Méthodes matricielles: introduction à la complexité algébrique
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Paris [u.a.]
Springer
2004
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42 |
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|---|---|
| adam_text | Table des matières
1 Rappels d algèbre linéaire 1
1.1 Quelques propriétés générales 1
1.1.1 Notations 1
1.1.2 Formule de Binet-Cauchy 4
1.1.3 Rang, déterminant et identités de Cramer 5
1.1.4 Identités de Sylvester 9
1.2 Polynôme caractéristique 11
1.2.1 Matrice caractéristique adjointe 11
1.2.2 Formule de Samuelson 13
1.2.3 Valeurs propres de f{A) 14
1.3 Polynôme minimal 17
1.3.1 Sous-espaces de Krylov 17
1.3.2 Cas de matrices à coefficients dans Z 20
1.4 Suites récurrentes linéaires 21
1.4.1 Polynôme générateur, opérateur de décalage . ... 21
1.4.2 Matrices de Hankel 23
1.5 Polynômes symétriques et relations de Newton 25
1.6 Inégalité de Hadamard et calcul modulaire 30
1.6.1 Normes matricielles 30
1.6.2 Théorème chinois et applications 31
1.7 Résolution uniforme des systèmes linéaires 33
1.7.1 L inverse de Moore-Penrose 34
1.7.2 Généralisation sur un corps arbitraire 41
2 Algorithmes de base en algèbre linéaire 51
2.1 Méthode du pivot de Gauss 53
2.1.1 Transformations élémentaires 53
2.1.2 La L U - décomposition 56
2.1.3 Recherche de pivot non nul 61
2.2 Méthode de Jordan-Bareiss 65
2.2.1 Formule de Dodgson-Jordan-Bareiss 66
2.2.2 Méthode de Jordan-Bareiss modifiée 70
2.2.3 La méthode de Dodgson 71
2.3 Méthode de Hessenberg 74
2.4 Méthode d interpolation de Lagrange 81
2.5 Méthode de Le Verrier et variantes 82
2.5.1 Le principe général 82
2.5.2 Méthode de Souriau-Faddeev-Frame 83
2.5.3 Méthode de Preparata Sarwate 88
2.6 Méthode de Samuelson-Berkowitz 90
2.6.1 Principe général de l algorithme 90
2.6.2 Version séquentielle 91
2.7 Méthode de Chistov 93
2.7.1 Le principe général 93
2.7.2 La version séquentielle 95
2.8 Méthodes reliées aux suites récurrentes linéaires 97
2.8.1 L algorithme de Frobenius 98
2.8.2 Algorithme de Berlekamp/Massey 108
2.8.3 Méthode de Wiedemann 109
3 Circuits arithmétiques 111
3.1 Circuits arithmétiques et programmes d évaluation . . . .112
3.1.1 Quelques définitions 112
3.1.2 Circuit arithmétique vu comme un graphe 116
3.1.3 Circuits arithmétiques homogènes 118
3.1.4 Le problème des divisions 119
3.2 Élimination des divisions à la Strassen 120
3.2.1 Le principe général 121
3.2.2 Coût de l élimination des divisions 125
3.3 Calcul des dérivées partielles 126
4 Notions de complexité 129
4.1 Machines de Turing et Machines à Accès Direct 129
4.2 Complexité binaire, les classes V, AfV et #V 134
4.2.1 Calculs faisables 134
4.2.2 Quand les solutions sont faciles à tester 135
4.2.3 Problèmes de comptage 141
4.3 Complexités arithmétique et binaire 142
4.3.1 Complexité arithmétique 142
4.3.2 Complexité binaire 143
4.4 Familles uniformes de circuits 149
4.5 Machines parallèles à accès direct 151
4.5.1 Une idéalisation des calculs parallèles 152
4.5.2 PRAM-complexité et Processeur-efficacité 153
4.5.3 Le principe de Brent 156
5 Diviser pour gagner 159
5.1 Le principe général 159
5.2 Circuit binaire équilibré 162
5.3 Calcul parallèle des préfixes 163
6 Multiplication rapide des polynômes 171
6.1 Méthode de Karatsuba 172
6.2 Transformation de Fourier discrète usuelle 175
6.3 Transformation de Fourier discrète rapide 177
6.3.1 Cas favorable 177
6.3.2 Cas d un anneau commutatif arbitraire 180
6.4 Produits de matrices de Toeplitz 182
7 Multiplication rapide des matrices 185
7.1 Analyse de la méthode de Strassen 187
7.1.1 La méthode et sa complexité 187
7.1.2 Une famille uniforme de circuits arithmétiques . . 191
7.2 Inversion des matrices triangulaires 195
7.3 Complexité bilinéaire 197
7.3.1 Rang tensoriel d une application bilinéaire 198
7.3.2 Exposant de la multiplication des matrices carrées 204
7.3.3 Complexités bilinéaire et multiplicative 205
7.3.4 Extension du corps de base 207
7.4 Calculs bilinéaires approximatifs 209
7.4.1 Méthode de Bini 209
7.4.2 Une amélioration décisive de Schônhage 214
7.4.3 Sommes directes d applications bilinéaires .... 221
7.4.4 L inégalité asymptotique de Schônhage 224
8 Algèbre linéaire séquentielle rapide 229
8.1 L Algorithme de Bunch Hopcroft 231
8.2 Calcul du déterminant et de l inverse 235
8.3 Forme réduite échelonnée en lignes 236
8.4 Méthode de Keller-Gehrig 243
8.5 Méthode de Kaltofen-Wiedemann 245
9 Parallélisations de la méthode de Leverrier 255
9.1 Algorithme de Csanky 255
9.2 Amélioration de Preparata et Sarwate 259
9.3 Amélioration de Galil et Pan 266
10 Polynôme caractéristique sur un anneau arbitraire 271
10.1 Méthode générale de parallélisation 271
10.2 Algorithme de Berkowitz amélioré 272
10.3 Méthode de Chistov 283
10.4 Applications des algorithmes 287
11 Résultats expérimentaux 291
11.1 Tableaux récapitulatifs des complexités 291
11.2 Présentation des tests 295
11.3 Tableaux de Comparaison 296
12 Le déterminant et les expressions arithmétiques 303
12.1 Expressions, circuits et descriptions 303
12.2 Parallélisation des expressions et des circuits 309
12.3 La plupart des polynômes sont difficiles à évaluer 313
12.4 Le caractère universel du déterminant 315
13 Le permanent et la conjecture V ^ NV 321
13.1 Familles d expressions et de circuits booléens 321
13.2 Booléen versus algébrique 328
13.2.1 Évaluation booléenne des circuits arithmétiques . 328
13.2.2 Simulation algébrique des circuits et expressions
booléennes 330
13.2.3 Formes algébriques déployées 333
13.3 Complexité binaire versus complexité booléenne 335
13.4 Le caractère universel du permanent 339
13.5 La conjecture de Valiant 340
Annexe : codes Maple 343
Tables, bibliographie, index. 355
Liste des algorithmes, circuits et programmes d évaluation . . . 355
Liste des Figures 357
Bibliographie 359
Index des notations 371
Index des termes 373
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