRATION ..................................................................... 465 7.4 DIFFERENZIALGLEICHUNGEN (D G L ) ................................................................. 468 7.4.1 BEGRIFF DER D G L ............................................................................. 468 7.4.2 EINTEILUNG DER D G L..........................................................................469 7.4.3 TRENNUNG DER VARIABLEN .................................................................. 469 7.4.4 INHOMOGENE DGL 1. ORDNUNG ...................................................... 471 7.4.5 LINEARE HOMOGENE DGL MIT KONSTANTEN KOEFFIZIENTEN .................. 473 7.4.6 LINEARE INHOMOGENE DGL MIT KONSTANTEN KOEFFIZIENTEN ............ 475 7.4.7 AUFSTELLEN VON D G L..........................................................................478 7.5 ZUSAMMENFASSUNG....................................................................................... 478 8 L INEARE A LG E B RA ....................................................................................... 481 8.1 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME UND DETERMINANTEN ........................................ 481 8.1.1 ZWEIREIHIGE DETERMINANTE.............................................................. 482 8.1.2 DREIREIHIGE D ETERM INANTE................................................................ 484 8.1.3 DETERMINANTENGESETZE FUER N-REIHIGE DETERMINANTEN ...................... 486 8.1.4 LOESBARKEITSKRITERIEN N 3 ............................................................ 487 8.1.5 HOMOGENE GLEICHUNGSSYSTEME...................................................... 489 8.1.6 INHOMOGENE GLEICHUNGSSYSTEME .................................................... 491 9 V EKTORRECHNUNG UND VEKTORIELLE G E O M E TRIE .......................................493 9.1 GRUNDBEGRIFFE.................................................................................................493 9.2 OPERATIONEN MIT VEKTOREN......................................................................... 495 9.2.1 ADDITION UND SUBTRAKTION VON V EKTOREN........................................495 INHALTSVERZEICHNIS IX 9.2.2 SKALARE MULTIPLIKATION.....................................................................497 9.3 BASIS, KOORDINATEN UND ORTSVEKTOREN ........................................................ 499 9.4 RECHNEN MIT VEKTOREN IN KOMPONENTENDARSTELLUNG............................... 502 9.5 VEKTOR RA U M ................................................................................................ 504 9.6 LINEARE UNABHAENGIGKEIT VON VEKTOREN...................................................... 505 9.7 PRODUKTE MIT VEKTOREN ............................................................................. 506 9.7.1 SKALARPRODUKT................................................................................. 506 9.7.2 VEKTORPRODUKT ............................................................................... 509 9.7.3 SPATPRODUKT................................................................................... 512 9.8 VEKTORIELLE GEOMETRIE................................................................................. 513 9.8.1 KOORDINATENSYSTEM....................................................................... 513 9.8.2 PUNKTE UND GERADEN IM R2 UND R3 ............................................ 516 9.8.3 LAENGE EINER STRECKE UND WINKEL IM R3 ...................................... 518 9.8.4 TEILVERHAELTNIS................................................................................. 520 9.8.5 GERADENGLEICHUNGEN....................................................................... 521 9.8.6 ANSTIEG............................................................................................ 529 9.8.7 HESSE*SCHE NORMALFORM ................................................................. 529 9.8.8 ZWEI G ERADEN................................................................................. 531 9.8.9 FLAECHENINHALT................................................................................. 537 9.8.10 EBENEN............................................................................................ 539 9.8.11 MEHRERE EBENEN............................................................................. 544 9.8.12 W INKEL............................................................................................ 550 9.8.13 PARALLELITAET ...................................................................................... 552 9.8.14 O RTHOGONALITAET............................................................................... 555 9.8.15 A BSTAND.......................................................................................... 558 10 M A TRIZ E N .................................................................................................... 567 10.1 MATRIZENBEGRIFF - TYP EINER M ATRIX ............................................................ 567 10.2 SPEZIELLE M ATRIZEN ...................................................................................... 569 10.3 RELATIONEN ZWISCHEN MATRIZEN ................................................................... 571 10.4 ADDITION VON MATRIZEN UND MULTIPLIKATION MIT EINER SKALAREN GROESSE .. 573 10.5 MULTIPLIKATION VON MATRIZEN UND SCHEMA VON FALK ............................... 574 10.6 INVERSION VON MATRIZEN UND AUSTAUSCHVERFAHREN .................................... 580 10.7 MATRIZENGLEICHUNGEN................................................................................... 585 10.8 BEISPIELE FUER ANWENDUNGEN DER MATRIZENRECHNUNG................................. 588 10.8.1 BEISPIELE FUER ANWENDUNGEN DER MATRIZENRECHNUNG IN DER WIRT SCHAFT .............................................................................................. 588 10.8.2 LINEARE OPTIMIERUNG..................................................................... 593 10.8.3 TRANSPORTOPTIMIERUNG......................................................................606 11 S TO C H A S TIK ................................................................................................ 