Modellierung, Simulation und Steuerung von Netzwerken schwingender Balken mittels dynamischer Bereichszerlegung:
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Bayreuth
Mathem. Inst. der Univ. Bayreuth
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Autor: Rathmann, Wigand
Jahr: 2000
Inhaltsverzeichnis
Vorwort v
Einleitung xi
Kapitel I. Modellierung 3
1. Der einzelne Balken 3
1.1. Balken im dreidimensionalen Raum mit groGen Auslenkungen 3
1.2. Balkenmodelle fur kleine Auslenkungen 8
1.3. Ebene Balkenmodelle 10
1.3.1. Bewegung in der (ei, e3)-Ebene 10
1.3.2. Bewegung aus der Ebene heraus. 11
2. Netzwerke 12
2.1. Netzwerke als Graphen 13
2.2. Netzwerk im dreidimensionalen Raum 14
2.2.1. Einzelner Balken im Netzwerk 14
2.2.2. Bewegungsgleichungen fiir groBe Auslenkungen 15
2.3. Lineares Modell im Raum 21
2.4. Ebene Netzwerke 22
2.4.1. Bewegungsgleichungen in der Ebene 23
2.4.2. Bewegungen aus der Ebene heraus 24
3. Gleichgewichtslagen 26
3.1. NotwendigeBedingungen 27
3.2. Gleichgewichtszustande 29
Kapitel II. Losung der Netzwerkgleichungen 33
1. Bewegungen in der Ebene, der planare Fall 34
1.1. Variablentransformation und Raume 34
1.1.1. Definitheit von (-,-Jjf! auf!Ki 39
1.1.2. Einige Bemerkungen zu V , !H und !Ki 40
1.1.3. Gleichung fiir das gesamte Netzwerk 41
vii
INHALTSVERZEICHNIS
1.2. Gleichungen in Operatorschreibweise 43
1.2.1. Die Operatoren 43
1.2.2. Homogene Gleichung fur den einzelnen Balken 46
1.2.3. Homogene Gleichung fur das Netzwerk in Operatorschreibweise 47
1.2.4. Der inhomogene Anteil 48
1.3. Der Definitionsbereich des Operators A 49
1.4. Losen der Evolutionsgleichung (2.30) 51
1.4.1. Losung der homogenen Iinearen Operatorgleichung 51
1.4.2. Interpretation der Losung des homogenen Iinearen Systems 56
1.4.3. Anmerkung zum inhomogenen Iinearen System 59
1.4.4. Losung des nichtlinearen Systems 59
1.4.5. Anmerkungen zum inhomogenen nichtlinearen System 62
1.5. Riicktransformation in die Ausgangsvariablen 63
2. Netzwerke im dreidimensionalen Raum, das lineare Modell 67
2.1. Transformation auf ein abstraktes System 68
2.2. Losen des abstrakten Systems 73
2.3. Riicktransformation in die Ausgangsvariablen 76
3. Der geometrisch nichtlineare Stufenbalken in der Ebene 78
3.1. Transformation auf ein abstraktes System 80
3.1.1. Variablentransformation und Funktionenraume 80
3.1.2. Darstellung von und 84
3.1.3. Gleichung fur das gesamte Netzwerk 85
3.1.4. Gleichungen in Operatorschreibweise 86
3.2. Losen der Bewegungsgleichungen 89
3.2.1. Der Definitionsbereich D(A) 90
3.2.2. Anmerkung zum Interpolationsresultat 95
3.2.3. Losung des homogenen Iinearen Systems 97
3.2.4. Losung der homogenen nichtlinearen Gleichung 99
3.3. Riicktransformation in die Ausgangsvariablen 100
Kapitel III. Numerische Simulation von Balkennetzwerken 107
1. Bereichszerlegungsverfahren 107
1.1. Dynamische Bereichszerlegungsverfahren 108
1.2. Statische Bereichszerlegungsverfahren HO
1.3. Beweis von SatzIII.l HI
2. Implementierung der DDDM und numerische Beispiele 114
2.1. Diskretisierung des Problems j j 4
2.1.1. Finite Elemente U4
2.1.2. Newmark-Verfahren 1tc
INHALTSVERZEICHNIS ix
2.1.3. Abbruchkriterien der DDDM 116
2.1.4. Parameterwahl in der DDDM 117
2.1.5. Bemerkung zur Implementierung der DDM 117
2.2. Numerische Beispiele 117
2.2.1. Belastetereingespannt-freierBalken (Kragbalken). 117
2.2.2. SchwingenderBalken. 119
2.2.3. Carpenter Square mit Belastungen. 124
2.2.4. Einseitig eingespanntes Dreibein 128
2.2.5. Das Vierbein 132
2.2.6. Auswertung 136
Kapitel IV. Steuerung von Balkennetzwerken 137
1. Das Steuerungsproblem 137
2. Der CG-Algorithmus fur das Steuerungsproblem 143
3. Numerische Ergebnisse 148
3.1. Der eingespannt-freie Balken. 148
3.2. Carpenter Square. 155
3.3. Das gesteuerte Dreibein. 159
Kapitel V. Zusammenfassung und Ausblick 171
1. Modellierung 171
2. Existenz und Eindeutigkeit von Losungen 172
3. Numerische Simulation 173
4. Optimale Steuerung 175
Anhang A. Dissipative Operatoren und Co-Halbgruppen 177
1. Monotone und dissipative Operatoren 178
2. Co-Halbgruppen 179
3. Losen der Gleichung y — Ay = f, y(0) = yo 182
Anhang B. Eigenfrequenzen und Eigenfunktionen 185
1. Eingespannt-freier Rayleigh-Balken 185
2. Dreibein 187
Literaturverzeichnis 193
Notationen
197
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