Modellierung multivariater Abhängigkeitsstrukturen auf Finanzmärkten mit archimedischen und hierarchischen archimedischen Copulas:
Gespeichert in:
| 1. Verfasser: | |
|---|---|
| Format: | Abschlussarbeit Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Berlin
Logos-Verl.
2007
|
| Schlagworte: | |
| Online-Zugang: | Inhaltstext Inhaltsverzeichnis |
| Beschreibung: | XIV, 240 S. graph. Darst. 210 mm x 145 mm |
| ISBN: | 9783832516963 3832516964 |
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Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung 1
2 Theoretische Grundlagen 11
2.1 Definition. 11
2.2 Eigenschaften. 16
2.3 Pararaetrische Copula-Familien. 24
2.3.1 Bivariate Copula-Familien. 24
2.3.2 Multivariate Copula-Familien. 32
2.4 Copulas und Abhängigkeitsmaße. 35
2.4.1 Kendall'sTau. 38
2.4.2 Spearman's Rho. 39
2.4.3 Multivariate Erweiterungen . 44
3 Archimedische Copulas 49
3.1 Definition. 50
3.2 Eigenschaften. 53
3.2.1 Algebraische Eigenschaften. 53
3.2.2 Ordnung. 54
3.2.3 Verteilungsfunktion einer archimedischen Copula . 57
3.2.4 Kendall's Tau für die archimedische Copula-Familie. 58
3.3 Spezielle archimedische Copula-Familien. 59
3.3.1 Cook-Johnson-Copula . 60
3.3.2 Gumbel-Copula. 62
3.3.3 Frank-Copula. 63
iii
iv INHALTSVERZEICHNIS
3.3.4 Ali-Mikhael-Haq-Copula. 65
3.4 Mixture-Darstellung archimedischer Copulas. 66
4 Simulation 71
4.1 Allgemeine Simulationsalgorithmen. 72
4.1.1 Die bedingte Inversionsmethode. 72
4.1.2 Simulationsmethode von Marshall und Olkin. 76
4.2 Spezielle Simulationsalgorithmen für die Klasse der archimedischen
Copulas. 76
4.2.1 Die bedingte Inversionsmethode für archimedische Copulas 77
4.2.2 Simulationsalgorithmus unter Verwendung der Verteilungs-
funktion K einer archimedischen Copula. 79
4.2.3 Simulation archimedischer Copulas ausgehend von der Mixture-
Darstellung . 80
4.2.4 Illustration . 81
5 Statistische Inferenz I - Schätzniethoden für Copula-Modelle 85
5.1 Parametrische Schätzung. 87
5.1.1 Exakte Maximum-Likelihood-Schätzung . 89
5.1.2 Methode der Inferenzfunktionen für die Randverteilungen . . 90
5.2 Semiparametrische Schätzung. 92
5.2.1 Semiparametrische Maximum-Likelihood-Schätzung.92
5.2.2 Schätzung mit Hilfe copula-basierter Abhängigkeitsmaße . . 97
5.3 Nichtparametrische Schätzung.100
5.3.1 Die empirische Copula von Deheuvels.101
5.3.2 Nichtparametrische Kernschätzung.104
6 Statistische Inferenz II - Tests auf Güte der Anpassung 113
6.1 Überblick über die Literatur.116
6.2 Ausgewählte Tests auf Güte der Anpassung .117
6.2.1 Tests auf der Grundlage der Wahrscheinlichkeitsintegraltrans-
formation .118
INHALTSVERZEICHNIS v
6.2.2 Anpassungstests, die auf dem Prozeß von Kendall basieren . 126
6.2.3 Anpassungstests auf der Grundlage des empirischen Copula-
Prozesses .132
6.2.4 Sonstige Ansätze.135
6.3 Ein neuer x2-Test auf Anpassungsgüte für archimedische Copulas . 138
6.3.1 Testproblem. 138
6.3.2 Vorgehensweise und Teststatistik. 138
6.3.3 Approximation der Verteilung der Teststatistik . 140
6.3.4 Simulationsstudie zur Untersuchung der Eigenschaften des
Tests in kleinen Stichproben. 142
6.3.5 Empirische Illustration. 144
7 Hierarchische Archimedische Copulas 153
7.1 Allgemeine Modellierung.155
7.2 Herleitung der Dichte.168
7.3 Simulation.176
7.4 Schätzung hierarchischer archimedischer Copulas .185
7.4.1 Semiparametrische Maximum-Likelihood-Methode.186
7.4.2 Semiparametrische hierarchische ML-Methode.186