615 11.1 KOMBINATORIK............................................................................................. 615 11.1.1 E INFUEHRUNG................................................................................... 615 11.1.2 PERM UTATIONEN..................................................................................616 11.1.3 VARIATIONEN ....................................................................................... 617 11.1.4 KOMBINATIONEN..................................................................................620 11.1.5 ENTSCHEIDUNGSALGORITHMUS ............................................................ 622 11.2 ZUFAELLIGE EREIGNISSE UND BEGRIFFE................................................................ 624 11.2.1 KOLMOGOROFF - AXIOME ALS GRUNDLAGE DER WAHRSCHEINLICHKEITS DEFINITION ........................................................................................... 626 11.2.2 DEFINITIONEN DER WAHRSCHEINLICHKEIT ............................................ 631 11.3 WAHRSCHEINLICHKEITSSAETZE..............................................................................635 11.3.1 LAPLACE-VERTEILUNGEN........................................................................635 11.3.2 ADDITIONSSATZ....................................................................................637 11.3.3 MULTIPLIKATIONSSATZ ..........................................................................637 11.3.4 ADDITIONSSATZ UND MULTIPLIKATIONSSATZ ALS PFADREGEL .................... 639 11.3.5 TECHNISCHE ANWENDUNG DER BEIDEN ELEMENTAREN WAHRSCHEIN LICHKEITSSAETZE 643 11.3.6 WAHRSCHEINLICHKEIT VON N VERSUCHEN ............................................ 646 11.4 UNBEDINGTE UND BEDINGTE WAHRSCHEINLICHKEITEN....................................... 647 11.4.1 ABHAENGIGE UND UNABHAENGIGE EREIGNISSE....................................... 647 11.4.2 WAHRSCHEINLICHKEIT VON UNABHAENGIGEN EREIGNISSEN - ZUSAM MENFASSUNG ....................................................................................... 648 11.4.3 BEDINGTE WAHRSCHEINLICHKEIT ............................................................ 650 11.4.4 ALLGEMEINER MULTIPLIKATIONSSATZ .................................................. 650 11.4.5 TOTALE WAHRSCHEINLICHKEIT.............................................................. 652 11.4.6 SATZ VON B AYES ................................................................................. 653 11.5 VERTEILUNGSFUNKTIONEN, ERWARTUNGSWERT, VARIANZ ....................................... 655 11.5.1 DISKRETE UND STETIGE ZUFALLSGROESSEN .............................................. 655 11.5.2 VERTEILUNGSFUNKTIONEN, ERWARTUNGSWERT, VARIANZ (STANDARDAB WEICHUNG) 657 11.5.3 UNGLEICHUNG VON TSCHEBYSCHEFF.................................................... 661 11.6 SPEZIELLE VERTEILUNGSFUNKTIONEN .................................................................. 662 11.6.1 BERNOULLI-VERTEILUNG (BINOMIALVERTEILUNG)................................... 662 11.6.2 POISSON-VERTEILUNG (S. D. POISSON 1781-1840) ............................. 665 11.6.3 NORMALVERTEILUNG (GAUSS-VERTEILUNG) ............................................ 669 11.6.4 GEOMETRISCHE VERTEILUNG.................................................................. 678 11.6.5 HYPERGEOMETRISCHE VERTEILUNG ........................................................ 680 12 S T A T I S T I K ......................................................................................................683 12.1 BESCHREIBENDE STATISTIK (DESKRIPTIVE STATISTIK) ........................................ 683 12.1.1 SKALIERUNG - URLISTE - PRIMAER LISTE - KLASSENEINTEILUNG.............. 683 12.1.2 ABSOLUTE UND RELATIVE HAEUFIGKEIT, KUMULIERTE HAEUFIGKEITEN, GRAFISCHE DARSTELLUNGEN.................................................................... 686 12.1.3 M ITTELWERTE....................................................................................... 688 INHALTSVERZEICHNIS XI 12.1.4 STREUUNGSMASSE ................................................................................. 696 12.1.5 LINEARE KORRELATION UND REGRESSION ............................................ 700 12.1.6 TRENDRECHNUNG............................................................................... 710 12.2 BEWERTENDE (SCHLIESSENDE) STATISTIK (INFERENZSTATISTIK) .......................... 717 12.2.1 A LTERNATIVTEST ................................................................................... 717 12.2.2 FEHLERMOEGLICHKEITEN BEIM A LTERNATIVTEST..................................... 718 12.2.3 ENTSCHEIDUNGSREGEL - BINOMIALVERTEILUNG..................................... 720 12.2.4 EINSEITIGER UND ZWEISEITIGER SIGNIFIKANZTEST - BINOMIALVERTEILUNG 723 12.2.5 NULLHYPOTHESE UND RISIKO BEIM SIGNIFIKANZTEST - BINOMIALVER TEILUNG ............................................................................................ 729 12.2.6 GUETEFUNKTION EINES STATISTISCHEN TESTS - BINOMIALVERTEILUNG . . . 732 12.2.7 SIGNIFIKANZTEST BEI GROSSEM STICHPROBENUMFANG - NORMALVER TEILUNG - GAUSS-VERTEILUNG.............................................................. 736 12.2.8 STICHPROBENMITTEL ALS PRUEFVARIABLE - NOR MAL VERTEILUNG - GAUSS-VERTEILUNG............................................................................. 740 12.2.9 SIGNIFIKANZTEST FUER DEN ERWARTUNGSWERT BEI BEKANNTER STAN DARDABWEICHUNG UND BEI UNBEKANNTER STANDARDABWEICHUNG - NORMAL VERTEILUNG........................................................................... 741 12.2.10 MINIMIERUNG DER KONSEQUENZEN DURCH FEHLENTSCHEIDUNGEN - BINOMIALVERTEILUNG......................................................................... 749 12.2.11 VERTRAUENSINTERVALL FUER EINE UNBEKANNTE WAHRSCHEINLICHKEIT. . . . 751 12.2.12 VERTRAUENSINTERVALL FUER EINEN UNBEKANNTEN ERWARTUNGSWERT .... 753 12.2.13 SPEZIELLE TESTVERFAHREN ................................................................. 754 13 T A B E LLE N .......................................................................................................... 773
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