Value Ranges for Schlicht Functions: = Wertemengen schlichter Funktionen
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Würzburg
2016
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FUNCTIONS
DISSERTATIONSSCHRIFT ZUR ERLANGUNG DES NATURWISSENSCHAFTLICHEN
DOKTORGRADES DER JULIUS-MAXIMILIANS-UNIVERSITAET WUERZBURG
VORGELEGT VON
JULIA DIANA KOCH
AUS
BERLIN, DEUTSCHLAND
WUERZBURG 2016
CONTENTS
C ONTENTS 5
N OM ENCLATURE 6
1 INTRODUCTION AND OU TLIN E O F TH IS TH ESIS 9
2 T HE PONTRYAGIN M AXIM UM P RINCIPLE 13
2.1 THE PMP AND THE RADIAL LOEWNER EQUATION
.......................................
13
2.2 A COMPLEX FORMULATION OF THE PONTRYAGIN PRINCIPLE
...........................
15
3 VALUE SETS FOR BOUNDED FUNCTIONS ON D 27
3.1 SCHLICHT FUNCTIONS WITH PRESCRIBED DERIVATIVE / ( 0 )
...........................
28
3.2 INVERSE FU N C TIO N
S..................................................................................
38
3.3 SCHLICHT FUNCTIONS WITH REAL COEFFICIENTS
.............................................
47
3.4 TYPICALLY REAL
FUNCTIONS.........................................................................
52
3.5 FUNCTIONS WITH REAL
COEFFICIENTS.............................................................
56
4 SELF-M APPINGS O F TH E UPPER HALF-PLANE 63
4.1 BOUNDARY NORMALISATION AND THE CHORDAL LOEWNER EQUATION .... 63
4.2 SCHLICHT FUNCTIONS AND FIXED HALF-PLANE CAPACITIES
..............................
64
4.3 SYMMETRIC M
APPINGS............................................................................
65
5 VALUE SETS FOR TH E DERIVATIVE 71
5.1 BOUNDED VARIATION FAM
ILIES...................................................................
74
5.2 A LAGRANGE-STYLE MULTIPLIER
THEOREM.................................................... 77
5.3 APPLYING THEOREM 5 . 3
.........................................................................
82
APPENDIX: THE TAMMI-SCHIFFER
EQUATION....................................................... 87
B IBLIOGRAPHY
89
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