7.4.3 Momenten-Methode auf Grundlage von Kendall's Tau . 189
7.4.4 Monte-Carlo-Simulation zur Überprüfung der Eigenschaften
der Schätzverfahren im HAC-Modell .196
7.5 Empirische Illustration.200
7.6 Zusammenfassung und Ausblick.206
8 Schlußbemerkung 213
A Generatoren für ausgewählte archimedische Copula-F milien 219
A.l Cook-Johnson-Familie .219
A.2 Gumbel-Fanülie.220
A.3 Frank-Familie.221
A.4 Ali-Mikhael-Haq-Familie.221
vi INHALTSVERZEICHNIS
B Laplace-Transformierte 223
C Mixture-Darstellung von Marshall und Olkin 225
C.l Univariater Fall.225
C.2 Bivariater Fall.226
C.3 Multivariater Fall.227
Literaturverzeichnis 231
Tabellenverzeichnis
6.1 Felllerwahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art des Tests. 143
6.2 Güte des Tests . 145
6.3 Deskriptive Statistiken der logarithmierten Renditen . 146
6.4 Empirische Kendall's Tau-Matrix der Branche Versicherung. 147
6.5 Empirische Kendall's Tau-Matrix der Branche Industrie. 147
6.6 Empirische Kendall's Tau-Matrix der Branche Versorgung. 148
6.7 Anpassungstests für archimedische Copulas - Branche Versicherung 148
6.8 Anpassungstests für archimedische Copulas - Branche Industrie . . 148
6.9 Anpassungstests für archimedische Copulas - Branche Versorgung . 149
6.10 Anpassungstests für archimedische Copulas - Gesamtportfolio . . . 150
7.1 Simulationsergebnisse der drei semiparametrischen Schätzverfahren 198
7.2 Verzerrung der geschätzten Parametervektoren nach den drei semi-
parametrischen Schätzverfahren. 199
7.3 Eigenwerte der Differenzmatrix der MSE-Matrizen für die Parame-
terschätzvektoren der beiden Copula-Modelle. 199
7.4 Rechenzeiten der Monte-Carlo-Simulationsstudie. 200
7.5 Empirische Kendall's Tau-Matrix für das Gesamtportfolio. 201
Abbildungsverzeichnis
2.1 Grafische Darstellung der drei speziellen Copulas W, fl und M im
bivariaten Fall. 19
2.2 Grafische Darstellung der Dichte mit zugehörigem Konturdiagramm
für die bivariate Gauß-Copula mit Parameter r = 0.5 bzw. Kendall's
t = 1/3 . 27
2.3 Grafische Darstellung der Dichte mit zugehörigem Konturdiagramm
für die bivariate Gauß-Copula mit Parameter r = 0.89 bzw. Ken-
dall's r = 0.7 . 27
2.4 Grafische Darstellung der Dichte der bivariaten Normalverteilung
und des zugehörigen Konturdiagramms mit r = 0.5. 28
2.5 Grafische Darstellung der Dichte mit zugehörigem Konturdiagramm
für die bivariate t-Copula mit Parameter r = 0.5 bzw. Kendall's
r = 1/3 und v = 3 . 29
2.6 Grafische Darstellung der Dichte mit zugehörigem Konturdiagramm
für die bivariate t-Copula mit Parameter r = 0.89 bzw. Kendall's
t = 0.7 und v = 3. 29
2.7 Grafische Abbildung der Dichte mit zugehörigem Konturdiagramm
einer bivariaten Verteilung mit Clayton-Copula und als univariate
Randverteilungen eine N (0,1)- und eine ^-Verteilung. 30
2.8 Grafische Abbildung der Dichte mit zugehörigem Konturdiagramm
einer bivariaten Verteilung mit Gumbel-Copula und als univariate
Randverteilungen eine N (0,1)- und eine tt-Verteilung. 31
ix
ABBILDUNGSVERZEICHNIS
3.1 Grafische Darstellung der Dichte und ihres zugehörigen Konturdia-
gramms für die Clayton-Copula mit Parameter 9 = 1 bzw. r = 1/3 . 61
3.2 Grafische Darstellung der Dichte und ihres zugehörigen Konturdia-
gramms für die Clayton-Copula mit Parameter 6 = 4.67 bzw. r = 07 61
3.3 Grafische Darstellung der Dichte und ihres zugehörigen Konturdia-
gramms für die Gumbel-Copula mit Parameter ff = 1.5 bzw. r = 1/3 62
