Mordell-Weil-Gitter und exotische Deformationen von Viereckssingularitäten der Einbettungsdimension drei:
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Bonn
Rheinischen Friedrich-Wilhelms-Universität Bonn
1996
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| adam_text | Inhaltsverzeichnis
Einführung 14
0.1 Überblick 14
0.2 Problemstellung 15
0.3 Wissensstand 18
0.4 Vorgehensweise 19
0.5 Ergebnisse 23
0.6 Konventionen 27
0.7 Danksagung 27
1 Grundlagen 29
1.1 Singularitäten 29
1.1.1 Grundbegriffe 29
1.1.2 Arnolds Klassifikation 30
1.1.3 Einfache Singularitäten 31
1.2 Kodaira Siiigularitäten 33
1.3 Vereinfachungen 36
1 .3.1 Deformationstheorie einfacher Singularitäten 37
1.3.2 Deformationstheorie uni und biniodularer Singularitäten 37
6
1.4 Kriterien für Vereinfachungen 39
1.4.1 Satz (Oberhalbstetigkeit von Milnorzahl und Modula
rität) 39
1.4.2 Transitivität der Vereinfachungsrelation 39
1.4.3 Adjazenz von Spektren 39
1.4.4 Explizite Berechnung von Spektralzahlen und Spek
trenadjazenzen 41
1.4.5 Ein hinreichendes Kriterium für exotische Vereinfachun¬
gen 42
1.5 Deformationstheorie von Viereckssingularitäten 43
1.5.1 Die Äquivarianz der semiuniversellen Deformation ... 43
1.5.2 Beschränkung auf Deformationen mit guter (L Aktion 43
1.5.3 d * Kompaktihzierung 45
1.5.4 Satz (Charakterisierung der minimalen Auflösung der
dT Kompaktifizierung) 45
1.5.5 Satz (Induzierte elliptische Faserungen) 46
1.5.6 Bemerkung 47
2 Rationale, elliptische Flächen 48
2.1 Das Weierstraß Modell einer elliptischen Fläche 48
2.1.1 Elliptische Flächen 48
2.1.2 Eine Weierstraß Gleichung für X 49
2.1.3 Satz (Über die Euler Charakteristik) 49
2.1.4 Elliptische Flächen über lP fO;) 50
2.1.5 Konvention 51
2.1.6 Ausnahmefasern 51
7
2.1.7 Satz (Transformationen der Weierstraß Gleichung) ... 52
2.2 Das Mordell Weil Gitter 54
2.2.1 Theorem (Beschreibung der Mordell Weil Gruppe) ... 54
2.2.2 Theorem (Gitterstruktur auf E(K)) 55
2.2.3 Theorem (Der rational elliptische Fall) 56
2.3 Algebraische Konsequenzen topologischer Eigenschaften von
Schnitten 57
2.3.1 Lemma (Zu Null disjunkte Schnitte) 57
2.3.2 Lemma (Schnittverhalten mit reduziblen Ausnahmefa¬
sern) 58
2.3.3 Lemma (Schnittverhalten in /„ Fasern) 58
2.3.4 Satz (Polyno minimale Schnitte) 60
2.4 Die Gruppenstruktur auf den Fasern 6.3
2.4.1 Lemma (Additionsformel) 64
2.4.2 Satz (Spezialisierung auf Ausnahmefasern) 64
2.4.3 Lemma (Dreiteilungspunkte von Ausnahmefasern) ... 65
2.5 Ein Nichtexotizitätskriterium 67
2.5.1 Notationen 67
2.5.2 Lemma (Über die c Transfonnation) 68
2.5.3 Erstes Endlichkeitslemma 68
2.5.4 Eliminations Lemma 69
2.5.5 Satz (Ober das Eliminationsideal) 69
2.5.6 Zweites Endlichkeits Lemma 70
2.5.7 Beispiel 70
3 Rationale, elliptische Flächen mit einer Ausnahmefaser vom
8
Typ /„• 71
3.0.1 Lemma (Klassifikation der rationalen, elliptischen Flächen
mit /J Faser) 71
3.1 Elliptische Flächen vom Typ /J/J 73
3.1.1 Lemma (Weierstraßsche Normalform) 73
3.1.2 Lemma (Mordell Weil Gitter) 73
3.2 Elliptische Flächen vom Typ I^h 75
3.2.1 Lemma (Weierstraßsche Normalform) 75
3.2.2 Lemma (Mordell Weil Gitter) 76
3.2.3 Lemma (Exzeptionelle Schnitte) 77
3.3 Elliptische Flächen vom Typ IqIV 79
3.3.1 Lemma (Weierstraßsche Normalform) 79
3.3.2 Lemma (Mordell Weil Gitter) 80
3.3.3 Lemma (Exzeptionelle Schnitte) 81
3.1 Elliptische Flächen vom Typ Igl3 83
3.4.1 Lemma (Weierstraßsche Norinalform) 83
3.4.2 Lemma (Mordell Weil Gitter) 84
3.4.3 Lemma, (Exzeptionelle Schnitte) 85
