Méthodes d'éléments finis d'ordre élevé pour la simulation numérique de la propagation d'ondes:
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Strasbourg
IRMA, Univ. Louis Pasteur et C.N.R.S.
2007
|
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2007,11 |
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|---|---|
| adam_text | Table des matières
Remerciements
і
Notations
iii
Introduction
ix
1
Équations régissant la propagation d onde
1
1.1
L équation d onde scalaire
............................ 1
1.2
Les équations de Maxwell
............................ 3
2
Introduction à la méthode des éléments finis
9
2.1
Rappel de la méthode de Ritz-Galerkin
..................... 0
2.2
Définition d un élément fini
........................... 10
2.3
Construction pratique de l espace de discrétisation Vh
............. 12
2.4
Quelques exemples d éléments finis
.......................
Il
3
Éléments finis d ordre arbitrairement élevé
21
3.1
Éléments finis adaptés à l équation des ondes
................. 21
3.1.1
Mise en oeuvre des éléments finis de
Lagrange
sur l équation des ondes
21
3.1.2
Génération automatique des matrices de masse et de raideur
..... 24
3.1.3
Sur l influence de la localisation des points auxquels sont associées
les formes linéaires
............................ 26
3.2
Éléments finis adaptés à la propagation d ondes électromagnétiques
..... 30
3.2.1
Discrétisation conforme dans le cas d éléments finis d arête rectan¬
gulaires
.................................. 33
3.2.2
Discrétisation conforme dans le cas d éléments finis d arête triangulaires
38
3.2.3
Couplage conforme des éléments finis d arête rectangulaires et trian¬
gulaires
.................................. 40
4
Condensation de la matrice de masse
47
4.1
Principe de la condensation de la matrice de masse
.............. 48
vi
TABLE DES
МЛТ1ЕПЕЅ
4.2
Le cas
ID
.....................................
t,S
4.3
Condensation de la matrice de masse issue des éléments finis de
Lagrange
triangulaires
.................................... 54
4.3.1
Quelques remarques préliminaires sur les formules de quadrature sy¬
métriques dans un triangle
........................ 54
4.3.2
Construction pratique des éléments finis condensés
.......... 57
4.3.3
L exemple de Pi
............................. 63
4.3.4
L exemple de P<i
............................. (34
4.3.5
L exemple de
Рз
............................. 65
4.3.6
L exemple de P4
............................. 68
4.3.7
L exemple de P5
............................. 73
4.3.8
L exemple de P6
............................. 77
4.4
De nouveaux éléments finis conformes dans
Ηχ{$ΐ)
partiellement condensés
.
8U
4.5
Condensation des éléments finis d arête
..................... $5
4.5.1
Condensation des éléments finis d arête rectangulaires sur maillage
régulier
.................................. 86
4.5.2
Cas particulier de la condensation des éléments finis d arête de pre¬
mier ordre
:
Schéma de Yee
....................... 87
5
Discrétisations en temps
95
5.1
Discrétisation explicite
.............................. 96
5.1.1
Discrétisation d ordre arbitrairement élevé
:
procédure Cauchy-Kowalewski
96
5.1.2
Application à l équation des ondes
................... 99
5.1.3
Application aux équations de Maxwell
................. 102
5.1.4
Stabilisation de ces discrétisations en temps
.............. 104
5.1.5
Discrétisation symplectique
....................... 106
5.2
Discrétisation implicite
.............................. 109
6
Efficacité des schémas
111
6.1
Schémas adaptés à la résolution de l équation des ondes
...........
Ill
6.1.1
Stabilité et ordre de convergence
.................... 111
6.1.2
Quantification de la dissipation et de la dispersion numérique
.... 119
6.1.3
Rapport coût/précision
......................... 128
6.1.4
Cas test des tourbillons co-rotatifs
................... 132
6.2
Schémas adaptés à la résolution des équations de Maxwell
.......... 135
6.2.1
Éléments finis rectangulaires sur maillage structuré
.......... 135
6.2.2
Éléments finis triangulaires
....................... 140
6.2.3
Couplage conforme des éléments finis rectangulaires et triangulaires
. 141
6.2.4
Comparaison éléments finis conformes-Galerkin discontinus
..... 115
T. BL
E D
ES
МЛ
TIER ES
vii
7
Résolution deux échelles des équations de Maxwell
149
7.1
Problème continu
:
le cas stationnaire
.....................149
7.2
Problème discret
.................................153
7.3
Algorithme de résolution
.............................155
7.4
Application au problème dépendant du temps
.................155
7.5
Simulations numériques
.............................157
7.5.1
Cas test
1.................................157
7.5.2
Cas test
2.................................158
7.5.3
Cas test
3.................................159
7.5.4
Cas test
4.................................