3.4 Grafische Darstellung der Dichte und ihres zugehörigen Konturdia-
gramms für die Gumbel-Copula mit Parameter 9 = 3.33 bzw. r = 0.7 63
3.5 Grafische Darstellung der Dichte und ihres zugehörigen Konturdia-
gramms für die Frank-Copula mit Parameter 0 = 3.31 bzw. t = 1/3 64
3.6 Grafische Darstellung der Dichte und ihres zugehörigen Konturdia-
gramms für die Frank-Copula mit Parameter 6 = 11.5 bzw. t = 0.7 65
4.1 Punktwolken der Realisationen zweier Copulas aus der Gumbel-
Familie mit Parametern r = 1/3 (linkes Feld) und r = 0.7 (rechtes
Feld). 82
4.2 Punktwolken der Realisationen zweier Copulas aus der Clayton-
Familie mit Parametern r = 1/3 (linkes Feld) und t = 0.7 (rechtes
Feld). 82
4.3 Punktwolken der Realisationen zweier Copulas aus der Frank-Familie
mit Parametern t = 1/3 (linkes Feld) und t = 0.7 (rechtes Feld) . 83
4.4 Paarweise Punktwolken der Realisationen einer drei-dimensionalen
Gumbel-Copula mit Parameter 6 = 1.5 bzw. r = 1/3.84
5.1 Univariate Kerndichteschätzung innerhalb eines Intervalls. Quelle:
Schmid und Trede (2006, S. 106) .107
5.2 Grafische Illustration der bivariaten Spiegelbild-Modifikation. Quel-
le: Schmid und Trede (2006, S. 107).108
7.1 Struktur einer drei-dimensionalen hierarchischen archimedischen Co-
pula auf zwei Ebenen. 163
7.2 Struktur einer vier-dimensionalen hierarchischen archimedischen Co-
pula auf zwei Ebenen. 164
ABBILDUNGSVERZEICHNIS xi
7.3 Baumdiagramm für die 9-dimensionale hierarchische archimedische
Copula auf L = 3 Ebenen .166
7.4 Paarweise Darstellung der Realisationen der drei-dimensionalen Cook-
Johnson-Copula auf zwei Ebenen aus (7.7), mit Parametern Oii = 3
und 6 2,i = 1.183
7.5 Punktwolken zweier bivariater Randverteilungsfunktionen der vier-
dimensionalen Gumbel-Copula auf zwei Ebenen aus (7.8), mit Pa-
rametern 6 M = 2, 0U = 2.5 und 02,i = 1.5.184
7.6 Struktur der sieben-dimensionalen hierarchischen archimedischen
Copula auf zwei Ebenen.203 |
| adam_txt |
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung 1
2 Theoretische Grundlagen 11
2.1 Definition. 11
2.2 Eigenschaften. 16
2.3 Pararaetrische Copula-Familien. 24
2.3.1 Bivariate Copula-Familien. 24
2.3.2 Multivariate Copula-Familien. 32
2.4 Copulas und Abhängigkeitsmaße. 35
2.4.1 Kendall'sTau. 38
2.4.2 Spearman's Rho. 39
2.4.3 Multivariate Erweiterungen . 44
3 Archimedische Copulas 49
3.1 Definition. 50
3.2 Eigenschaften. 53
3.2.1 Algebraische Eigenschaften. 53
3.2.2 Ordnung. 54
3.2.3 Verteilungsfunktion einer archimedischen Copula . 57
3.2.4 Kendall's Tau für die archimedische Copula-Familie. 58
3.3 Spezielle archimedische Copula-Familien. 59
3.3.1 Cook-Johnson-Copula . 60
3.3.2 Gumbel-Copula. 62
3.3.3 Frank-Copula. 63
iii
iv INHALTSVERZEICHNIS
3.3.4 Ali-Mikhael-Haq-Copula. 65
3.4 Mixture-Darstellung archimedischer Copulas. 66
4 Simulation 71
4.1 Allgemeine Simulationsalgorithmen. 72
4.1.1 Die bedingte Inversionsmethode. 72
4.1.2 Simulationsmethode von Marshall und Olkin. 76
4.2 Spezielle Simulationsalgorithmen für die Klasse der archimedischen
Copulas. 76
4.2.1 Die bedingte Inversionsmethode für archimedische Copulas 77
4.2.2 Simulationsalgorithmus unter Verwendung der Verteilungs-
funktion K einer archimedischen Copula. 79
4.2.3 Simulation archimedischer Copulas ausgehend von der Mixture-
Darstellung . 80
4.2.4 Illustration . 81
5 Statistische Inferenz I - Schätzniethoden für Copula-Modelle 85
5.1 Parametrische Schätzung. 87