3.4.4 Lemma (Weierst i;iß.sche Normaltonn iür Flächen vom
Typ löhhU) 88
3.4.5 Lemma (Polyno minimale Lösungen) 89
3.4.6 Lemma (Exzeptionelle Schnitte) 89
3.5 Elliptische Flächen vom Typ /0*3/2 90
3.5.1 Lemma (Weierstraßsche Normalform) 90
3.5.2 Lemma (Mordell Weil Gitter) 90
3.5.3 Lemma ( Exzeptionelle Schnitte) 92
9
3.6 Elliptische Flächen vom Typ I£2III 93
3.6.1 Lemma (Weierstraßsche Normalform) 93
3.6.2 Lemma (Mordeil Weil Gitter) 93
3.6.3 Lemma (Exzeptionelle Schnitte) 95
3.7 Elliptische Flächen vom Typ /0*/2/// 96
3.7.1 Lemma (Weierstraßsche Normalform) 96
3.7.2 Lemma (Mordell Weil Gitter) 96
3.7.3 Lemma (Exzeptionelle Schnitte) 97
3.8 Elliptische Flächen vom Typ /0 2/2 99
3.8.1 Lemma (Weierstraßsche Normalform) 99
3.8.2 Lemma (Mordell Weil Gitter) 99
3.8.3 Lemma (Nichtexzeptionelle Schnitte) 100
3.9 Elliptische Flächen vom Typ /£/// 102
3.9.1 Lemma (Weierstraßsche Normalform) 102
3.9.2 Lemma (Mordell Weil Gitter) 102
3.10 Elliptische Flächen vom Typ /*/2 104
3.10.1 Lemma (Weierstraßsche Normalform für Flächen vom
Typ /„•/,//) 104
3.10.2 Lemma (Mordell Weil Gitter) 105
3.10.3 Lemma (Niclitexzeptionelle Schnitte) 106
3.10.4 Lemma (Nichtexzeptionelle Schnitte bei /r*/24/i) .... 107
4 Vereinfachungen in unimodulare Singularitäten und RDP
Kombinationen 108
4.1 Faser/Schnitt Konfigurationen 108
4.1.1 Definition (p zulässige Paare) 109
10
4.1.2 Konstruktion 109
4.1.3 Satz (Transformation durch Aufblasen) 109
4.1.4 Möglichkeiten für die Konstruktion p zulässiger Paare . 110
4.1.5 Zur Grobstruktur des Vereinfachungsverhaltens .... 112
4.1.6 Lemma 112
4.2 Analytische Invarianten 114
4.2.1 Satz (Pinkham) 114
1.2.2 Proposition (Darstellbarkeit vermöge J) 115
4.2.3 Proposition (Bestimmung des ungewichteten Quadru¬
pels) 115
4.2.4 Proposition (Bestimmung des gewichteten Quadrupels) 116
4.3 Bestimmung der Deformationen von Win 117
4.3.1 Voigehensweise 117
4.3.2 fi, = W,.i 118
4.3.3 n, = Wu 118
4.3.4 (7, = Zn 119
4.3.5 n, = Z12 119
4.3.6 n, = Z„ 119
4.3.7 n, = Eu 119
4.3.8 Qi = £,., 120
4.3.9 n, = £12 120
4.3.10 $!, = T iw 120
4.3.11 f!, = 7 255 120
4.3.12 fi, =rM6 121
4.3.13 n, = jHmü 121
4.3.14 0, =r241 121
11
4.3.15 ü] = T238 122
4.3.16 0, = T237 122
4.3.17 fi, = T236 122
4.4 Bestimmung der Deformationen von 5i,o 123
4.4.1 Vorgehensweise 123
4.4.2 fi, = W12 123
4.4.3 0, = 512 124
4.4.4 fi, = S„ 124
4.4.5 0, = Zu 124
4.4.6 Ü! = Zu 124
4.4.7 n, = El3 125
4.4.8 n, = Eu 125
4.4.9 fi, = Oio+*, k = 0,1,2 125
4.4.10 n, =T344+t, *. = 0,1,2 126
4.4.11 n, =T333+t, it = 0,...,4 126
4.4.12 n, =T2ii+k, fc = 0,... 2, T2ä5 126
4.4.13 fi] =r238 126
4.4.14 Ui = T236+4, fc = 0,1 126
4.5 Bestimmung der Deformationen von U ,o 128
4.5.1 Vorgehensweise 128
4.5.2 J), = 6T„ 128
4.5.3 0, = Qu 129
4.5.4 fJ, = Q,o 129
4.5.5 n, = 213 129
4.5.6 n, = Z„ 130
12
4.5.7 0, = 71,45 130
4.5.S Qi = 71)44 130
4.5.9 fii = T:m+k, k = 0,...,3 130
4.5.10 0, =r245 131
4.5.11 ili=Ti3a 131
4.5.12 ü, =T2.„ 132
4.5.13 n, = T z:m 132
5 Ausblick: Exotische Vereinfachungen in RDP Konfigurationen 133
5.1 Allgemeine Vorbemerkungen 133
5.2 Satz (Extremale Deformationen von W $ ) 134
5.3 Die Vereinfachung W,,o ^2E(,A, 135
5.4 Die Vereinfachung Wya V2£« 137
5.5 Sc.hlußbeinerkiiiig 137
Literaturverzeichnis 138
A Normalfornien uni und bimodularer Singularitäten I
B Ein Computerprogramm zur Berechnung von Spektrenadja
zenzen III
C Listen von Vereinfachungen IX
0.1 Vereinfachungen von H ] u X
C.2 Vereinfachungen von .S io XI
0.3 Vereinfachungen von li u XII
13
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