1G3
7.5.5
Cas
tost
5.................................164
7.5.6
Cas test
6.................................164
7.5.7
Interprétation
...............................167
Conclusions et perspectives
169
Quelques rappels sur les formules de quadrature de Gauss-Lobatto
173
Sur l imposition de conditions aux limites de Dirichlet
175
Routine
MAPLE®
pour la génération des fonctions de base et des matricesl79
|
| adam_txt |
Table des matières
Remerciements
і
Notations
iii
Introduction
ix
1
Équations régissant la propagation d'onde
1
1.1
L'équation d'onde scalaire
. 1
1.2
Les équations de Maxwell
. 3
2
Introduction à la méthode des éléments finis
9
2.1
Rappel de la méthode de Ritz-Galerkin
. 0
2.2
Définition d'un élément fini
. 10
2.3
Construction pratique de l'espace de discrétisation Vh
. 12
2.4
Quelques exemples d'éléments finis
.
Il
3
Éléments finis d'ordre arbitrairement élevé
21
3.1
Éléments finis adaptés à l'équation des ondes
. 21
3.1.1
Mise en oeuvre des éléments finis de
Lagrange
sur l'équation des ondes
21
3.1.2
Génération automatique des matrices de masse et de raideur
. 24
3.1.3
Sur l'influence de la localisation des points auxquels sont associées
les formes linéaires
. 26
3.2
Éléments finis adaptés à la propagation d'ondes électromagnétiques
. 30
3.2.1
Discrétisation conforme dans le cas d'éléments finis d'arête rectan¬
gulaires
. 33
3.2.2
Discrétisation conforme dans le cas d'éléments finis d'arête triangulaires
38
3.2.3
Couplage conforme des éléments finis d'arête rectangulaires et trian¬
gulaires
. 40
4
Condensation de la matrice de masse
47
4.1
Principe de la condensation de la matrice de masse
. 48
vi
TABLE DES
МЛТ1ЕПЕЅ
4.2
Le cas
ID
.
t,S
4.3
Condensation de la matrice de masse issue des éléments finis de
Lagrange
triangulaires
. 54
4.3.1
Quelques remarques préliminaires sur les formules de quadrature sy¬
métriques dans un triangle
. 54
4.3.2
Construction pratique des éléments finis condensés
. 57
4.3.3
L'exemple de Pi
. 63
4.3.4
L'exemple de P<i
. (34
4.3.5
L'exemple de
Рз
. 65
4.3.6
L'exemple de P4
. 68
4.3.7
L'exemple de P5
. 73
4.3.8
L'exemple de P6
. 77
4.4
De nouveaux éléments finis conformes dans
Ηχ{$ΐ)
partiellement condensés
.
8U
4.5
Condensation des éléments finis d'arête
. $5
4.5.1
Condensation des éléments finis d'arête rectangulaires sur maillage
régulier
. 86
4.5.2
Cas particulier de la condensation des éléments finis d'arête de pre¬
mier ordre
:
Schéma de Yee
. 87
5
Discrétisations en temps
95
5.1
Discrétisation explicite
. 96
5.1.1
Discrétisation d'ordre arbitrairement élevé
:
procédure Cauchy-Kowalewski
96
5.1.2
Application à l'équation des ondes
. 99
5.1.3
Application aux équations de Maxwell
. 102
5.1.4
Stabilisation de ces discrétisations en temps
. 104
5.1.5
Discrétisation symplectique
. 106
5.2
Discrétisation implicite
. 109
6
Efficacité des schémas
111
6.1
Schémas adaptés à la résolution de l'équation des ondes
.
Ill
6.1.1
Stabilité et ordre de convergence
. 111
6.1.2
Quantification de la dissipation et de la dispersion numérique
. 119
6.1.3
Rapport coût/précision
. 128
6.1.4
Cas test des tourbillons co-rotatifs
. 132
6.2
Schémas adaptés à la résolution des équations de Maxwell
. 135
6.2.1
Éléments finis rectangulaires sur maillage structuré
. 135
6.2.2
Éléments finis triangulaires
. 140
6.2.3
Couplage conforme des éléments finis rectangulaires et triangulaires
. 141
6.2.4
Comparaison éléments finis conformes-Galerkin discontinus
. 115
T. \BL
E D
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TIER ES
vii
7
Résolution deux échelles des équations de Maxwell
149
7.1
Problème continu
:
le cas stationnaire
.149
7.2
Problème discret
.153
7.3
Algorithme de résolution
.155
7.4
Application au problème dépendant du temps
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7.5
Simulations numériques
.157
7.5.1
Cas test
1.157
7.5.2
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2.158
7.5.3
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3.159
7.5.4
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4.
1G3
7.5.5
Cas
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5.164
7.5.6
Cas test
6.164
7.5.7
Interprétation
.167
Conclusions et perspectives
169
Quelques rappels sur les formules de quadrature de Gauss-Lobatto
173
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