5.1.1 Exakte Maximum-Likelihood-Schätzung . 89
5.1.2 Methode der Inferenzfunktionen für die Randverteilungen . . 90
5.2 Semiparametrische Schätzung. 92
5.2.1 Semiparametrische Maximum-Likelihood-Schätzung.92
5.2.2 Schätzung mit Hilfe copula-basierter Abhängigkeitsmaße . . 97
5.3 Nichtparametrische Schätzung.100
5.3.1 Die empirische Copula von Deheuvels.101
5.3.2 Nichtparametrische Kernschätzung.104
6 Statistische Inferenz II - Tests auf Güte der Anpassung 113
6.1 Überblick über die Literatur.116
6.2 Ausgewählte Tests auf Güte der Anpassung .117
6.2.1 Tests auf der Grundlage der Wahrscheinlichkeitsintegraltrans-
formation .118
INHALTSVERZEICHNIS v
6.2.2 Anpassungstests, die auf dem Prozeß von Kendall basieren . 126
6.2.3 Anpassungstests auf der Grundlage des empirischen Copula-
Prozesses .132
6.2.4 Sonstige Ansätze.135
6.3 Ein neuer x2-Test auf Anpassungsgüte für archimedische Copulas . 138
6.3.1 Testproblem. 138
6.3.2 Vorgehensweise und Teststatistik. 138
6.3.3 Approximation der Verteilung der Teststatistik . 140
6.3.4 Simulationsstudie zur Untersuchung der Eigenschaften des
Tests in kleinen Stichproben. 142
6.3.5 Empirische Illustration. 144
7 Hierarchische Archimedische Copulas 153
7.1 Allgemeine Modellierung.155
7.2 Herleitung der Dichte.168
7.3 Simulation.176
7.4 Schätzung hierarchischer archimedischer Copulas .185
7.4.1 Semiparametrische Maximum-Likelihood-Methode.186
7.4.2 Semiparametrische hierarchische ML-Methode.186
7.4.3 Momenten-Methode auf Grundlage von Kendall's Tau . 189
7.4.4 Monte-Carlo-Simulation zur Überprüfung der Eigenschaften
der Schätzverfahren im HAC-Modell .196
7.5 Empirische Illustration.200
7.6 Zusammenfassung und Ausblick.206
8 Schlußbemerkung 213
A Generatoren für ausgewählte archimedische Copula-F milien 219
A.l Cook-Johnson-Familie .219
A.2 Gumbel-Fanülie.220
A.3 Frank-Familie.221
A.4 Ali-Mikhael-Haq-Familie.221
vi INHALTSVERZEICHNIS
B Laplace-Transformierte 223
C Mixture-Darstellung von Marshall und Olkin 225
C.l Univariater Fall.225
C.2 Bivariater Fall.226
C.3 Multivariater Fall.227
Literaturverzeichnis 231
Tabellenverzeichnis
6.1 Felllerwahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art des Tests. 143
6.2 Güte des Tests . 145
6.3 Deskriptive Statistiken der logarithmierten Renditen . 146
6.4 Empirische Kendall's Tau-Matrix der Branche Versicherung. 147
6.5 Empirische Kendall's Tau-Matrix der Branche Industrie. 147
6.6 Empirische Kendall's Tau-Matrix der Branche Versorgung. 148
6.7 Anpassungstests für archimedische Copulas - Branche Versicherung 148
6.8 Anpassungstests für archimedische Copulas - Branche Industrie . . 148
6.9 Anpassungstests für archimedische Copulas - Branche Versorgung . 149
6.10 Anpassungstests für archimedische Copulas - Gesamtportfolio . . . 150
7.1 Simulationsergebnisse der drei semiparametrischen Schätzverfahren 198
7.2 Verzerrung der geschätzten Parametervektoren nach den drei semi-
parametrischen Schätzverfahren. 199
7.3 Eigenwerte der Differenzmatrix der MSE-Matrizen für die Parame-
terschätzvektoren der beiden Copula-Modelle. 199
7.4 Rechenzeiten der Monte-Carlo-Simulationsstudie. 200
7.5 Empirische Kendall's Tau-Matrix für das Gesamtportfolio. 201
Abbildungsverzeichnis
2.1 Grafische Darstellung der drei speziellen Copulas W, fl und M im
bivariaten Fall. 19
2.2 Grafische Darstellung der Dichte mit zugehörigem Konturdiagramm
für die bivariate Gauß-Copula mit Parameter r = 0.5 bzw. Kendall's
t = 1/3 . 27
2.3 Grafische Darstellung der Dichte mit zugehörigem Konturdiagramm
für die bivariate Gauß-Copula mit Parameter r = 0.89 bzw. Ken-
dall's r = 0.7 . 27
2.4 Grafische Darstellung der Dichte der bivariaten Normalverteilung
und des zugehörigen Konturdiagramms mit r = 0.5. 28
2.5 Grafische Darstellung der Dichte mit zugehörigem Konturdiagramm
für die bivariate t-Copula mit Parameter r = 0.5 bzw. Kendall's
r = 1/3 und v = 3 . 29
2.6 Grafische Darstellung der Dichte mit zugehörigem Konturdiagramm
für die bivariate t-Copula mit Parameter r = 0.89 bzw. Kendall's
t = 0.7 und v = 3. 29
2.7 Grafische Abbildung der Dichte mit zugehörigem Konturdiagramm
einer bivariaten Verteilung mit Clayton-Copula und als univariate
Randverteilungen eine N (0,1)- und eine ^-Verteilung. 30
2.8 Grafische Abbildung der Dichte mit zugehörigem Konturdiagramm
einer bivariaten Verteilung mit Gumbel-Copula und als univariate
Randverteilungen eine N (0,1)- und eine tt-Verteilung. 31
ix
ABBILDUNGSVERZEICHNIS
3.1 Grafische Darstellung der Dichte und ihres zugehörigen Konturdia-
gramms für die Clayton-Copula mit Parameter 9 = 1 bzw. r = 1/3 . 61
3.2 Grafische Darstellung der Dichte und ihres zugehörigen Konturdia-
gramms für die Clayton-Copula mit Parameter 6 = 4.67 bzw. r = 07 61
3.3 Grafische Darstellung der Dichte und ihres zugehörigen Konturdia-
gramms für die Gumbel-Copula mit Parameter ff = 1.5 bzw. r = 1/3 62
3.4 Grafische Darstellung der Dichte und ihres zugehörigen Konturdia-
gramms für die Gumbel-Copula mit Parameter 9 = 3.33 bzw. r = 0.7 63
3.5 Grafische Darstellung der Dichte und ihres zugehörigen Konturdia-
gramms für die Frank-Copula mit Parameter 0 = 3.31 bzw. t = 1/3 64
3.6 Grafische Darstellung der Dichte und ihres zugehörigen Konturdia-
gramms für die Frank-Copula mit Parameter 6 = 11.5 bzw. t = 0.7 65
4.1 Punktwolken der Realisationen zweier Copulas aus der Gumbel-
Familie mit Parametern r = 1/3 (linkes Feld) und r = 0.7 (rechtes
Feld). 82
4.2 Punktwolken der Realisationen zweier Copulas aus der Clayton-
Familie mit Parametern r = 1/3 (linkes Feld) und t = 0.7 (rechtes
Feld). 82
4.3 Punktwolken der Realisationen zweier Copulas aus der Frank-Familie
mit Parametern t = 1/3 (linkes Feld) und t = 0.7 (rechtes Feld) . 83
4.4 Paarweise Punktwolken der Realisationen einer drei-dimensionalen
Gumbel-Copula mit Parameter 6 = 1.5 bzw. r = 1/3.84
5.1 Univariate Kerndichteschätzung innerhalb eines Intervalls. Quelle:
Schmid und Trede (2006, S. 106) .107
5.2 Grafische Illustration der bivariaten Spiegelbild-Modifikation. Quel-
le: Schmid und Trede (2006, S. 107).108
7.1 Struktur einer drei-dimensionalen hierarchischen archimedischen Co-
pula auf zwei Ebenen. 163
7.2 Struktur einer vier-dimensionalen hierarchischen archimedischen Co-
pula auf zwei Ebenen. 164
ABBILDUNGSVERZEICHNIS xi
7.3 Baumdiagramm für die 9-dimensionale hierarchische archimedische
Copula auf L = 3 Ebenen .166
7.4 Paarweise Darstellung der Realisationen der drei-dimensionalen Cook-
Johnson-Copula auf zwei Ebenen aus (7.7), mit Parametern Oii = 3
und 6 2,i = 1.183
7.5 Punktwolken zweier bivariater Randverteilungsfunktionen der vier-
dimensionalen Gumbel-Copula auf zwei Ebenen aus (7.8), mit Pa-
rametern 6 M = 2, 0U = 2.5 und 02,i = 1.5.184
7.6 Struktur der sieben-dimensionalen hierarchischen archimedischen
Copula auf zwei Ebenen.203 |
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